小学奥数汇编教材 第十五讲 比例百分数应用题

特级教师小学奥数汇编教材

第十五讲比例百分数应用题

【专题知识点概述】

一、比例：

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常

有用.这一部分内容是小升初考试的重要内容.通过本讲需栗学生掌握的内容

有：

1.比例式的恒等变形.

2.各种条件下比例的转化，有目的的转化.

3.比例与和差关系问题中数量关系的对应和运用.

比和比例的性质

性质1:若a:b=c:d,则（a+c）:（b+d）=a:b=c:d;

性质2：若a:b=c:d,则（a-c）:（b-d）=a:b=c:d;

性质3:若a:b=c:d,则（a+xc）:（b+xd）=a:b=c:d;（x为常数）

性质4：若a:b=c:d,则aXd=bXc;（即外项积等于内项积）

正比例：如果a+b=k（k为常数），则称a、b成正比；

反比例：如果aXb=k（k为常数），则称a、b成反比.

比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“I”。题中如果有几个不同的

单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单住“1”，

使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下

几点：

1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接

解答的数量为单位“1”。

2.目题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3.应用正、反比例性质解答应用题时票注意题中某一数量是否一定，然后

再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与

其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5.赋值解比例问题

二、百分数：

（1）如何求一个数的几分之几（或百分之几）？

求一个数的几分之几，只需栗将这个数乘以几分之几就得到.

例如：5的24%是多少？解答：5X24%=1.2.

（2）如何求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？

求一个数是另一个数的几分之几，只需要将前一个数除以后一个数就得到.

例如：2是3的几分之几？解答：-^-=-x-=-.

3434339

（3）已知一个数的几分之几（或百分之几），如何求这个数？

已知一个数的几分之几，要求这个数，只需要将这个几分之几的数除以几分之

几.

例如：一个数的士等于18,那么这个数等于多少？解答：18+*=18x±=27.

332

（【授课批注】\

分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准

量.也称为：单位“1”，例如a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”.在几个量中，

弄清哪一个是单位“1”很重要，否则容易出错误.而百分数应用题中所涉及的百分数，只

1曼分母是100的分数，因而计算的方法和分数应用题是一样的，关键也是要找准单位“1〃

和对应的百分率，以及对应量三者的关系

【重点难点解析】

1.单位一变化的比例问题

2.连比问题

3.方程解比例应用题

4.单位“1”的变化

【竞赛考点挖掘】

1.百分数比列问题

2.经济和浓度问题

3.具体量与分数百分数的关系

祟【习题精讲】

【例1】(难度级别X)

六年级男生有50人，女生有40人，(1)女生人数是男生人数的几分之几？(2)男生人数

比女生人数多百分之几？(3)女生人数比男生人数少百分之几？(4)女生比男生少的人数

是全班人数的百分之几？

【分析与解】

此题四个问题都是求一个数是另一个数的百分之几，解答的关键是找准单位“1”，

(1)男生人数为单位“1”，40+50=4/5;

(2)女生人数为单位“1”，(50-40)4-40=25%;

(3)男生人数为单位“1",(50-40)4-50=20%;

(4)全班人数为单位“1”，(50-40)4-(50+40)«11.1%。

【例2】（难度级别X）

圆珠笔和铅笔的价格比是4：3,20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元.问圆珠笔的单价是

每支多少元？

【分析与解】

设圆珠笔的价格为4,那么铅笔的价格为3,则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20X4+21

X3=143,则单位“1”的价格为71.59143:0.5元.

所以圆珠笔的单价是0.5X4=2（元）.

