高中数学空间向量立体几何复习

第一部分、基础知识点+公式

1、简单几何体相关知识

【必记公式】

1.柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积体积

圆柱S假=27nV=Sh=nt^h

v=/=>%

圆锥S憾=

一Inr-r

J

V—；（S上+S下+“S上S下）〃

，

圆台5«=7r（r1+r2）Z

=+/*2+32）人

面积体积

直棱柱5-=Chjz=Sh

正棱c—\ch'

JM一_2_____V—3^

正棱

SL；（C+C，）3

(上下上下

台-3S+s+«ysM

C=47rA2

球Q球面_________________________

2、点线面之间的关系判定及其性质

平行关系判定

直线与平面平行关系的判定

文字语言图形语言符号语言

平面外一条直线与

判

此平面内的一条直线

定VlUd,tfCg,

平行，则该直线与此平

定L__1Wa,：.l//a

面平行（线线平行n线

理

面平行）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面

性平行，则过这条直线

VIIIa,

质的任一平面与此平面

IU[J,aCp=b,

〃

定的交线与该直线平/a

：d//b

理行（简记为“线面平行

=＞线线平行”）

平面与平面平行关系的判定

文字语言图形语言符号语言

一个平面内的两条aXP,

判

相交直线与另一个平bUfi

定

面平行，则这两个平面/XJaV\b-P,

定

平行（简记为“线面平b__/aUa,bUa,

理

行与面面平行”）•.a//p

文字语言图形语言符号语言

性如果两个平行平面同vaup

质时和第三个平面川交,aC\y=a,

定那么官们的交线平夕n；，=b,

理行：.a//b

必记结论

Q)两个平面平行…其中二个平面内的任意二条直线平行于另二

个平面.一

⑵来在两个至行手面之间的里任线段长度相等,…

(3)经过平面外二点有且只有二个平面与已知平面坐行」

(4)两条直线被三个主任里面所截…截得的对应线段成比例、…

⑸如果两个平面分别平行于第三个平面,…那么这两个平面互相

平行一

⑹如果二个平面内有两条相交直线分别平行于另二个平面内

的两条直线，那么这两个平面平行.

垂直关系判定

直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线I与平面«内的住意直线都垂直,就说直线/

与平面«互相垂直.

\文字语言图形表示符号表示

判条直线与一个平面内il-La,iLb

定的两条相交宜线都垂aC\b—O

OZ_La

定直，则该直线与此平面aUa

理垂直bUa

性

两直线垂直于同一个,1।b

质7a工a

平面，那么这两条直^a//b

定bl.a

线平行U

理

i.…直线与平面垂直的定义常常逆用z…即4La.，.…

2.…若平行直线中二条垂直壬平面,…则另二条也垂直于该平

面一

3,…垂直于同二条直线的两个平面平任,…

4,_过二点有且只有二条直线与已知田面垂直,…

,5..T…过二点有且只•有二.个受面与,已知直线垂直,…

平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是“：问加,就说这

两个平面互相垂直.

\文字语言图形表示符号表示

判

一个平面经过另一个平

定Ua,/U.

面的一条垂线，则这

定a邛

两个平面互相垂直

理

性如果两个平面互相垂直，a邛、

质则在一个平面内垂直于

>=>ZJ_a

定它们交线的直线垂直d“/-L”\

理于另•个平面

1,…两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况,…正方体中

任意相邻的两个面都是互相垂直的,…

…,由定理可知.?…要证明至面与千面垂直2可转化为从现有直

线史寻找里面的垂线zi即证明线面.垂直;…

其余类型

3.直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，

叫做这条斜线和这个平面所成的角.

(2)线面角e的范围：ee[o,磬

4.二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半"血所组成的图形叫做

二面角.

(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面

内分别作与棱垂”的射线,则两射线所成的角叫做二面角的

平面角.

