新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题七函数与导数第一讲函数-小题备考微专题1函数的图象与性质

微专题1函数的图象与性质常考常用结论1．单调性的常用结论(1)对于f(x)±g(x)增减性质进行推断(在相同定义域内)：增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．(2)对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再探讨(推断)这两个函数的单调性，最终依据复合函数“同增异减”的规则进行推断．2．奇偶性的三个常用结论(1)假如一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么确定有f(0)＝0.(2)假如函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．3．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．4．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的随意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．5．函数图象的变换规则(1)平移变换将y＝f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到y＝f(x＋a)的图象；将y＝f(x)的图象向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度得到y＝f(x)＋a的图象．(2)对称变换①作y＝f(x)关于y轴的对称图象得到y＝f(－x)的图象；②作y＝f(x)关于x轴的对称图象得到y＝－f(x)的图象；③作y＝f(x)关于原点的对称图象得到y＝－f(－x)的图象；④将y＝f(x)在x轴下方的图象翻折到上方，与y＝f(x)在x轴上方的图象，合起来得到y＝|f(x)|的图象；⑤将y＝f(x)在y轴左侧部分去掉，再作右侧关于y轴的对称图象，合起来得到y＝f(|x|)的图象．1.[2024·山东德州三模]函数f(x)＝的图象大致是()2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f(2)＝0，则不等式≥0的解集为()A．[－2，0]B．(－∞，－2]C．(－∞，－2]D．[－2，0)3．[2024·全国甲卷]若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin(x＋)为偶函数，则a＝________．1.(1)[2024·河南开封三模]函数f(x)＝(x－)cosx在[－，0)]上的图象大致为()(2)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为()A．(－∞，－B．(－∞，－1)，＋∞)C．(－，1)D．(－1，)技法领悟1．依据函数解析式推断函数图象的策略(1)从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，推断图象的变更趋势；(3)从函数的奇偶性，推断图象的对称性；(4)从函数的周期性，推断图象的循环往复．2．利用函数性质解题的策略(1)具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系亲密，探讨问题时可转化到只探讨部分(一半)区间上．尤其留意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．(2)利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．[巩固训练1](1)[2024·河北秦皇岛一中二模]函数f(x)＝x＋的大致图象为()(2)[2024·新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满意xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]B．[－3，－1]C．[－1，0]D．[－1，0]微专题1函数的图象与性质保分题1．解析：由函数f(x)＝，可知其定义域为(－∞，0)关于原点对称，又由f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称，可解除A、B选项；当x∈(0，1)时，f(x)<0；当x＝1时，f(x)＝0；当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，依据指数函数与对数函数的增长趋势，可得x→＋∞时，f(x)→0，可解除C选项．故选D.答案：D2．解析：由题意可得，奇函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都为单调递增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，函数图象示意图如图所示：故不等式≥0，即≥0，即≤0，结合f(x)的示意图可得它的解集为{x|－2≤x<0或0<x≤2}.故选D.答案：D3．解析：方法一因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－1)2－ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋sin，得a＝2.方法二因为f(x)为偶函数，所以f＝f，即－a＝＋a，得a＝2.答案：2提分题[例1](1)解析：因为f(－x)＝(－x＋)cosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故解除C；当x∈(0，]时，令f(x)＝(x－)cosx＝0，则x＝1或或，由图可知，A符合，D不符合；又f()＝)<0，故解除B.故选A.(2)解析：∵函数f(x＋2)为偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(2－x)＝f(2＋x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又∵函数f(x)定义域为R，在区间(－∞，2]上单调递减，∴函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，∴由f(x－1)>f(2x)得，|(x－1)－2|>|2x－2|，解得x∈(－1，)．故选D.(3)解析：令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)①，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)②.①＋②，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)的周期为6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，所以f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2.答案：A答案：D答案：A[巩固训练1](1)解析：由f(－x)＝－x＋＝－x＋≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数，解除B、C；由f(－π)＝－π＋＝－π＋＝－π－，f(－)＝－＝－，所以f(－π)<f(－)，即可解除D.故选A.(2)解析：通解由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，