【例3】（难度级别X）

一个水箱中的水是装满时的？5，用去200立升以后，剩余的水是装满时的3巳，这个水箱的

64

容积是多少立升？

【分析与解】

53

200+（—--）=2400（立升）。

64

【例4】（难度级别派※）

古希腊杰出的数学家丢番图的墓碑上有一段话：“他生命的六分之一是幸福的童年.再活十

二分之一脸上长起了细细的胡须，他结了婚还没有孩子，又度过了七分之一。再过了五年,

他幸福地得到了一个儿子。可这孩子光辉灿烂的寿命只有他父亲的一半。儿子死后，老人在

悲痛中活了四年，也结束了尘世的生涯"。你能根据这段话推算出丢番图活了多少岁？多少

岁结的婚吗？

【分析与解】

活的岁数：（5+4）+（1—工―工―工―工）=84（岁），结婚年龄：84x（1+—）=21（岁）。

61272612

【例5】（难度级别※派）

幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班中男生数与女生数的比为5：3,中

班中男生数与女生数的比为2：1,那么大班有女生多少名？

【分析与解】

设大班女生有x名，则中班女生有（18-x）名.根据男生数可列出

52

方程：xX-+（18-x）X-=32,解得x=12.

31

所以大班有女生12名.

【例6】（难度级别※派）

某运输队运一批大米.第一天运走总数的!多60袋，第二天运走总数的l少60袋.还剩

54

下220袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋？

【分析与解】

可画图帮助学生理解，（220-60+60）+（1-J-1）=400（袋）.此题也可使用倒推法解决.

54

【例7】（难度级别派※※）

甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃，甲拿出五个面包的钱，乙付了三个面包的钱，

丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出四元钱，问：甲应收回多少钱？（以角为单位）

【分析与解】

QQ

每人应付一个面包的钱，丙拿出的40角就是一个面包的钱，所以一个面包的价格应为：

33

QQ

40--=15（角），甲多付的钱为：（5--）xl5=35（角），所以甲应收回35角。

【例8】（难度级别派※※）

学校派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占4.正式比

4

2

赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的正式参赛的女

11

选手有多少名？

【分析与解】

因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解.把总人数视为

1?

“1”，男选手人数是60X（1-—）=45（人），男选手人数占正式参赛选手总数的1-一，所

411

22

以正式参赛选手总数是：45+（1--）=55（人），正式参赛的女选手人数是55X—=10（人）。

1111

【例9】（难度级别※派）

己知甲、乙、丙三个数，甲：（乙+丙）=4：3,乙：丙=2：7,求甲：乙：丙.

【分析与解】

由乙：丙=2:7得到乙：（乙+丙）=2:9,丙：（乙+丙）=7:9,而甲：（乙+丙）=4:3,所

一427

以甲：乙：丙一：一：一=12：2：7。

399

【例10］（难度级别派※）

专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的倍.鸭比鸡少几分之几？

4

【分析与解】

把鸭看成1,那么鸡就是1,，鸭比鸡少：（1，-1）+1-=-.（此时的单位“1”是鸡的

4445

只数）

【例11］（难度级别派※）

有一堆糖果，其中奶糖占45%,再放人16块水果糖后，奶糖就只占25%那么，这堆糖果中

有奶糖多少块？

【分析与解】

459251

方法一：原来奶糖占——=——，后来占——=—,因此后来的糖果数是奶糖的4倍，也比

100201004

9

原来糖果多16粒，从而原来的糖果是16+（4x——1）=20块.

20

9

其中奶糖有20X—=9块.

20

方法二：原来奶糖与其他糖（包含水果糖）之比是45%：（1-45%）=9：11,

设奶糖有9份，其他糖（包含水果糖）有11份.

现在奶糖与其他糖之比是25%:（1-25%）=1:3=9:27,

奶糖的份数不变，其他糖的份数增加了27-11=16份，而其他糖也恰好增加了16块，所以，

I份即1块.奶糖占9份，就是9块奶糖.

【例12］（难度级别派※※）

李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内.已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的,

4

卖给商店，!卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两

3

院养鸡总数的50%.原来东、西两院一共养鸡多少只？

【分析与解】

方法一：设原来东西两院一共养鸡工只，那么西院养鸡（工一40）只.

依题意：.(x-40)xf1—：—；)+40=gx,解出x=280.

即原来东、西两院一共养鸡280只.

方法二：50%即工，东、西两院剩下的鸡等于东院的工加上西院的工，即20+,西院原养

2222

鸡数.

有东院剩下40只鸡，西院剩下原1—工一』=9的鸡.

4312

所以有西院原养鸡（40—20）4-=240只，即原来东、西两院一共养鸡40+240=280

只.