第二部分、解题技巧+推论

较多，选择记忆

109.证明直线与直线的平行的思考途径

(1)转化为判定共面二直线无交点；

(2)转化为二直线同与第三条直线平行；

(3)转化为线面平行；

(4)转化为线面垂直；

(5)转化为面面平行.

110.证明直线与平面的平行的思考途径

(1)转化为直线与平面无公共点；

(2)转化为线线平行；

(3)转化为面面平行.

111.证明平面与平面平行的思考途径

(1)转化为判定二平面无公共点；

(2)转化为线面平行；

(3)转化为线面垂直.

112.证明直线与直线的垂直的思考途径

(1)转化为相交垂直；

(2)转化为线面垂直；

(3)转化为线与另一线的射影垂直；

(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.

113.证明直线与平面垂直的思考途径

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；

(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114.证明平面与平面的垂直的思考途径

(1)转化为判断二面角是直二面角；

(2)转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a+b=b+a.

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

(3)数乘分配律：入(a+b)=入a4-入b.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(bWO),a〃bo存在实数入使a=、b.

P、48三点共线oZ尸||4804户=〃4。》=(1一/)以+/加.

力8||8。万、C力共线且48、C0不共线o4月=，CZ5且/6、C0不共线.

118.共面向量定理

向量P与两个不共线的向量a、b共面的o存在实数对x,y,使p=ax+by.

推论空间一点P位于平面MAB内的=存在有序实数对x,y,使加=%忘+V加，

或对空间任一定点0,有序实数对x,y,使。户=64+x而+j力值.

119.对空间任一点。和不共线的三点A、B、C,满足O户=.YQ】+J，O月+二

(x+y+z=后)，则当％=1时，对于空间任一点。，总有P、A、B、C四点共面；当左

时，若Oe平面ABC,则P、A、B、C四点共面；若0史平面ABC,则P、A、B、C四点不共

面.

4B、C、D四点共面u>4方与4方、尼共面o45=<掂+)，就=

Ob=(\-x-y)OA+xOB+)^dC(。任平面ABC).

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,

z，p=xa+yb+zc.

推论设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,

y,z,使方=xCU+ym+zOd.

121.射影公式

己知向量和轴/,e是/上与/同方向的单位向量.作A点在/上的射影/,作B点在/

上的射影则

AB=|阴cos{a,e）=a•e

122.向量的直角坐标运算

设a=（q,a2M3），b=（4也也）则

⑴a+b=（A+4,a?+b2,a3+b3）；

（2）a—b=（t/j-bx,a2-b2,a3-b3）।

⑶入a=（2小尤0，％生）（入WR）；

⑷a•b=axbx+a2b2+a3b3；

123.设A（XQI，4）,B（x2,y2,z2）,则

AB=OB—OA—（x2—再,为—必,z2—Z［）.

124.空间的线线平行或垂直

T-♦

设。=（不，M*1）,6=（工2）2*2），贝U

再=XX2

TT―♦T——

a||Z><=>df=Ab（b00）<=>«M=%必；

51=也

—♦—♦—♦一

a±b<=>ab=0<=>M勺+MJA+二1二2二。-

125.夹角公式

设&=（。「。2，。3），b=（4，d，4）,则

,、a.b,+a、b、+ah

cos（a,b）==JL*,--3-工——.

Qa；+d；+°；也;+b；+b；

推论（q4+a2b2+。3b了<（a：+a；+a；）（b；+b；+6）,此即三维柯西不等式.

126.四面体的对棱所成的角

四面体WBCD中，.4C与80所成的角为8，则

co、a=IQB2+C。）—（8。2+。/）|

-2ACBD

127.异面直线所成角

cos0=|cos卜®|

_1。攻_|演.0+必.2）二1;21

X222

IaI•131+二:-72+V2+-2

（其中8（0<6K90）为异面直线。力所成角，分别表示异面直线a,6的方向向量）

128.直线与平面所成角

AB,m—

/3=arcs'\n————-（m为平面a的法向量）.

