五年级下册数学素材-奥数几何专项十三展开图与空间 人教版

二:::弱便倒我

1.数一数下图中有多少个正方体木块?

从下到上各层分别有3个、3个、1个，因此共有3+3+1=7个方块.

【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱?

I如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形.前、后看各有1个面,

左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面.所以共有

1+1+1+2+2+1=8（个）面.前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6

条，所以共有棱6+6+6=18（条）.

2.如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后,

沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？

容器的底面积是

（13-4）x（9-4）=45（平方厘米），

高为2厘米，所以容器的体积是,

45x2=90（立方厘米）.

【巩固】沿图4的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是立方厘米。

图4

宽+高=7,,长=5,长+高=8,所以长=5,高=3,宽=4,体积为3x4x5=60立方厘3

3.下列图形经过折叠不能围成正方体的是.

【巩固】左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面.请在右下方的展开图中

画出四边形APQC的四条边.

把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关

键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出.

⑴考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符

号，见左下图.

⑵根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：

顶点：A-4,C-C,P在E尸边上，Q在GF边上.边4c在ABC。面上，APABFE

QC^BCGFPQ在EFGH面上.

⑶将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线.需要注意的是，立体图上的A,C点

在展开图上有三个，B,D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面.连

好线的图形如右上图.

4.图1是下面的表面展开图

①甲正方体;

②乙正方体;

③丙正方体;

④甲正方体或丙正方体.

甲乙丙

从展开图可以看出，每个面上至少有一块阴影，从而排除丙；又每个面上没有相邻的两块阴影,

从而排除乙.故选甲答案为①.

【巩固】选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是（）.

图中A、C、。项展开后的图形均为下图，只有B项展开后的图形与题中左边图形相符，所以答

案为B.

O

区回口

5.将A、B、C、D、E、F六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这

个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上.

(a)(b)(c)

C和ABDE都不相对，故C和F相对，A和BE不相对故A和D相对，最后剩下的BE相对

A-D,B-E,C-F

【巩固】用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色.如

图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体.试回答：每个小正方体中，哪些

颜色分别涂在相对的面上？

如和黑黄白蓝都不相对，故红和绿相对，黄和黑白不相对故黄和蓝相对，最后剩下的黑白相对

红-绿，黄-蓝，黑1白

6.把2、4、6、8、10、12这六个数字依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个

底面上，然后把立方体展开，如图1,最左边的正方形上的数字是12,则最右边的正方形

上的数字是o

最右边的正方形是在2的对面，也就是背面，为4

【巩固】如下图，一个正方体木块放在桌面上，每个面内都画有若干个点，相对的两个面内的点数

和都是13,京京看见上、左、前三个面内的点数的和诗16,庆庆看见上、右、后三个面内的点数和

是24。那么贴着桌面的那个面的点数是—.

【解析】上+左+前=16上+右+后=24

因此：上+上+（左+右）+（前+后）=40,

又因为左+右=前+后=13,因此

40-13-13

上=----------------=7,则下=13-7=6.

o

7.用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体

ABC。-A4CQ（如图），大正方体内的对角线AG,皿，CA],DB,所穿的小正方体都

是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，

问：无色透明小正方体用了多少个？

AC1、BD、,CAX,DB、,四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体.除此而外，每条对角线

穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过四二1+1=101个小正方体

4

这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成.因此大正方体由10r个小正方体组成，其中

无色透明的小正方体有1013-401=1030301-401=1029900.

即用了1029900个无色透明的小正方体.

【巩固】如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体

八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并

保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%,

那么一共用了多少个黑色的小正方体？

I白色正方体的体积占总体积的93.75%,即占整个的生，白色正方体与黑色正方体之比为：1：15,

16

观察可知，每一层黑色正方体有4个，则白色正方体有60个，所以每一层共有64个正方体，则

正方体的边长为1,则共有8层，所以一共用了4x8=32个小的黑色的正方体。

8.有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字（不同的立方体可以写

相同的数字）先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方

体写着2的立方体相邻（见左下图）.依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上

的所有数字之和是多少？

第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1（见下图）.

上面的9个数之和是27,由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27.同理，下面的9

个数之和是45,下面、左面、后面的所有数之和都是45.所以六个面上所有数之和是

(27+45)x3=216.

【巩固】如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的.其中有些小正方体已经被挖除，图中涂

黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分.请问剩下的部分共有多少个小正方体？

I对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题同一般可以采用“切

片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别

计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加.