【例13］（难度级别派※※）

学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的土，等于五年级学生的等

25

于四年级学生的士3。这三个年级各有多少名学生学生？

7

【分析与解】

173

将六年级学生的一，等于五年级学生的一，等于四年级学生的一，看作一个单位，那么六

257

7

年级学生人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于一学生，所以

3

57

六年级、五年级、四年级学生人数的比为2：-：—=12：15：14,所以六年级学生人数为

23

1215

615x---------=180人，五年级学生人数为615x----------=225人，四年级学生人

12+15+1412+15+14

14

数为615x=210A.

12+15+14

【例14］（难度级别派※※）

用一批纸装订一种练习本.如果已装订120本，剩下的纸是这批纸的40%；如果装订了185

本，则还剩下1350张纸.这批纸一共有多少张？

【分析与解】

方法一：装订120本，剩下40%的纸，即用了60%的纸.那么装订185本，需用185X（60%

4-120）=92.5%的纸，即剩下1-92.5%=7.5%的纸，为1350张.所以这批纸共有1350

4-7.5%=18000张.

方法二：120本对应（1-40%=）60%的总量，那么总量为120。60%=200本.当装订了

185本时，还剩下200-185:15本未装订，对应为1350张，所以每本需纸张：1350・

15=90张，那么200本需200X90=18000张.即这批纸共有18000张.

【例15］（难度级别派※※※）

一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45

枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5,开始时黑棋子和白棋子各有多少枚？

【分析与解】

第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1（=10:5）变为1:5,而其中白棋的数

目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份。这样原来黑

棋=45+9X10=50,白棋=45+9X5+15=40。

【例16］（难度级别派※※）

某俱乐部男、女会员的人数之比是3：2,分为甲、乙、丙三组。已知甲、乙、丙三组的人

数比是10：8：7,甲组中男、女会员的人数之比是3：1,乙组中男、女会员的人数之比是

5:3o求丙组中男、女会员人数之比。

【分析与解】

1033，人口上311

以总人数为1,则甲组男会员为--------------x-------——，女会贝为一x-=一,

10+8+73+11010310

1051133

乙组男会员为--------x----女会员为一x2=3；

10+8+75+355525

丙组男会员为女会员为丙组中男、

19

女会员人数之比为—=5：9

1050

【例17](难度级别派※※※)

6枚壹分硬币摞在一起与5枚式分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分

硬币摞在一起一样高。用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，

共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？

【分析与解】

由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5,壹分硬币和伍分硬币的数量比为4:3=6:

4.5,所以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6:5:4.5即12:10:9,因此壹

分硬币的数量为124x———=48枚，贰分硬币的数量为124%———=40,伍分

12+10+912+10+9

9

硬币的数量为124x---------=36枚，这些硬币一共有48+40X2+36X5=308分.

12+10+9

【例18](难度级别※※※※)

乙两车分别从A,B两地出发，相向而行.出发时，甲、乙的速度比是5：4,相遇后，甲

的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米.问：

A,B两地相距多少千米？

【分析与解】

甲、乙原来的速度比是5：4,相遇后的速度比是

[5X(1-20%)]：[4X(1+20%)]=4：4.8=5：6.

相遇时，甲、乙分别走了全程的5/9和4/9.设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行

48

的长度之比为5:6,其中相遇后甲行驶了全长的4/9,所以乙行驶了全长的§+5x6=百，

所以乙一共行了全长的1-3-§=所以A、B全长为450千米.

91545

【例19］（难度级别※※※※）

一把小刀售价3元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2：5；如

果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8：13。小明原来有多少钱？

【分析与解】

由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的色一=*,小明的钱相当于小明、

2+57

QQ

小强买刀后钱数和的-----=—,所以小明、小强的钱数的比值为8:15,而小明买刀后小

8+1321

明、小强的钱数之比为2:5=6:15,所以小明买刀前后的钱数之比为8:6=4：3,所以小

4-311

刀的售价等于小强原来钱数的——=-,所以小明的钱数为3+—=12元.

444

【例20］（难度级别派※※※）

幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生.已知大班中男生数与女生数