章末复习课(高中数学课件教案学案习题人教A版选择性必修第三册)

章末复习课

要点回顾形成体系

［网络构建］

1-加法公式-IT*全概率公式

条件概率七乘法公式一门一贝叶斯公式

随

机~~►分布列一

变

试两点分布—j均值一

及离散型随机变量一一-L方差J"应用

K超几何分布一

分」二项分布一

布

正态分布一］正态分布密度曲线

连续型随机变状

3o原则

［核心归纳］

1.离散型随机变量及其分布列

(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间◎中的每个样本点3,都有唯一

的实数X(⑼与之对应，我们称X为随机变量，通常用字母X,y,Z等表示.

(2)离散型随机变量：所有取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型

随机变量.

(3)离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为汨，及，…，为”我们称X取每一个

值双i=l,2,…，〃)的概率P(X=W=p1为X的概率分布列，简称分布列，也可

以表格的形式表示如下：

・・・・・

XX\X2•Xi

•••…

PpiP2PiPn

(4)离散型随机变量的分布列的性质

①pRO,z=1,2,…，”；

…n

②£pi=\.

i=\

(5)常见的分布列

两点分布：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失

f1,A发生，

败"，定义x={-如果P(A)=p,贝I」P(A)=1—p,那么X的分布列如

10,A发生，

表所示

X01

Pl—pP

我们称X服从两点分布或0—1分布.

超几何分布：假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽

取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=

,C}第4

k)=~aTk—m,m+1,m+2,…，厂其中n,N,M&N,nWN,

m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

2.二项分布及其应用

p(AR)

(1)条件概率:一般地,设A和5是两个随机事件，且P(A)>0,称P(B|A)=『二、一

为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.P(8|A)读作A发生的条件下

B发生的概率.

(2)全概率

一般地，设4,4，…，4是一组两两互斥的事件，AiU/hU…U4,=Q,且

n

P(4)>0,z=l,2,…，n,则对任意的事件BU。，有P(B)=£尸(A,)P(5|4).

i=1

全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单

事件的概率运算.即运用了“化整为零”的思想处理问题.

(3)〃重伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利

试验独立地重复进行〃次所组成的随机试验称为〃重伯努利试验.

(4)二项分布：一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率

为p(0Vp<l),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=C加鼠1

—p)fk=0,1,2,〃.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随

机变量X服从二项分布，记作X〜8(〃，p).两点分布是当〃=1时的二项分布，

二项分布可以看成是两点分布的一般形式.

3.离散型随机变量的均值与方差

(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为

・・・・・・

XX\X2Xi%?

・・・・・・

ppi〃2PiPn

则称E(X)=X\p\-\-X2pi-\---卜XipiT---\-XnPn为随机变量X的均值或数学期望，它

反映了离散型随机变量取值的平均水平.

nI-------------------

称D(X)=£⑶-E(X))2pi为随机变量X的方差，ND(X))为随机变量X的

i=1

标准差.

(2)均值与方差的性质：若y=aX+〃，其中m〃是常数，X是随机变量，则丫也

是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+/?,D(aX+b)=a2D(X).

(3)常见分布的均值和方差公式

①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)=p,方差

D(X)=p(l—p).

②二项分布：若随机变量X〜3(〃，p),则均值E(X)=叩，方差D(X)=np(l—p).

4.正态分布

、2

1(f厂")

(1)函数/U)=-ke-1，xGR,其中〃CR,。＞0为参数.

6/2兀2a

显然对于任意XGR,兀r)〉0,它的图象在x轴的上方，可以证明龙轴和曲线之间

的区域的面积为1.我们称/U)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,

简称正态曲线.随机变量X服从正态分布，记作X-NQ,M).

⑵正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线对称;

②曲线在处达到峰值季者；

③当网无限增大时，曲线无限接近X轴.

(3)正态分布的期望与方差

若X〜NQi,『)，则E(X)=〃，D(X)=(r.

要点聚焦分类突破

要点一条件概率的求法

条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的

条件概率是在什么条件下发生的概率.一般地，计算条件概率常有两种方法：

P(AB)

(1)P(B|A)=~-；

n(AR)

(2)P(阴.在古典概型下，〃(A8)指事件A与事件B同时发生的样本点

个数；〃(A)是指事件A发生的样本点个数.

