2024八年级数学下册第5章特殊平行四边形单元基错含解析新版浙教版

Page1Page1第5章特别平行四边形（单元基础卷）（满分100分，完卷时间90分钟）考生留意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必需在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、细致选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。留意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）1．如图，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为（﹣5，4），点D为边BC上一动点，连接OD，若线段OD绕点D顺时针旋转90°后，点O恰好落在AB边上的点E处，则点E的坐标为（）A．（﹣5，3） B．（﹣5，4） C．（﹣5，） D．（﹣5，2）【分析】先判定△DBE≌△OCD，可得BD＝OC＝4，设AE＝x，则BE＝4﹣x＝CD，依据BD+CD＝5，可得4+4﹣x＝5，进而得到AE＝3，据此可得E（﹣5，3）．【解答】解：由题可得，AO＝BC＝5，AB＝CO＝4，由旋转可得，DE＝OD，∠EDO＝90°，又∵∠B＝∠OCD＝90°，∴∠EDB+∠CDO＝90°＝∠COD+∠CDO，∴∠EDB＝∠DOC，∴△DBE≌△OCD（AAS），∴BD＝OC＝4，设AE＝x，则BE＝4﹣x＝CD，∵BD+CD＝5，∴4+4﹣x＝5，解得x＝3，∴AE＝3，∴E（﹣5，3），故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的运用，解题时留意：全等三角形的对应边相等．2．如图，菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（）A．2 B．4 C．12 D．24【分析】连接AC、BD，由菱形的性质得出AB＝5，OB＝OD＝BD＝2，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，得出AC＝2，求出菱形的面积，再由中心对称的性质推断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【解答】解：连接AC、BD，如图所示：∵菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，BD＝4，∴AB＝5，OB＝OD＝BD＝2，OA＝OC，AC⊥BD，∴OA＝＝＝，∴AC＝2OA＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×2×4＝4，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积＝2；故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，中心对称，熟记性质并推断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．3．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．∠DAB＝∠ABC D．∠DAB＝∠DCB【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，依据矩形的判定进行推断即可．【解答】解：A．当AD＝BC，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，再依据AC＝BD，可得四边形ABCD是矩形；B．当AB＝CD，AD∥BC时，四边形ABCD不愿定是平行四边形，也可能是等腰梯形；C．当∠DAB＝∠ABC，AD∥BC时，∠DAB＝∠CBA＝90°，再依据AC＝BD，可得△ABD≌△BAC，进而得到AD＝BC，即可得到四边形ABCD是矩形；D．当∠DAB＝∠DCB，AD∥BC时，∠ABC+∠BCD＝180°，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再依据AC＝BD，可得四边形ABCD是矩形；故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的判定，证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．题设中出现多个直角或垂直时，常接受“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．4．下列说法错误的是（）A．16的平方根为±4 B．⼀组对边平行，⼀组对⻆相等的四边形是平行四边形 C．⽆限不循环小数是无理数 D．对⻆线相等的四边形是矩形【分析】A、依据平方根的定义推断．B、依据平行四边形的判定定理推断．C、依据无理数的定义推断．D、依据矩形的判定定理推断．【解答】解：A、由于（±4）2＝16，所以16的平方根为±4．故本选项说法正确．B、一组对边平行，一组对角相等的四边形可证出另一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形．故本选项说法正确．C、无理数是⽆限不循环小数，故本选项说法正确．D、对⻆线相等的四边形不愿定是矩形，例如等腰梯形，故本选项说法错误．故选：D．【点评】考查了矩形的判定，平行四边形的判定，平方根．留意“对⻆线相等的平行四边形是矩形”．5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则EF的长度为（）A．1 B．2 C． D．【分析】先依据矩形的性质，推理得到∠EDO＝30°，再依据Rt△DOE求得OE的长，即可得到EF的长．【解答】解：∵∠AEO＝120°，∠DOE＝90°，∴∠EDO＝30°，又∵AC＝2，∴DO＝BD＝AC＝，∴Rt△DOE中，OE＝tan30°×DO＝1，同理可得，Rt△BOF中，OF＝1，∴EF＝2，故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是驾驭：矩形的对角线相等且相互平分．6．在矩形ABCG中，点D是AG的中点，点E是AB上一点，且BE＝BC，DE⊥DC，CE交BD于F，下列结论：①BD平分∠CDE；②2AB+EF＝4AD；③（﹣1）CD＝DE；④CF：AE＝（+1）：1．其中正确的是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【分析】如图1中，作BM⊥CD于M，BN⊥DE于N，由△BCM≌△BEN，推出BM＝BN，由BM⊥CD，BN⊥DE，可得∠BDN＝∠BDM，故①正确，如图2中，延长ED交CG的延长线于K，作DH⊥EC于H．易证△DAE≌△DGK，可得DE＝DK，设AD＝DG＝a，则BC＝BE＝CF＝2a，通过计算即可一一推断．【解答】解：如图1中，作BM⊥CD于M，BN⊥DE于N．∵∠BMD＝∠MDN＝∠N＝90°，∴四边形BMDN是矩形，∴∠MBN＝∠CBA＝90°，∴∠CBM＝∠EBN，∵BC＝BE，∠BMC＝∠N，∴△BCM≌△BEN，∴BM＝BN，∵BM⊥CD，BN⊥DE，∴∠BDN＝∠BDM，故①正确，如图2中，延长ED交CG的延长线于K，作DH⊥EC于H．易证△DAE≌△DGK，可得DE＝DK，∵CD⊥EK，∴CE＝CK，∠DCK＝∠DCE＝22.5°，易证∠K＝∠AED＝∠CED＝∠EFD＝∠CBF＝67.5°，∴DE＝DF，HF＝HE，BC＝CF，易证△DEA≌△DEH，∴AE＝EH＝HF，设AD＝DG＝a，则BC＝BE＝CF＝2a，∵EC＝2a，∴EF＝2a﹣2a，AE＝EH＝HF＝a﹣a，∴2AB+EF＝2（2a+a﹣a）+2a﹣2a＝4a＝4AD，故②正确，∴（﹣1）CD＝（﹣1）•＝a，∵DE＝＝＝a，∴（﹣1）CD＝DE，故③正确，∵＝＝2（+1），故④错误，故选：B．【点评】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等学问学问，解题的关键是学会添加常用帮助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．7．