高中数学必修二第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题 (23)(含解析)

第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题(23)

1.在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,E是线段尸。的中点.

(1)在图中作出过点B、C、E的平面与该四棱锥的交线，并求出截面周长.

(2)求异面直线与CE所成角的余弦值.

2.如图，在直三棱柱ABC-a/iG中，点E、尸在侧棱8当、CC1上，且B1E=2EB,C#=2FC,

点。、G在棱48、AC上，S.BD=2DA,CG=2GA.

(1)证明：点G在平面EFD内;

(2)若4B4C=90。，AB=AC=1,=2,求直线OF与平面48c所成角的正切值.

3.如图，在长方体ABC。-AiBiGCi中，点E,尸分别在棱。上，且2DE=EDX,BF=2FB]

证明：

(1)当4B=BC时，EFLAC-.

(2)证明：点G在平面AEF内.

4.如图，在六面体ABCD—48停1/中，/MJ/CC;,底面ABC。是菱形，且占01平面4&C.

(1)求证：平面A/。平面&。8；

(2)求证：BB山DD>

5.如图，在空间四边形ABCD中，E,尸分别是4B,AD的中点，G,”分别在BC,CD上，且BG:GC

DH:HC=1:2.

A

⑴求证：E,F,G,H四点共面：

(2)设EG与相交于点P,求证：P,4c三点共线.

6.(1)如图，已知AB为圆0的直径，点力为线段上一点，且点C为圆0上一点,

且BC=取AC,PDJ■平面ABC,求证：CD1平面PAB.

P

(2)如图，已知矩形CDEF和直角梯形ABC。，AB//CD,乙4DC=90。，DE=DA,M为AE的中点,

求证：BE1DM.

AB

7.如图，四边形4BE尸和四边形ABC。都是直角梯形,NBA。=乙FAB=90。,8c平行且等于“£),

BE平行且等于［凡4,G,”分别为E4,尸。的中点.

(1)求证：四边形BCHG是平行四边形;

(2)求证：C,D,F,E四点共面.

8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABC。是正方形，侧棱PAL底面ABC。，PA=AD,E、F分别是

棱P。、BC的中点.

(/)求证：AE1PC；

(H)求直线PF与平面PAC所成的角的正切值.

9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=CD=2AB=2,AB1AD,CD1AD,PA1底面

ABCD,M为PC的中点.

(1)求证：BM〃平面PAO；

(2)在侧面PAD内找一点N,使MN1平面PBD；

(3)求直线PC与平面PHD所成角的正弦.

10.四棱锥P-ABCD的底面ABC3是菱形，P41平面4BCD,点产为PC的中点.

(I)求证：P4〃平面80F;

(II)求证：BD1平面PAC.

11.如图，在底面为菱形的四棱锥PfBCD中，4BCD=6。。，P4=P".CD.

(1)证明：AD1PB；

(2)若PB=AD,点。在线段P8上，PQ=3QB,求二面角4一CQ-B的余弦值.

12.如图，已知三棱锥P-4BC,P4JL平面ABC,44cB=90。，ABAC=60°,PA=AC,M为PB

的中点.

P

(1)求证：PC工BC；

(2)求二面角M-AC-8的大小.

13.如图，在四棱柱ABCD-AiBiGDi中，441平面ABC。,底面A8C£＞是矩形,AB=1,BC=夜,

CCi=2,。为棱CG的中点.

(1)求直线。1Q与平面BG5所成角的正弦值;

(2)求二面角Q-BD、-G的余弦值.

14.如图，在四棱锥A—BCD中，△48D、△BCD均为正三角形，且二面角4一BD-C为120。.

A

c

(I)求证：AC1BD-,

(n)求二面角B-AD-C的余弦值.

15.如图1,在直角△ABC中，/-ABC=90°,4c=48,,AB=2V3,D,E分别为AC,BD中点,

连接AE并延长交BC于点F,将△ABD沿折起,使平面ABD_L平面BCD如图2所示.

BF°BFC

图1图2

(1)求证：AE1CD；

(2)求平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值.

16.已知正方体aBCC—&BiGDi的棱长为4,点E在441上，点尸在CQ上，且AE=FQ=2.

(1)求证：E,B,F,01四点共面.

(2)若点G在BC上，BG=L点M在BBi上，GM±BF,求证：EM1平面BCC/i.

%IQ

1

B

17.如图，在长方形48C。中，4B=4,BC=2,现将△AC。沿AC折起使。折到P的位置且P在

面ABC的射影E恰好在线段AB上.