[例1]口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，

每次抽取1个，则：

⑴第一次取出的是红球的概率是多少？

(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？

(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？

解记事件A：第一次取出的是红球；事件&第二次取出的是红球.

(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有样本点共6X5个；第

一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4X5个，

所以尸(A)=AX

(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有样本点共6X5个；第

一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4X3

4义32

个，所以尸

(3)利用条件概率的计算公式，可得

PCAB)3

P(B|A)=

P(A)5,

【训练1】掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，求“掷出点数之和

大于或等于10”的概率.

解设''掷出点数之和大于或等于10”为事件A；“第一颗掷出6点”为事件8,

3

-P(AB)361

法一P(AIB)=p(fi)=y=2-

36

法二“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,

5),(6,6)共6种.

〃(B)=6.

“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4),(6,5),

(6,6)共3种，即〃(65)=3.

n(AB)31

：.P(A\B)==

n(8)6-21

要点二全概率公式

全概率公式适用于“整体难算，分开易算”的情况，采取“化整为零，各个击破”

的解题策略.

【例2】某学生的手机掉了，落在宿舍中的概率为60%,在这种情况下找到的

概率为98%；落在教室里的概率为25%,在这种情况下找到的概率为50%；落

在路上的概率为15%,在这种情况下找到的概率为20%.

求：(1)该学生找到手机的概率；

⑵在找到的条件下，手机在宿舍中找到的概率.

解设“手机落在宿舍”为事件“手机落在教室”为事件&,“手机落在

路上”为事件“找到手机”为事件A,

则Q=8iU&U&,

(1)P(A)=P(AB)P(S)+P(A\Bi)P(Bi)+P(A|0)P(B3)

=98%X60%+50%X25%+20%X15%

=0.743.

P(BiA)P(A|8i)P(Bi)

(2)P(B,|A)=

P(A)P(A)

60%X98%

=-0.743-=0.791.

【训练2】采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中

随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次品

的包数占30%,而其余包中各含1个次品.求：

⑴采购员拒绝购买的概率；

（2）在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率.

解Bi=｛取到的是含4个次品的包｝,

&=（取到的是含1个次品的包｝,

A=｛采购员拒绝购买｝,

P(Bi)=0.3,P(52)=0.7.

C25eg3

P(A冈)=1一瓦=不P⑷历)=1一比=而

⑴由全概率公式得到

P(A)=P(Bi)P(A|Bi)+P(&)P(A|&)

35,7323

-106^1010-50-

—X—

P出)P(A|B)10625

⑵P⑹⑷==

P(A)2346,

50

要点三离散型随机变量的分布列、均值和方差

求离散型随机变量的均值与方差，常见分布以相应公式求解，综合问题注意以下

几个步骤:

理解x的实际意义,并写出x的全部取用

斗~I求出X取每个值的概率）

写出X的分布列（有时也可省略）］

利用E（X）=xIm+*M+…求出均值,

四〉一利用。（x）=3-E（x））2m+（*2-E（x））2p2+

M…+（-3-E（X））2p,求出方差

角度1两点分布

x（＞__1_

【例3】设x服从两点分布，分布列为EZE,其中pe（o,1）,则（）

A.E(X)=p,D(X)=p3

B.E(X)=p,D(X)=p2

C.E(X)=q,D(X)=q2

D.E(X)=l—p,D(X)=p—p-

解析X服从两点分布，则E(X)=q=l—p,D(X)=p(l—p)=p—p2.

答案D

角度2二项分布

【例4】已知随机变量X〜B(6,0，则。(2X+1)等于()

A.6B.4

C.3D.9

解析D(2X+1)=4D(X),

o(x)=6xgx(i-"

3

D(2X+1)=4X-=6.

答案A

角度3超几何分布

【例5】某学院为了调查本校学生2020年4月“健康上网”(健康上网是指每

天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该

月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5],(5,10],

(10,15],…，(25,30],由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.

频率

组距

().09

5101520253()天数

(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；

(2)现从这40名学生中任取2名，设丫为取出的2名学生中健康上网天数超过20

天的人数，求丫的分布列及均值E(F).

解(1)由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.01+0.02+0.03+0.09)X5

=0.15X5=0.75,所以健康上网天数超过20天的学生人数是40X(1-0.75)=

40X0.25=10.

(2)随机变量丫的所有可能取值为0,1,2,

且丫服从超几何分布.

