备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题14导数的概念与运算

专题14导数的概念与运算【考点预料】学问点一：导数的概念和几何性质1、概念函数在处瞬时变更率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．学问点诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不行以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的随意小的正数；②当时，在变更中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变更率在某点处的极限，即瞬时变更率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变更率，即．2、几何意义函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．3、物理意义函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．学问点二：导数的运算1、求导的基本公式基本初等函数导函数（为常数）2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．3、复合函数求导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：【方法技巧与总结】1、在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2、过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）留意：在做此类题目时要分清题目供应的点在曲线上还是在曲线外．【典例例题】题型一：导数的定义【方法技巧与总结】对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后依据导数定义干脆写出.例1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图象可知，即.故选：D例2．（2024·全国·高三专题练习）设函数满意，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】因为，，，所以，故选：A例3．（2024·全国·高三专题练习）设f(x)是可导函数，且，则（

）A．2 B． C．-1 D．-2【答案】B【解析】由题设，.故选：B变式1．（2024·全国·高三专题练习）一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满意关系式，，则当时，该质点的瞬时速度为（

）A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒【答案】B【解析】，当时，，故当时，该质点的瞬时速度为3米/秒.故选：B.变式2．（2024·全国·高三专题练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（

）A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒【答案】C【解析】∵，∴该物体在运动前2秒的平均速度为（米/秒）．故选：C．变式3．（2024·全国·高三专题练习）设是可导函数，且，则（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】∵，∴.故选：B.题型二：求函数的导数【方法技巧与总结】对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，干脆转化为基本函数求导问题.例4．（2024·全国·高三专题练习）已知，且，则实数a的值为(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，，，．故选：D．例5．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为所以例6．（2024·全国·高三专题练习）下列函数的导函数（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以.变式4．（2024·浙江·高三专题练习）请用函数求导法则求出下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【解析】（1）因为，则；（2）因为，则；（3）因为，则；（4）因为，则；（5）因为，故.题型三：导数的几何意义【方法技巧与总结】函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率.这里要留意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区分.（1）已知在点处的切线方程为.（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程.另外，要留意切点既在曲线上又在切线上.1、在点P处切线例7．（2024秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.因为，，所以所求切线方程为，即.故选：B例8．（2024·陕西安康·统考一模）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，则，而，故函数在处的切线方程为，则.故选：C例9．（2024秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）曲线在处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，所以曲线在处的切线的斜率为，又因为当时，，所以曲线在处的切线方程为，即.故选：A.2、过点P的切线变式5．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】设切点为，则，所以，所以切线方程为，因为切线过点（1，3），所以，即，即，解得或，所以切线方程为或，故选：AB变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l为函数的切线，且经过原点，则直线l的方程为__________.【答案】【解析】设切点坐标为，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为又直线l过点，所以，整理得，解得，所以，直线l的斜率，所以直线l的方程为，故答案为：.变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数f（x）=x3－3x，则过点（1，－2）的切线方程为__________．【答案】和【解析】由函数，则，当点为切点时，则，即切线的斜率，所以切线的方程为，当点不是切点时，设切点，则，即，解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即．故答案为：和．变式8．（2024·全国·高三专题练习）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为___________.【答案】3或【解析】因为，所以，，当为切点时，，当不为切点时，设切点为，，所以，所以切线方程为：，过点，所以即，即，解得或（舍），所以切点为，所以，综上所述：直线l的斜率为3或，故答案为：3或变式9．（2024·全国·高三专题练习）过点与曲线相切的直线方程为______________.【答案】.【解析】设切点坐标为，由得，切线方程为，切线过点，，即，，即所求切线方程为.故答案为：.3、公切线变式10．（2024秋·广东韶关·高三校考阶段练习）已知函数在点处的切线为l，若l与函数相切，切点为，则__________．【答案】9【解析】由题意得，则，切线方程为，即，则，则，.故答案为：9.变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，若直线函数，的图象均相切，则的值为________.【答案】【解析】设直线与函数的图像相切的切点为，由可得，即切点为，则，所以切线方程为；联立，可得，由题意可得，解得.故答案为：变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数（为常数），直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1，则的值为_______.【答案】【解析】因为所以再由判别式为零得变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（

）A．0 B． C．3 D．或3【答案】D【解析】因为，所以，则，所以所以函数在处的切线方程为，由得，由，解得或，故选：D变式14．（2024·全国·高三专题练习）若直线与函数，的图象分别相切于点，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，得，，则，，即．曲线在点处的切线方程为，曲线在点处的切线方程为，所以，可得，整理得，故选：B.4、已知切线求参数问题变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线方程为，则_______.【答案】【解析】函数的导数为，所以，即函数在点处的切线斜率为，由切线方程为，可得，解得，，由切点，可得，解得，则，故答案为：．变式16．（2024·全国·高三专题练习）已知直线与曲线相切，则___________.【答案】【解析】由，所以设切点为，则，，消去得，∵函数在上单调递增，且，∴，此时.故答案为：变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．【答案】2【解析】函数的定义域为，，令，则，所以切点为，代入，得，所以.故答案为：2.变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线在点处的切线方程为，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】，，∴，∴．将代入得，∴．故选：C．变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数在点处的切线方程为，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】由，则，所以解得：，，所以.故选：D.变式20．（2024秋·山西·高三校联考阶段练习）若函数的图象在点处的切线方程为，则（