(I)证明：AP1PB；

(n)求三棱锥P-EBC的体积.

18.如图，在正三棱柱ABC-4&G中，AB=3,=4,M为A&的中点，

尸是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CCi到M的最短路线长为窈,

设这条最短路线与CG的交点为N,求：

(/)该三棱柱的侧面展开图的对角线长

(〃)PC和NC的长

(/〃)平面M0P与平面A8C所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)

19.如图，在圆柱W中，点01、。2分别为上、下底面的圆心，平面

MNFE是轴截面，点”在上底面圆周上(异于N、尸)，点G为下

底面圆弧靛的中点，点4与点G在平面MNFE的同侧，圆柱

W的底面半径为1.

(1)若平面FNHJ_平面NHG,证明：NG1FH-.

(2)若直线。1"〃平面FGE,求H到平面FGE的距离.

20.如图，空间四边形A8CD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CO和A。上的点.

(1)如图1,若E/7与FG相交于点K,求证：EH,BD,PG三条直线相交于同一点；

(2)如图2,若EH〃FG,求证：EH,BD,尸G三条直线互相平行.

图】图2

【答案与解析】

1.答案：解：（1）如图所示，设尸为P4的中点，连接EF,BF,

由题意，EF=：AD=1,

由APAB,△PCD是边长为2的等边三角形，可得BF=CE=g.

截面四边形BCEF的周长为2+V3+1+V3=3+273;

（2）设。为底面时角线的交点，连接0E,则。E〃PB,

40EC即为异面直线尸8与CE所成角（或其补角）.

在AOEC中，OE=TPB=1,0C=V2,CE=痘.

由0£2+。。2=。£2,.以。。？为直角三角形，

OEV3

cosZ-OEC=—=——・

CE3

解析：本题考查平面的基本性质与推理，考查空间想象能力与思维能力，训练了异面直线所成角的

求法，是基础题.

（1）设尸为PA的中点，则EF,必为所求，再由已知分别求出EF,BF,CE的长度，则答案可求；

（2）设。为底面对角线的交点，连接OE,贝IJOE〃PB,可得NOEC即为异面直线尸8与CE所成角（或

其补角），然后求解三角形得答案.

2.答案：解：（1）证明：连接。G、FG,

因为点E、/在侧棱BB［、CC］上，且B［E=2EB,C1F=2FC,

又BB"/CCi且BBi=CC］，

所以EB〃尸C且EB=FC,

所以四边形BCFE为平行四边形，

所以E尸〃BC,

又因为点。、G在侧棱A3、AC上，BLBD=2DA,CG=2GA,

所以GD〃BC,且GD=1",

所以EF〃G。且GD=》F,

故四边形。EFG为梯形.即。、E、EG四点共面,

所以点G在平面EFO内.

(2)由题设三棱柱ABC-AiBiQ为直三棱柱，/BAC=90。知：A3、AC,占4两两垂直,

且ABC4C=A,AB,ACu平面ABC,

故A4]_L平面ABC,

又C[C〃AA],

所以GC_L平面ABC,尸为GC上一点，

所以点F在平面ABC上的射影为点C,

连结CZ),贝叱FDC即为直线。尸与平面A3C所成角，tan"DC=*

因为点。在棱AB上且BD=2DA,

所以==a

因为点C在棱CCi上且CiF=2FC,

1-10

所以FC=：CCi=：A4i=：,

因为NB4C=90°,

所以DC=y/^DA)2+(AC)2=r，tan/FDC=黑=盒=?，

3

所以直线。尸与平面ABC所成角的正切值是唱.

解析：本题重点考查空间中的直线与直线平行和线面角的求法，属于一般题.

(1)通过求证四边形DEFG为梯形，即可求证点G在平面EFD内；

(2)先说明NFDC即为直线QF与平面ABC所成角，再利用三角知识求解即可.

3.答案：解：(1)连接8。，BiDi，

因为4BCD-4BCD1是长方体，

所以SB】J"平面ABCZ),

而4cu平面ABCD,所以4c1BB「

因为ABC。-&B1C1D1是长方体，

且AB=BC,所以ABC。是正方形，

所以AC1BD,又BDCBB、=B.

BD.BB[C平面,

所以4c_L平面BB/i。，

又因为点E,尸分别在棱。劣，8名上，

所以EFu平面BBiDiD,

所以EF_L4c.