所以「(丫=。)=图C%=£29,

„z__CloCio_A

P(yJ)n-Cio一⑶

…，C%__3

pg©一瓦一交.

[例6]一次同时投掷两枚相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各面分别刻有

1,2,2,3,3,3六个数字).

（1）设随机变量X表示一次掷得的点数和，求X的分布列;

（2）若连续投掷10次，设随机变量丫表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E（y）,

D(Y).

解（1）由已知，随机变量X的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得

点数为X（）,则Xo的分布列为:

111

P(Xo=l)=不P(Xo=2)=?P(Xo=3)=],

所以

P(X=2)=1x|=^,

P(X=3)=2x|x|=1,

P(X=4)=2x|x|+|x|=^)

P(X=5)=2X；xg=；,

P(X=6)=^x1=1.

故X的分布列为

X23456

11511

p

3691834

⑵由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6,设某次发生的概率为p,由

⑴知，p=\.

因为随机变量丫〜8(io,

所以£,(y)=/ip=iox|=|,

o(y)=〃p(i—p)=iox[x[=/

【训练3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概

率分别为0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离

开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.

(1)求X的分布列；

(2)记"函数式x)=f—3Xx+l在区间[2,+8)上单调递增”为事件A,求事件A

发生的概率.

解(1)分别记“客人游览甲景点"、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”

为事件Ai,A2,A3.

则Ai,A2,A3相互独立，且P(4)=0.4,

/3(A2)=0.5,P(A3)=0.6.

客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3.相应地，客人没有游览的景点数的

可能取值为3,2,1,0,所以X的可能取值为1,3.

P(X=3)=P(AIAM3)+P(AIA2A3)

=P(A1)P(A2)P(A3)+P(At)P(A2)P(A3)

=0.4X0.5X0.6+0.6X0.5X0.4=0.24.

P(X=1)=1-0.24=0.76.

所以X的分布列为：

X13

P0.760.24

(2)因为/U)=Q—|x[+1-1%2,

所以函数次x)=f-3Xr+l在区间|x,+8)上单调递增，要使加)在区间⑵+

8)上单调递增，

当且仅当|xW2,

即xq

从而P(A)=F[X^=P[X=l)=0.76.

要点四正态分布

解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点：

⑴注意“3a”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率.

(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合

的重要思想，因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问

题.

[例7]某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布M500,

5。2),请你判断考生成绩X在550〜600分的人数.

解•••考生成绩X〜N(500,5()2),

.*.//=500,<7=50,

/.P(550<XW600)=1[P(500-2X50VxW500+2X50)-P(500-50VXW500+

50)]

(0.9545-0.6827)=0.1359,

,考生成绩在550〜600分的人数为2500X0.1359-340(人).

【训练4】某地数学考试的成绩X服从正态分布，某密度函数曲线如右图所示,

成绩X位于区间[52,68]的概率为多少？

解设成绩X〜『)，

则正态分布的密度函数

(\____!_(X—〃)2

02急尸通―2『

由图可知，〃=60,cr=8.

.•.P(52WXW68)=P(60—8WXW60+8)=P〃一cWXW〃+a)Q0.6827.

要点五方程思想

方程思想是高中数学中最基本、最重要的数学思想之一，这种思想方法就是从分

析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解

方程或对方程进行讨论，使问题得以解决，利用方程思想解题的关键是列出方程.

【例8】一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球(所有的球除颜色外

其他均相同)，从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得。分，每取得一个白

球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量X表示取2个球的总得分，已

知得0分的概率为今

(1)求袋子中黑球的个数；

(2)求X的分布列与均值.

解(1)设袋中黑球的个数为〃(〃巳2),由条件知，当取得2个黑球时得0分，概

「21

率为P(X=O)=虐=不

化简得"2—3〃-4=0,

解得〃=4或〃=一1(舍去)，

即袋子中有4个黑球.

(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

.,.P(X=0)=|,

c\c\1

P(X=1)=

y

cHciclii

P(X=2)=365

c£31

P(X=3)=65

P(X=4)号表,

.•.x的分布列为

X01234

111111

p

6336636

.•.E(X)=OX1+1X|+2X||+3X1+4X^=^.

【训练5】甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯

电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续航里程数R(单位：

千米)可分为三类车型，A：80WR<150,B：150^7?<250,C：RN250.甲从A,B,

。三类车型中挑选一款，乙