）A．1 B．0 C．－1 D．e【答案】B【解析】因为，所以，故又，所以．故选：B变式21．（2024秋·贵州遵义·高三统考阶段练习）若函数在处切线方程为，则实数（

）A． B． C．2 D．0【答案】B【解析】，则，解得：，所以，，所以切点坐标为，将其代入中，故，解得：.故选：B变式22．（2024秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）函数在处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】函数的导函数为，函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，且切线与直线平行，则有，可得.故选：B5、切线的条数问题变式23．（2024·全国·高三专题练习）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】【解析】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：变式24．（2024秋·河北·高三校联考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，所以，故选：B．变式25．（2024·全国·高三专题练习）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】C【解析】设切点为，由，所以，所以，所以切线方程为，即，因为切线过点，所以，解得或，所以过点作曲线的切线可以作2条，故选：C6、切线平行、垂直、重合问题变式26．（2024·全国·高三专题练习）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，设，则，即……①又，即……②由①②可得，.故选：B.变式27．（2024秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）函数在处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】函数的导函数为，函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，且切线与直线平行，则有，可得.故选：B变式28．（2024秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若曲线的一条切线与直线垂直，则切线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设切点为，，切线与直线垂直，切线的斜率为，又，所以，，解得，，即切点，由点斜式可得，切线方程为：，即．故选：．变式29．（2024秋·青海·高三青海师大附中校考阶段练习）已知曲线y＝存在两条相互平行的切线，请写出一个满意条件的函数：_______.【答案】（答案不唯一）【解析】两条切线相互平行应先满意在切点处的导数值相等，例如，，，，此时，，函数在处的切线方程为：；函数在处的切线方程为：；合乎题意，故答案为：（答案不唯一）变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.【答案】【解析】因为函数，所以，又因为曲线在处的切线与直线平行，所以，解得，故答案为：7、最值问题变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知点P是曲线上随意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，即，所以，故选：D．变式32．（2024·全国·高三专题练习）若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______【答案】【解析】设与直线平行且与曲线相切于点时，此时两点距离的最小值为点到直线的距离，因为，所以，即得，，所以点到直线的距离为，所以两点距离的最小值为．故答案为：变式33．（2024·全国·高三专题练习）若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为________.【答案】【解析】设，，设直线与曲线相切，切点为，且直线与直线平行，则有，得，，即如图所示：此时到直线的距离最小，.故答案为：【过关测试】一、单选题1．（2024秋·江西鹰潭·高三贵溪市试验中学校考阶段练习）曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，所以，又，所以切线方程为，即．故选：A．2．（2024·全国·高三专题练习）函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对函数求导，得，所以，即函数的图像在点处的切线斜率为2，所以函数的图像在点处的切线方程为，即.故选：A3．（2024·全国·高三专题练习）在曲线的全部切线中，与直线平行的共有（

）．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】由，令，得或，当时，曲线在点处的切线与直线重合，故在曲线的全部切线中，与直线平行的共有3条．故选:C.4．（2024·全国·高三专题练习）函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数存在与直线平行的切线，即在上有解，而，所以，因为，所以，所以．所以的取值范围是．当直线就是的切线时，设切点坐标，可得，解得．所以实数的取值范围是：．故选：B．5．（2024·全国·高三专题练习）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线斜率为（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【解析】因为为奇函数，所以，所以，所以，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线斜率为1．故选：C．6．（2024·全国·高三专题练习）曲线在处的切线方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，则，当时，，，所以切线方程为，即．故选：D．7．（2024·全国·高三专题练习）已知点P是曲线上随意的一点，则点P到直线的距离的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，即，所以，故选：D．8．（2024·上海·高三专题练习）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，因为曲线在M处的切线的倾斜角，所以对于随意的恒成立，即对随意恒成立，即，又，当且仅当，即时，等号成立，故，所以a的取值范围是．故选：D．二、多选题9．（2024·全国·高三专题练习）如图，是可导函数，直线l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则(

)A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由图可知，f(3)＝1，故A正确；(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；，则，故C正确；，，故D正确.故选：ACD.10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．曲线的切线斜率可以是1B．曲线的切线斜率可以是C．过点且与曲线相切的直线有且只有1条D．过点且与曲线相切的直线有且只有2条【答案】AC【解析】因为函数，所以A.令，得，所以曲线的切线斜率可以是1，故正确；B.令无解，所以曲线的切线斜率不行以是，故错误；C.因为在曲线上，所以点是切点，则，所以切线方程为，即，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故正确；D.设切点，则切线方程为，因为点在切线上，所以，解得，所以过点且与曲线相切的直线有且只有1条，故错误；故选：AC11．（2024·全国·高三专题练习）（多选）设点P是曲线上的随意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含（

）A．

B．

C．

D．【答案】CD【解析】，，依题意：，，∵倾斜角的取值范围是，∴，故选：CD.12．（2024秋·安徽·高三校联考阶段练习）过点的直线与函数的图象相切于点，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为，所以，由题意得直线的斜率，即，解得或故选:AD.三、填空题13．（2024·全国·模拟预料）函数的图象在点处的切线方程是______．【答案】【解析】，，则，又，切点为，函数的图象在点处的切线方程是即.故答案为：.14．（2024·全国·高三专题练习）若直线是曲线的一条切线，则实数__________.【答案】【解析】因为，所以，令，得，所以切点为，代入，得.故答案为