\AB：\\m\

129.若A48C所在平面若P与过若AB的平面a成的角氏另两边4C,BC与平面a成的

角分别是优、%，48为A48C的两个内角，则

siira+sin2&=（siirA+sill2B）sin20.

特别地，当ZJC8=90时，有

222

siiiq+sin07=sin0.

130.若A48C所在平面若p与过若AB的平面a成的角6,另两边ZC,BC与平面a成的

角分别是仇、2，/、8'为AAB。的两个内角，则

tan24+tail21=（sin2A+sin25）tan20.

特别地，当4408=90时，有

22

siiiq+siij2%=sin0.

特别地，当408=90时，有

222

sillq+sin32=siii0.

131.二面角a-/-尸的平面角

"7•〃Hl•77—―

0=arccos—.―・或;T-GTCOS—：~—（in,〃为平面a,4的法向量）.

|加||〃||W||H|

132.三余弦定理

设AC是a内的任一条直线，且BC_LAC,垂足为C,又设A0与AB所成的角为斗，AB与AC

所成的角为%,A0与AC所成的角为6.贝Jcos<9=cos4COS%.

133.三射线定理

若夹在平面角为夕的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是4,%,与二面角

的棱所成的角是。，则有siii2@siife-snrq+siii2%-2sm^sin。,cos。；

14一％区0W18O-（4+%）（当且仅当。=90时等号成立）.

134.空间两点间的距离公式

若A（X［，M，Z］）,B（X2,^2,Z2）»则

z广I画=4ABAB=Jny+G-vy+Gf.

135.点0到直线/距离

6屈而二G铲（点P在直线/上，直线/的方向向量a=p］,向量b=P0）.

\a\

136.异面直线间的距离

\CDn\

（44是两异面直线，其公垂向量为〃，c、。分别是/「A上任一点，d为

\n\

间的距离）.

137.点8到平面a的距离

（〃为平面a的法向量，43是经过面a的一条斜线，Jea）.

1〃1

138.异面直线上两点距离公式

d=也孑+7〃2+〃2孑2〃〃7cos8.

+nr+1-277/77cosl^EA.AF)

d=

d=y/h2+nr+n2-2nmcos(pC(p=E-AA-F).

(两条异面直线a、b所成的角为e,其公垂线段44'的长度为h.在直线a、b上分别取两

点E、F,AE=m,AF=n,EF=d).

139.三个向量和的平方公式

(a+b+c)2=t+3+c+2ab+2bc+2c-a

=J+B-+J+21a|.|B|cos(q,B)+2.|c]cos(B,c)+21c|.|a\cos(c,a^

140.长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为小小4,夹角分别为

4、%、%,则有

22222

/=/；+/；+/；0cos24+cos^,+cos03=1osin2+sin%+sin4=2.

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

141.面积射影定理

cos6

(平面多边形及其射影的面积分别是S、S’,它们所在平面所成锐二面角的为。).

142.斜棱柱的直截面

己知斜棱柱的侧棱长是I,侧面积和体积分别是S斜棱柱1M和喔卜棱柱，它的直截面的周长和面积

分别是q和岳，则

①S斜棱柱侧=cj-

②/棱柱=SJ.

143.作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

144.棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的

比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相

似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方)；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的

比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.

145.欧拉定理(欧拉公式)

P+尸-石=2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

(1)E=各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为〃的多边形，则面数F与棱

数E的关系，E=31F\

2

(2)若每个顶点引出的棱数为机，则顶点数V与棱数E的关系：E=-mV.

2

146.球的半径是R,则

其体积/=—4乃及3,

3

其表面积S=4IH2.

147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体：

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体：

正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,

正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3)球与正四面体的组合体：

棱长为。的正四面体的内切球的半径为逅叫外接球的半径为逅a.

124

148.柱体、锥体的体积

嚏体(S是柱体的底面积、。是柱体的高).

腺体(S是锥体的底面积、〃是锥体的高).