(2)在CCi上取点M使得CM=2MG，连CM,MF,EC1，

因为QE2ED.DDi//CCi.DDlCC\,

所以EOED〃八/Ci.

所以四边形DMGE为平行四边形，

DM//ECi,因为MF〃。儿MF-0.4.

所以四边形"FAD为平行四边形，

DM//AF,ECi//AF,

因此Ci在平面AEF内.

解析：【试题解析】

本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线平行的性质应用，是中档题.

(1)因为4BCD-4通心。1是长方体，SLAB=BC,可得ACJ_平面BBiDi。，因为EFu平面BBiQD,

所以EF14C.

(2)在CG上取点M使得CM=2MQ,易证EG〃DM〃4F,即可得到G在平面AEF内.

4.答案：证明：(1)根据题意，因为四边形A8C。是菱形，

于是ACJL80,又占平面4A传，ACu平面AAC

所以4DJ.AC,iLA^HBD=D,&Du平面&DB,BDu平面4DB,

所以AC，平面且4cu平面4B]C,

所以平面4当。_L平面

(2)因为四边形ABC。是菱形，于是有2ZV/BC,

又因为444/CG，CGu平面BBiGC,44仁平面BaGC,

所以A4〃平面BBiGC.

又他u平面488出，平面ABBiACl平面BBiGC=BB「

所以441〃叫

同理，AA\"DD[.

所以BBi〃DD「

解析：本题考查面面垂直的判定，线线平行的判定，属于中档题.

题(1)利用已知条件得到AC垂直平面&DB,结合线面垂直的性质可以证得结论；

题(2)利用两平面平行性质，以及线线共面的性质可证.

5.答案：证明：(1)；E、F分别是AB和的中点，

•••EF为△ABC的中位线，

•••EFUBD,

又BG-.GC=DH-.HC=1:2,

在△CBD中

BD//GH.

EF//GH,

所以，E、F、G、H四点共面.

(2)•••EGCFH=P,

：.PeEG,PeFH,

由EGu平面ABC,P6EG,得P6平面ABC,

由FHu平面ADC,PGFH,^Pe平面ADC,

又平面ABCn平面ADC=AC,

所以P6AC,

所以P,4c三点共线.

解析：本题考查了求证四点共面和三线共点的问题，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题.

(1)通过求证E/7/GH,可得E、尸、G、〃四点共面；

(2)由PC平面48C,P6平面43C,可得P€4C,即可求证P,4c三点共线.

6.答案：(1)因为42为圆。的直径，所以4C_LCB,

在Rt团ABC中，由倔1C=BC,得乙4BC=30°

设4。=1,由34。=。8,得。8=3,BC=2痘,

由余弦定理得CD?=DB2+BC2-2DB-BCcos300=3,

所以CD?+£>B2=Bf2,^CDLAO.

因为P。_L平面ABC,CDu平面ABC,所以P。1CD.

由PDCtAO=D,PD,AOu平面PAB,得CD_L平面PAB.

(2)在矩形C£)EF中，CD1DE.

因为乙4OC=90。，所以CD_L4£).

因为DEn力。=D,DE,ADu平面ADE,所以CD1平面ADE.

因为DMu平面ADE,所以CD1DM.

又因为4B〃CD,所以4BJLCM.

因为40=0E,M为AE的中点，所以4E1DM.

又因为48C\AE=A,AB,AEu平面ABE,所以M。JL平面ABE.

因为BEu平面ABE,所以BE1MD.

解析：【试题解析】

略

7.答案：(1)由题知FG=G4FH=HD,得GH/AD.又BC、AD,所以GH4BC,所以四边形

BCHG为平行四边形.

(2)由G为FA的中点，知BE〃尸G,所以四边形8EFG为平行四边形，所以EF〃BG.由

(1)知BG〃CH,所以EF〃CH,所以EF与C”共面.又D6FH,所以C,D,E,尸四点共面.

10.【解

解析：【试题解析】

略

8.答案：(I)证明：因为P4，底面ABCD,

所以PA1DC,因为底面ABCD是正方形，

所以4。ICCADn/M=4,

因为A。、P4u平面PAD,

故QCL平面PAO,4Eu平面PAO,

所以力E_LDC,

又因为PA=AD,

点E是棱P。的中点，

所以力E_LP。，PDQDC=D,

因为尸£＞、。。（3平面/5。0

故AE1平面PDC,

PCu平面PDC,

所以4E1PC.