采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分.

从图中可以看出，第1、2.3、4,5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个,

所以总共还剩下22+11+11+6+22=72（个）小正方体.

9.将一个立体纸盒沿着棱切开，使它展开成下图所示的图形，一共要剪开一条棱。

容易看出这个展开图可以拼成一个封闭的立体国形，展开图外围一共有12条边；这个封闭的立

体图像要展开成图中的展开图，每剪开一条棱，就会产生外围的2条边；所以需要剪开12+2=6

条棱

【巩固】如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）.这个多面体的面

数、顶点数和棱数的总和是多少？

多面体的面数，可以直接从侧面展开图中数出来，12个正方形加8个三角形，共20面.

右上图是多面体上部的示意图共有9个顶点；同样，下部也是9个顶点，共18个顶点.

棱数要分成三层来数，上层.从示意图数，有15条；下层也是15条；中间部分为6条.一共15

X2+6=36（条）.

总和为：20+18+36=74（个）.

10.图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形.问

这个直三棱柱的体积是多少？

这个展开图折成直三棱柱形状，加右图所示，可见这个三棱柱是单位正方体的一半，其体积为

【巩固】如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的对角线长4

厘米，那么该四棱锥的体积为多少？

I容易知道四棱锥的底面面积，只要知道四棱锥的高就能求得四棱锥的体积.将四棱锥沿对角线和

顶点构成的平面剖开，剖面是一个三角形.该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正

方形和等边三角形的边长，所以三角形是一个等腰直角三角形，它的高等于对角线的一半，根据

对称性，这条高也等于四棱锥的高.

即四棱锥的高度为2.

四棱锥的体积为（4x4+2）x2+3=S立方厘米.

1.右图中共有多少个面？多少条棱？

9个面，21条棱.

2.右边正方体是用左边图形折成的，则小正方形在正方体的面.

□

△

O

3.将1,2,3,4,5,6分别写在正方体六面上，使正方体中对面数字的和相等。正方体如图放置

在A格上，沿格子滚动到B点时，在正方体右面的数字是

滚到右下角时如下图:

再滚动到右上角时:

所以到B点时在右面的为3

4.如图所示，一个5x5x5的立方体，在一个方向上开有1x1x5的孔，在另一个方向上开有2x1x5

的孔，在第三个方向上开有3x1x5的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？

求体积:

开了3x1x5的孔，挖去3x1x5=15,开了1x1x5的孔,

挖去lxlx5-l=4；开了2x1x5的孔,

挖去2x1x5-(2+2)=6,

剩余部分的体积是：5x5x5-(15+4+6)=100

求面积:

表面积可以看成外部和内部两部分.外部的表面积为5x5x6-12=138,内部的面积可以分为前

后、左右、上下三个方向，面积分别为2X(2X5+1X5-1X2-1X3)=20

2x(lx5+3x5-1>3-、2x(lx5+lx5-lxl-2)=14i所以总的表面积为

13-+82-0432

前后方向：32

上下方向：30左右方向:

总表面积为2”32+3。+4。)=2。4

薪于裒底偿迹

【例1】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正

方体组成的长方体有多少个？

正方体只可能有两种：

由1个小正方体构成的正方体，有22个；

由8个小正方体构成的2x2x2的正方体，有4个.

所以共有正方体22+4=26（个）.

由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种,

其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13+13+14=40（个）.

【例2】将一个长28M，宽18颂的长方形铁片的四个角各截去一个边长为4c卬的正方形。再将此铁

片折成一个无盖的长方形容器。容器的容积为cnL

四个角各截去一个边长为4c勿的正方形，再折成一个无盖的长方形容器，则长方形容器的底面的

长和宽分别比铁片的长和宽短8cm,即20c0和10面,高为4c%所以，容积为20x10“4=800（c£）.

【例3】下列图形经过折叠能围成正方体的有哪些？

ABCD

【例4】图门0402_05表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是从B、C、〃中的.

【例5】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体,

把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态.右图中剩下的小正方体有多少个？

解法一：（用“容斥原理”来解）由正面图形抽出的小正方体有5x5=25个，由侧面图形抽出的小

正方体有5x5=25个，由底面图形抽出的小正方体有4*5=20个，正面图形和侧面图形重合抽出

的小正方体有Ix2+2xl+2x2=8个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有Ix3+2