第三部分、立体几何常见辅助线技巧

类型一：建立平行关系

通过三角形的中位线或者平行四边形构造线线的平行关系，对于求解线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直，异面

直线夹角以及共面问题均有很大的帮助。

『配中点”利用中位线建立平行关系

例题1:如图，四雌P-ABCD,ADllBC,SAD=2BC,

且E,F分别为线段AD,PC的中点，求证：APll平面BEF。

证明：

连接AC,CE,且AC与BE相交于点0,连接OF,如下图：

•.•ADiiBC,且AD=2BC,

且E是AD的中点,可得：

四曲ABCE>¥行四呼

.-.0是AC的中点，又F是PC的中点

.•.0F是工ACP的中途

/.OFllPA

•.,PAC平面BEF,OFc平面BED

.•.APii平面BEF

分别做PC,PD的中点M,N两点，连接EM,MN,

BC

•.MN为±PCD的中位线,.-.MNIICD且MN=1/2CD

又是AB的中点，..AEllCD且AE=1/2CD

,四边形AEMN是平行四边形,则EMIIAN,

vPA±®ABCDr.'.PA±AD,又4DA=45。，"PAD〜

腰直角三角形

又N是PD中点，.,.ANJ.PD

又「ABCD形,/.CD±AD,又PA±CD,

.•（口_1_面PAD,.-.CD±AN,又上面否PD_LAN,

.•.AN,面PCD

X-.EMllAN一1EMJ■面PCD

又.EMu面PEC,.-.PEC±PCD

例题3:已知：Ai,Bi,G和Az,Bz,C2分别是两条异面

直线Li和Lz上的任意三点，M,N,R,T分别是A1A2,

BIA2,BIB2,CiC2的中点，求证：M,N,R,T四点共面。

证明：

根据三角形的中位线可知：

MNnLi,NRilL

又Li与L2为异面直线，且MN与NR相交于点N

则M,N,R三点可以确认一个平面B

连接,且中点连接,如下图所示：

BIC2S,RS,ST

根据上图可知:

RSIIR,又已知RNIlk,fiRSDRN=R

.-.R,S,N三级线

又M不在R,S,N所在的直线

木髓经过直线外一点有且只有一个平面可知：

M,N,R,T四点共面

2构造平行四边形建立平行关系

例题1：如圉，三棱柱ABC-AiBiG中，底面ABC是等边

三角形，侧面BCGBi是矩形，AB=AiB,N是BK的中

点，M是核AAi上的一点，且AAi±CM,证明：

MNII平面ABC

证明：

连接BM,取BC得中点P,连接AP,NP,如下图：

•.AAiilBBi.,.AAl±BC

•.AAi±MC,BCOMC=C,

.♦,AAiJ■平面BCM

.'.AAi±MB

,.AB=AiB

r.M是AAi的中点，

.-.NPilMA，且NP=MA

四边形AMNP是平行四边形

.".MNllAP

•.•MNc平面ABC,APc平面ABC

.\MNli平面ABC

例题2:如图，在正方体ABCD-AiBiJDi中，边长为4,

已知BiE=DiF=l,则试求BE与DF所成角的余弦值。

解：

作AiBi边上找一点G,使得AiG=DiF，连接FG，作EHllAG

­.AiG=DiF

可得：四边形ADFG为平行四边形

.-.DFliAG，又EHIIAG

.-.DFllEH

/.BE与DF所成的角转换成BE与EH所成的角

在々BEH中,可知EH=EB=g,BH=2

IS

由余弦定理可得：cosa=一

17

类型二：建立垂直关系

通过等腰三角形底边中线，三垂线定理或者面面垂直构造线线的垂直关系，对于求解线线垂直，线面垂直，面面垂直,

线面夹角和二面角，甚至几何体的夕展球半径问题都有显著的影响。

等腰三角形一-做底边的垂线

例题1：如图，三棱锥P-ABC中，-PAB是等边三角形，

zPAC=zPBC=90°,求证：AB±PC

证明：

取AB的中点M,连接CM,PM

•rPAB是等边三角形一\PB=PA

又PC=PC,zPAC=zPBC=90°

"PBaPAC,，BC=AC

/.-ACB是等腰三角形，M是AB的中点,.-.CM±AB

又在等边二PAB中，M是AB的中点,/.PMJ.AB

..ABJ■面PMC

.-.AB±PC

例题2:如圉所示，已知直四棱柱ABCD-AiBiJDi中，

AD±DC,ABIIDC,且满足DC=DDi=2AD=2AB=20

(1)求证DBJL平面BiBCJ

(2)求二面角Ai-BD-J的余弦值。

解：

(1)证明暗

⑵分别取BD,DJ中点M,N,连接AiM,AiN,MN

由(1)可得:DBiBCi,XMNliBCi

故MN_LDB

又AID=AIBr.'.AiM±DB

故NAIMN即为二面角Ai-BD-J的平面角

1372

易得：MN=-BCi=—,AiM=——

222

MN<3

故在占AiMN中coszAiMN=-------=—

A]M3

例题3:三频P-ABC,PA±PB,AC±BC,且AB=6,

求三棱锥P-ABC的外接球表面积。

解：

取AB的中点0,连接OP,0C

­.-PAB是直角三角形，AB为斜边

.1.OP=OA=OB

同理可知:OC=OA=OB

即OP=OA=OB=OC

1

.-.0就是三棱锥P-ABC的球心,R=-AB=3

2

HfgiaS=4nR2=36n

2三垂线定理一-直接作垂线

过A作AOJ■平面BCD于点0,连接OB,0C,0D

可得：AO±CD

又AB_LCD

，CD_L平面AOB,

.-.BO±CD

同理可得：CO±BD

.-.0为二BDC的垂心

.•QD_LBC,又ACLLBC

.\BC_L平面AOD

.'.BC±AD

例题2:如图，ABCD-AiBiGDi是正四棱柱，侧棱长为1

,底面边长为2,E是侧棱BC的中点，求面CiDE与

面CDE所成二面角的正切值。

解:

过点C作CM_LDE,垂足为M,连接CiM

•rCCiJ■面ABCD

.•.CCI_LDE,又CMJLDE

J.DEJ■面CCiM

.-.DE±CiM

.-.zCiMC即为二面角Ci-DE-C的平面角

•.E为BC的中点,且ABCD为正方形

则有：DECM=CEDC

又CD=2CE=2

2V5

则CM=7一，又JC=1

C[CJi

贝（ItanzCiMC=----=一

CM2

例题1：如圉，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体

中,平面CDEF,平面ABCD,FC=FB,四边形ABCD为

平行四边形，且NBCD=45°,求证:CD±BF

证明:

过点F作FG±CD，连接BG,

•.•面CDEFJ■面ABCD

可得:GF±ABCD,.-.GF±GB,

又FB=FC,GF=GF,

.•』FGC"FGB

,-.GB=GC

又NBCD=45°

.-.-BCG为等腰直角三角形

即BG±CD,CD±FG

.\CDJL面BGF

.-.CD±BF

例题2:如圉，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,

BC的中点，以DF为折痕把-DFC折起，使点C到达点P

的位置，使得平面PEF,平面ABFD,试求DP与平面

ABFD所成角的正弦值.

解：

在平面DEF中，过P作PH_LEF于点H,连接DH,

由于EF为面ABCD和面PEF的段,PH±EF,

则PH_L面ABFD，故PH_LDH.

则DP与平面ABFD所成角为NPDH

又可知BF_LEF,则BF_L面PEF,

则PF_LBF,又已知DEuBF

.-.PF±DE

又PF_LPD

.-.PFJ.®PDE

VDEIIBF,BFJ■面PEF,则DE±PE

设正方形边长为2a,