（口）解：以AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系,

设P4=AD=2,直线PF与平面PAC所成角为。，

P(0,0,2),尸(2,1,0),两=(2,1,—2)，

4(0,0,0),C(2,2,0),AP=(0,0,2).AC=(2,2,0)

设平面尸AC的法向量记=(x,y,z),

贝迪.亚=2z=0,

[n-AC=2x+2y=0

(x=l

取(y=—1,n=(1,—1,0),

(z=0

sin0—|cos<PF,n>\=—.

6

所以tan。=—.

17

解析：【试题解析】

本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查利用向量的方法解决立体几何问题，属于中档

题.

(I)证明4E1平面PDC,即可得出4E1PC；

(口)以48,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系，求出平面PAC的法向

量，即可求直线PF与平面P4C所成角的正弦值.

9.答案：解：(1)因为M是PC的中点，取尸。的中点E,

则ME〃CO,且=

又AB"CD,AB=^CD,

故ME和A8平行且相等，

故四边形为平行四边形.

所以BM〃E4

又BM仁平面PAD,EAu平面PAD,

所以BM〃平面PAD.

(2)以A为原点，以AB、AD,A尸所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则8(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),1),E(0,l,1),

在平面PA。内，设N(0,y,z),

则丽=(-l,y-l,z-1)，PB=(1,0,-2)>丽=(1,-2,0)，

由丽JL丽，可得丽•丽=-1—2z+2=0，

所以z=：.

由而，而，可得而•丽=-l-2y+2=0，

所以y=\-

所以N(。浦,

故N是AE的中点，此时MN_L平面PBZ).

(3)设直线PC与平面所成的角为0,

因为定=(2,2,—2),MN=

设定与丽的夹角为a，

P?MW-2V2

则c°sa=|PC|.|MN|=康浮一T>

所以sin。=—cosa=—»

3

故直线PC与平面PBD所成角的正弦为它.

3

解析：本题主要考查空间中直线与平面的位置关系、线面平行的判定，线面垂直的判定，直线与平

面所成角以及利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属于较难题.

(1)取尸力的中点E,证明四边形48ME为平行四边形，可得BM〃E4再根据直线和平面平行

的判定定理证得BM〃平面PAD-

(2)以A为原点，以AB、AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设N(0,y,z),

由丽•而=0、W-DB=0.求得y、z的值，可得N的坐标；

(3)设直线PC与平面P8Z)所成的角为。，设定与丽的夹角为a,由cosa=瑞瑞的值，求得sin。=

-cosa的值.

10.答案：证明：(1)连接AC交BO于点。

•.•底面ABC。是菱形，

•••。为AC中点

•••点/为PC的中点，

二。尸为4P4C的中位线

PA//OF,

vOFu•平面BDF,PA<4•平面BDF,

：.PA〃平面BDF;

(2)•.•底面ABC3是菱形，

•••BDLAC，

•••PA±ABCD,BDc5!20ABCD,

•••PALBD,

又•••P4n4C=4,PA,ACu平面PAC,

BD±平面PAC.

解析：【试题解析】

本题考查线面平行和线面垂直的证明，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档

题.

(1)连接AC交BO于点。，可知。为AC中点，结合点F为PC的中点，可得OF为4P4C的中位线，

进而得到PA//OF,再根据线面平行的判定定理即得证P4〃平面2。尸；

(2)由题可得3OLAO,根据PAL平面ABC。，即可证明再根据线面垂直的判定定理即

可得证平面PAC.

11.答案：(1)证明：取的中点。，连接OP,OB,BD,

因为四边形A8CZ)是菱形，且4BCD=60。，

所以4BAD=60°,且48=AD,

所以△A3。为正三角形，AD1BO,

因为P4=PD,所以40_LP。，

又BOCPO=0,BO、。。＜:平面尸8。，

所以AD1平面PBO,

因为PBu平面P80,所以4D1PB.

(2)解：设48=2,则P4=PD=¥CD=&,

所以PA?+p/)2=4。2,所以NAP。=90。，

由(1)知，PO=1AD=1,

又B。=当AD=y/3,PB=AD=2,

所以。。2+OB?=PB2,所以POJ.B。，

故以。为坐标原点，分别以市，OB,左的方向为x,y,z轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系。-％yz.

则A(l,0,0),B(0,b,0),C(-2,V3,0)，P(0,0,l)，(?(0,乎,今，

所以？X=(3,一旧,0)，贞=(2,一2,},CB=(2,0,0).