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】①依据矩形的性质即可得到OA＝BC＝2；故①正确；②由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝，依据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；③当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，依据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，依据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（2﹣4，0）或（，0）．故③错误．【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），∴OA＝BC＝2；故①正确；②∵点D为OA的中点，∴OD＝OA＝，∵PD⊥PC，∴∠CPD＝90°，∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；③∵B（2，2），四边形OABC是矩形，∴OA＝2，AB＝2，∵tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝30°，当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，∴∠DOP＝∠DPO＝30°，∴∠ODP＝120°，∴∠ODC＝60°∴OD＝OC＝，∴D（，0）；Ⅱ、当D在x轴的正半轴上时，OP＝OD，∴∠ODP＝∠OPD＝75°，∵∠COD＝∠CPD＝90°，∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；当D在x轴的负半轴上时，OP′＝OD′，如图，∵∠AOB＝30°，∴∠D′OP′＝150°，∵∠CP′D′＝90°，∴∠CP′O＝105°，∵∠COP′＝60°，∴∠OCP′＝15°，∴∠BCP′＝75°，∴∠CP′B＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴BC＝BP′＝2，∴OD′＝OP′＝4﹣2，∴D′（2﹣4，0）；Ⅲ、OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝30°，∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，点D的坐标为（2﹣4，0）或（，0）．故③错误，故选：C．【点评】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相像三角形表示出CP和PD是解本题的关键．8．下列说法中，不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形 B．同位角相等 C．一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形 D．矩形的对角线相等且相互平分【分析】依据菱形的定义，平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的性质逐个推断即可．【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，故本选项不符合题意；B、只有两直线平行时，同位角才相等，故本选项符合题意；C、∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠D＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠A＝∠C，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；D、矩形的对角线相等且相互平分，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了菱形的定义，平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的性质等学问点，能熟记学问点的内容是解此题的关键．9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（）A．60° B．90° C．100° D．110°【分析】先依据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再依据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1＝∠3，故可得出▱AEDF为菱形，依据菱形的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．故选：B．【点评】本题考查的是菱形的判定与性质，依据题意推断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．10．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连接AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由在▱ABCD中，O为AC的中点，易证得四边形AFCE是平行四边形；然后由一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相互垂直的平行四边形是菱形，求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵O为AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；①∵OE＝OA，∴AC＝EF，∴四边形AFCE是矩形；故错误；②∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形；故正确；③∵AC⊥AB，AB∥CD，∴AC⊥CD，∵E为AD中点，∴AE＝CE＝AD，∴四边形AFCE是菱形；故正确．故选：C．【点评】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．首先证得四边形AFCE是平行四边形是解决问题的关键．二、细致填一填（本题有8个小题，每小题2分，共16分。留意细致看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）11．一个正方形的面积是5，那么这个正方形的对角线的长度为．【分析】依据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：设正方形的对角线长为x，由题意得，x2＝5，解得x＝．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．12．菱形的两条对角线长分别是14cm和20cm，则它的面积为140cm2．【分析】依据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可解答．【解答】解：∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴面积S＝×14×20＝140（cm2）．故答案为：140cm2．【点评】此题考查菱形的面积计算方法，属基础题，解决本题的关键是明确菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半．13．若一个菱形的两条对角线的长分别为6cm和2cm，则这个菱形的面积为6cm2．【分析】依据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．【解答】解：依据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S＝×2×6＝6cm2．故答案为：6．【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是驾驭菱形面积等于对角线乘积的一半．14．下列说法不正确的是④．①一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相互垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形．【分析】利用正方形的判定定理即可得出答案．【解答】解：①一组邻边相等的矩形是正方形，故①正确；②对角线相互垂直的矩形是正方形，故②正确；③对角线相等的菱形是正方形，故③正确；④有一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形是正方形，故④错误．