高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练18古代建筑教师版

专题18古代建筑一、单选题1．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑．如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是底边长为6m，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的侧面积约为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据题意作出圆锥轴截面图像，依据图像求出圆锥底面半径r和母线l，依据侧面积公式πrl即可求解.【详解】如图所示为该圆锥轴截面，由题意，底面圆半径为，母线，侧面积πrl＝π×3×＝6﹒故选：B.2．被喻为“世界古代八大奇迹”之一的古埃及胡夫金字塔，约建于公元前2580年，完工于前2560年.它的规模是在埃及发觉的110座金字塔中最大的.它是一种方底尖顶的石砌建筑物，其形态可视为一个正四棱锥，是一座由一块块大小不等的石料堆砌而成的几乎实心的巨石体，塔底边缘正方形的边长的230米，塔高约147米.每块石料的体积平均约为1.12立方米，则建立胡夫金字塔一共大约须要多少块石料（

）A．23万 B．69万 C．230万 D．690万【答案】C【解析】【分析】先求出金字塔的体积，然后依据石块的体积可数所须要的石块的块数.【详解】金字塔的体积为立方米建立胡夫金字塔一共须要的石料所以大约须要230万块石料故选：C3．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉､消遣､观赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2），圆心角为，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依据扇形面积公式进行求解即可.【详解】因为为的中点，所以化成弧度为，所以此扇形窗子的面积为故选：B4．江西南昌的滕王阁，位于南昌沿江路赣江东岸，始建于唐永徽四年（即公元653年），是古代江南唯一的皇家建筑.因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，流芳后世，被誉为“江南三大名楼”之首（另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的黄鹤楼）.小张同学为测量滕王阁的高度，选取了与底部水平的直线，将自制测量仪器分别放置于，两处进行测量.如图，测量仪器高m，点与滕王阁顶部平齐，并测得，m，则小张同学测得滕王阁的高度约为（参考数据）（