((3%i-次%=0

设五=即为2)是平面ACQ的法向量，贝1」n,r丝~A一-?}，即731，

(九•CQ=o(2%i——y1+*1-0

取yi=g,则元=(1,百,一5)，

设沅=(%22*2)是平面BCQ的法向量，则晒,线=?,即胃之一*J八，

(m-CQ=0(2%2--yi+-^2=0

则》2—0,取丫2=1，则沆=(0,1,V5)，

则cos低.记＞=肆=空=一笋=一迺，

''|n||m|2729x/2929

由图易知二面角4-CQ-B为钝二面角，

所以二面角4-CQ-B的余弦值为—迹.

29

解析：【试题解析】

本题考查空间中直线与直线的位置关系，线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角，利用空间向

量求线线、线面和面面的夹角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题.

(1)取A。的中点0,连接OP,OB,BD,证明40J.B。，AD1P0,可得4D_L平面PBO,再由PBu

平面尸20可得结论；

(2)由题意，以。为坐标原点，分别以瓦?，0B,而的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系。一xyz,利用空间向量法计算二面角4-CQ-8的余弦值即可.

12.答案：解：(I)证明：由P4_L平面ABC,P4J.BC,

又因为N4CB=90。，即BC_L4C.PAOAC=A,PA,ACc/ff/PAC,

BCIffiPAC,PCu面PZCPC1BC.

(口)取48中点0,连接加0、过。作“。，4(：于“，连接M”，因为M是P8的中点，所以M0〃P4,

又因为P4_1面480•••M0_1面48。.二NMH。为二面角M-AC—B的平面角.

设4C=2,则BC=2H，MO=1,OH=V3.

在RtAMHO中,tan/MH0=^=3.

HO3

二面角M—AC—B的大小为;川.

解析：【试题解析】

(I)通过证明PA1BC,BC1AC.得至IJBC1面PAC即可

(II)取AB中点0,连结M0、过。作H。14c于4,连接M”，因为M是P8的中点，乙MHO为二

面角M-AC-B的平面角.在RtAMH。中，球tan/MH。即可.

本题考查了线线的位置关系，及二面角的求解，属于基础题，

13.答案：解：由题意知，四棱柱4BCD-4遇16名是直四棱柱，以。为坐标原点，DA，DC，西的

方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(71,0,0),B(V2,l,0),Ci(0,1,2),£>i(0,0,2),(2(0,1,1),

所以京=西=(一鱼,0,2),0^7=(0,1,0).

西=(一四,一1,2)，BQ=(-72,0,1).

(1)设平面BG5的法向量为记=(a,b,c),

所以(画记=°,即,-缶+2c=0,

I01cl•沆=0,(b=0,

令a=V2,则记=(V2,0,1)为平面BGA的一个法向量,

故即保，砌旧褊邛

所以直线DiQ与平面BCiA所成角的正弦值为匹.

6

(2)设平面QB。1的法向量为元=(x,y,z),

则1元.££i=0,即］-岳一y+2z=0,

、In•丽=0,I—A/2X+z=0,

令％=1,则记=(1,企,企)为平面QB%的一个法向量.

故8s〈记向=需2班2国

73x7515

由图象可知，二面角Q-BDi—G为锐二面角,

所以二面角Q-BDi—G的余弦值为鬻.

解析：

【试题解析】

本题考查空间中的线面位置关系以及空间向量，考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力和运算求

解能力.

14.答案:解：(I)设3。的中点为O,则由△4BD、ZkBCD均为正三角形分别可得：。41BD,CO1BD,

BD_L面AOC,于是AC1BD；

(11)设4BCD的边长均为2a,则力。=CO=8a,由二面角4-BD-C为120。,可知4c=3a.

过点B作BEJ.4。，垂足为E,显然BE=Ha;过点E作EH1AD,显然4H=：a,EH=-a,

33

连OH,则NBEH就是所求的二面角B-AD-C的平面角.

在等腰AACD中，计算得EH="a,DH=BH=+.

33

于是在ABEH中，由余弦定理计算得到cosNBEH=叵.

7

解析：【试题解析】

本题考查线线垂直的证明，考查二面角余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想

象能力，是中档题.

(/)取8。的中点。，推导04_LBD,CO1BD,BDiffiAOC,由此能证明4C1BD；

(〃)过点8作BE1AD,垂足为E,过点E作EH1AD,连。”,贝叱BEH就是所求的二面角B-4D-C

的平面角，

于是在△BE"中，由余弦定理计算得到cosNBEH=%即可.