故答案为④．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．15．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与帮助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC＝BD或AB⊥BC．【分析】依据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD或AB⊥BC．【点评】解答此题的关键是娴熟驾驭正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为A（9，0），C（0，3），点D以2cm/s的速度从A动身向终点O运动，点P以1cm/s的速度从C动身向终点B运动，当△ODP是以OP为一腰的等腰三角形时，点P的坐标为（6﹣2，3）或（，3）．【分析】分两种状况探讨，由勾股定理可求解．【解答】解：设经过t秒后，△ODP是以OP为一腰的等腰三角形，∵四边形OABC是矩形，C（0，3），∴∠OCB＝90°，CP＝t，OC＝3，若OP＝OD时，∴＝OP2，∴t2+9＝（9﹣2t）2，∴t＝6﹣2，t＝6+2（不合题意舍去）∴点P（6﹣2，3）；若OP＝PD时，∴点P在OD的垂直平分线上，∴t＝（9﹣2t），∴t＝，∴点P（，3）；综上所述：点P（6﹣2，3）或（，3），故答案为：（6﹣2，3）或（，3）．【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等学问，利用分类探讨思想解决问题是本题的关键．17．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，要使它成为正方形，应添加的条件是AB＝BC（只填写一个条件即可）【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．【解答】解：AB＝BC，理由是：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝BC．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，留意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线相互垂直的矩形是正方形．18．如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD＝4cm，∠ABC＝30°，则长方形纸条的宽度是2cm．【分析】证出该四边形是一个菱形，再由直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，分别作CD，BC边上的高为AE，AF，如图所示：∵两纸条相同，∴纸条宽度AE＝AF．∵平行四边形的面积为AE×CD＝BC×AF，∴CD＝BC．∴平行四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝4cm，∵∠ABC＝30°，∴AE＝AB＝2cm；故答案为：2．【点评】本题考查菱形的判定与性质的应用、含30°角的直角三角形的性质；证明四边形是菱形是解决问题的突破口．三、全面答一答（本题有6个小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。假如觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）19．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝15cm，E是BC的中点，F是CD的中点，BD、AE、AF把长方形分成了六块，阴影部分总面积是多少？【分析】设BD交AE于G点，AF交DB于H点，由于BE∥AD，且BE＝AD，则BG：GD＝1：2，所以BG：BD＝1：3，同理得出DH：BD＝1：3，所以BG＝DH＝BD，求得BG＝GH＝HD，从而求得△ABG和△AGH的面积相等，得出S△ABG+S△BGE＝S△AGH+△BGE＝S△ABE，依据三角形的面积公式即可求得S△ABE＝30；又因为△DFH的边DF上的高＝×BC＝5，求得S△DFH＝，据此即可求解；【解答】解：设BD交AE于G点，AF交DB于H点，∵BE∥AD，且BE＝AD，∴BG：GD＝1：2，∴BG：BD＝1：3，同理得出DH：BD＝1：3，∴BG＝DH＝BD，∴BG＝GH＝HD，∴S△ABG＝S△AGH，∴S△ABG+S△BGE＝S△AGH+△BGE＝S△ABE＝×8×＝30，即阴影部分总面积＝30（平分厘米）．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形面积，S△ABG+S△BGE＝S△AGH+△BGE＝S△ABE是本题的关键．20．已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F．求证：四边形CEDF是正方形．【分析】首先依据垂直平分线的性质得到EC＝ED，FC＝FD，然后依据∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，得到∠ACD＝∠BCD＝45°，从而得到ED＝EC＝CF＝FD，进而判定四边形CEDF为菱形，利用有一个角是直角的菱形是平行四边形判定正方形即可．【解答】证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD，∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形，∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．【点评】本题考查了正方形的判定，解题的关键是了解判定正方形时要判定该四边形既是菱形又是正方形，难度不大．21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．【分析】依据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，依据菱形性质求出∠AOB＝90°，依据矩形的判定推出即可．【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴平行四边形OBEC是矩形．【点评】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，解题的关键是驾驭菱形对角线相互垂直的性质和矩形的判定．22．如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是菱形．【分析】连接AC，BD，依据三角形的中位线定理和矩形的对角线相等证明EF＝FG＝GH＝HE，即可得出结论．【解答】证明：连接AC，BD，如图所示：∵E为AB的中点，F为BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理HG＝AC，EH＝FG＝BD，∵矩形ABCD，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形．【点评】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理和矩形的性质，依据题意正确找出帮助线是解决问题的关键．23．M为平行四边形ABCD的边AB的中点，且MD＝MC，你能说明平行四边形ABCD确定为矩形吗？说明你的理由．【分析】依据矩形的判定有一个角是直角的平行四边形是矩形．先证△MBC≌△MAD，再推出∠A＝∠B＝90°，得证．【解答】解：依题意，AM＝BM，BC＝AD，MD＝MC⇒△MBC≌△MAD⇒∠A＝∠B又ABCD为平行四边形⇒∠A＝∠B＝90°⇒平行四边形ABCD为矩形．【点评】本题涉及三角形全等和矩形的判定定理，难度适中．24．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，求四边形CODE的周长．【分析】由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，依据矩形的性质，易得OC＝OD＝2，即可判定四边形CODE是菱形，则可求得答案．【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四