7

15.答案：解：(1)证明：由条件可知4B=40,E为8。的中点,

所以4E18。，

又面4BDL面BDC,

面ABDC面BCD=BD,iLAEu面ABD,

所以4E1®BCD,

又因为CDu平面BCD,

所以AE1CD.

(2)以E为坐标原点O,EF,ED,EA所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

在直角三角形ABF中，可得BF=2gtan30。=2,

可得EF=2cos60。=1,

可得E(0,0,0),4(0,0,3),D(0,V3,0).C(3,2V3,0),F(0,-V3,0).

由BE，平面AEF,可得平面AEF的法向量为由=(0,-V3.0)，募法

AD=(0,V3,-3).AC=(3,2V3,-3).

设平面ACC的法向量为H=(xj,z),

由0,AD-y/3y-3z=0

令y=V5，可取五=(一1,g,1),

(n-~AC=3x+2>j3y-3z=0

可得公元，前>=器=粽=一?，

则平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值为第.

解析：【试题解析】

本题考查线面垂直和面面垂直之间的转换，二倍角的余弦值，注意运用转化思想和法向量法，考查

运算能力和推理能力，属于中档题.

(1)根据面面垂直转换为线面垂直，进一步求出线线垂直;

(2)以E为坐标原点O,EF,ED,E4所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，分别求得£,A,

C,D,B的坐标，运用法向量法，结合向量数量积的夹角公式，计算可得所求值.

16.答案：证明：(1)在DDi上取一点N使得DN=2,

连接CMEN,由题意四边形CFQN是平行四边形，

•••D、F//CN.

同理四边形DNEA是平行四边形，

EN//AD,且EN=AD.

又BC“AD,且4D=BC,AEN//BC,EN=BC,

••・四边形CNEB是平行四边形.

CN//BE,DrF//BE.

­■E,B,F,%四点共面.

〜△

(2)GM_LBF,BCFMBG,oC=7C7r,

即”=A...MB=2.---AE=2,

42

.•.四边形ABME是矩形.EMIBBr.

又平面488遇1_L平面BCGBi，且EM在平面ZBB1a内,

EM

解析：(1)在。Di上取一点N使得£>N=2,连接CMEN,推导出四边形CF5N是平行四边形，从而

DiF〃CN.同理四边形。NE4是平行四边形，推导出四边形CNE8是平行四边形.由此能证明E,B,

F,Di四点共面.

(2)推导出四边形ABME是矩形.从而EM18%由此能证明EM

本题考查四点共面、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

17.答案：证明：（I）由题知PE1平面

ABC,BCu平面ABC,：.PE1BC,

又AB1BCELABCPE=E,BCL平

面PAB,

APPAB,.-.BC1AP,

又4P1CP且BCC\CP=C,AAP1平面PBC,

vPBu平面PBC,：.AP1PB；

解：（11）在4。48中，由（I）得4PJ.PB,

vAB=4,AP=2,:.PB=2®PE==V3,得BE=3,

4

在Rt△EBC中，vEB=3,BC=2..-.ShEBC=|x3x2=3,

^P-BCE=gX3XV3=y/3.

解析：(I)由题意可得PEJ■平面ABC,贝i]PE_LBC,5LAB1BC,得BC1平面PAB,可得BC14P,

结合题意可得4P_LCP,由直线与平面垂直的判定可得力PJ■平面PBC,进一步得到4PLPB；

(II)求出PE,再求出8E,得到三角形EBC的面积，由棱锥体积公式求解三棱锥P-EBC的体积.

本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法,

是中档题.

18.答案：解：(/)正三棱柱ABC-4B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形，其对角线长为

V92+42=V97

(〃)如图1,将侧面BBiGC绕棱CG旋转120。使其与侧面44道1。在同一平面上，点尸运动到点匕的位

置，连接则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CQ到点M的最短路线

设PC=%,则PiC=x,在RtZkM/Pi中，由勾股定理得（3+%）2+22=29

求得％=2

・,.pc=P1C=2

NC_PiC_2

VAM==5

NC=-

（/〃）如图2,连接PPi，则PPi就是平面NMP与平面ABC的交线，作NHIPPi于”，又CG_L平面

ABC,连接CH,由三垂线定理得，CH1PPr

二4N”C就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）

在Rt△PHC中，vZ.PCH=:4PCPi=60°,CH=y=1

4

在RtANCH中，tan/NHC="=5=2