）A．50m B．55.5mC．57.4m D．60m【答案】C【解析】【分析】先推断出，解直角三角形求得，由此求得滕王阁的高.【详解】在中，，则，在中，，则，，故滕王阁的高度为.故选：C5．铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴宏伟，原有十三级，抗日斗争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设为内切圆的圆心，为内切圆的半径，依据正多边形的性质，可得，再依据锐角三角函数计算可得；【详解】解：如图，设为内切圆的圆心，为内切圆的半径．正十边形的每个外角为，内角为，所以，所以，，，得，解得．故选：B．6．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有确定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形中，若，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】如图，连接，作于点，作于点，由正八边形的特征可得，从而可将用表示出来，再结合已知即可得解.【详解】解：如图，连接，作于点，作于点，由正八边形的特征可得，，故，所以，则，又因，所以，所以.故选：C.7．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由轴截面三角形，依据已知可得圆锥底面半径和母线长，然后可解.【详解】轴截面如图，其中，，所以，所以，所以圆锥的侧面积.故选：B8．花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑中常见的美化形式，既具备好用功能，又带有装饰效果．如图所示是一个花窗图案，大圆为两个等腰直角三角形的外接圆，阴影部分是两个等腰直角三角形的内切圆．若在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】设大圆的半径为，等腰直角三角形的内切圆的半径为，进而得出等腰直角三角形的边长，利用三角形面积公式列出方程，解出r的值，依据圆的面积公式求出阴影部分和大圆的面积，结合几何概型的概率公式计算即可.【详解】设大圆的半径为，则等腰直角三角形的边长分别为，，，设等腰直角三角形的内切圆的半径为，则，解得，则阴影部分的面积为，大圆的面积为，则该点取自阴影部分的概率为．故选：D9．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据给定条件求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式计算即可得解.【详解】因为轴截面的顶角为，所以底角，在中，依题意，该圆形攒尖的底面圆半径，高，则()，所以该屋顶的体积约为.故选：B.10．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得、的长，依据椎体体积公式，即可得答案.【详解】如图所示，正四棱锥棱长均为2，连接AC、BD交于点O，连接PO依据正四棱锥的性质，可得平面ABCD.所以，，所以正四棱锥的体积.故选：C11．《九章算术》是中国古代人民才智的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形态的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，由已知周长求得和，代入圆台的侧面积公式，即可求解.【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，可得，可得，又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为，所以圆台的侧面积为.故选：B.12．攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六角、八角等结构，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的屋顶轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则该正六棱锥底面内切圆半径与侧棱长之比为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用正六边形的几何性质确定其外接圆的半径，再利用等腰三角形中的边角关系求出侧棱长，计算比值即可．【详解】解：如图，正六边形是正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱锥的侧面，设侧棱，底面边长，底面内切圆半径，，则是等边三角形，，侧面中，，∴，即．故选：A13．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．某园林建筑为六角攒尖，如图所示，它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥．设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设边长为，得到正六边形的外接圆半径为，求得侧棱长为，即可得到侧棱与底面外接圆半径的比．【详解】由题意，底面是正六边形，分为六个等边三角形，设边长为，依据正六边形的性质，则正六边形的外接圆半径为，在侧面等腰三角形中，顶角为，两腰为侧棱，底边为，所以侧棱长为，故侧棱与底面外接圆半径的比为．故选：C.14．鲁班锁起源于中国古代建筑的榨卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，特殊奇异，鲁班锁类玩具比较多，形态和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装，如图（1），这是一种常见的鲁班锁玩具，图（2）是该鲁班锁玩具的直观图．已知该鲁班锁玩具每条棱的长均为1，则该鲁班锁玩具的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出正八边形的面积，再由该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8个边长为1的正三角形的面积和计算表面积即可.【详解】由图可知：该鲁班锁玩具的表面积为6个边长为1的正八边形和8个边长为1的正三角形的面积和，如图为正八边形的平面图，易得，作，垂足为，则，则八边形的面积为，则该鲁班锁玩具的表面积为.故选：A.15．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其底面正方形的边长与其侧面三角形底边上的高的比值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知，画出正四棱锥的图像，依据题意条件，找到正四棱锥的高，侧面三角形的斜高，底面边长a之间的等量关系，然后带入中，借助勾股定理列出等量关系，即可求解出的值.【详解】由已知，可画出正四棱锥的图像，底面是边长为的正方形，顶点在底面的投影为，，为中点，为侧面的高，设，由已知可得：，，即，则，即，解得或（舍去）.故选：B.16．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图1，它的屋顶部分的轮廓可以近似看作如图2所示的正四棱锥，其中底面边长和攒尖高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】连接，设为的中点，则异面直线与所成角为或其补角，再依据几何关系求解即可.【详解】解：如图，连接，设为的中点，，异面直线与所成角为或其补角．连接，所以，在正四棱锥中，，，平面，，设，则由题意得，在中，．故选：C．17．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑的屋顶为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧棱长为2，且与底面所成的角为，则此正六棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意分别求得锥体的底面积和高度，然后计算其体积即可．【详解】解：将原问题抽象为如图所示的正六棱锥，设底面的中心为，连结，，由题意可得，则，即六棱锥的高，六棱锥的底面是由6个边长为的等边三角形组成的，从而其体积．故选：A．18．庑殿是古代传统建筑中的一种屋顶形式，其可近似看作由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成，如图所示.若在等腰梯形与等腰三角形侧面中需铺瓦层，等腰梯形中下一层铺的瓦数比上一层铺的瓦数多等腰三角形中下一层铺的瓦数是上一层铺的瓦数的倍.两个等腰梯形与两个等腰三角形侧面同一层全部铺上瓦，其瓦数视作同一层的总瓦数.若顶层需铺瓦块，整个屋顶需铺瓦块，则最底层需铺瓦块数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由题意得等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为的等差数列，等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为的等比数列，故得到，进而可求得两个数列的通项公式，再分别求每个数列的第6项，可得到最终结果.【详解】由题意等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为的等差数列，等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为的等比数列，由条件可知，解之得，所以，所以，故最底层需铺瓦块数为，故选：C.19．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，假如只有5种颜色可供运用，则不同的染色方法总数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解.【详解】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解，由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有种染色方法；当染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S,A,B染好时，C,D还有7种染法.故不同的染色方法有种.故选：C20．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖．攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．辽宁省试验中学校内内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分别用和表示出的一半，得出侧棱与底面边长的比，再依据正八边形的结构特征求出底面内切圆的半径与边长的关系，即可求出结果．【详解】设为正八棱锥底面内切圆的圆心，连接，，取的中点，连接、，则是底面内切圆半径，如图所示：设侧棱长为，底面边长为，由题意知，，则，解得；由底面为正八边形，其内切圆半径是底面中心到各边的距离，中，，所以，由，解得，所以，所以，解得，即侧棱与底面内切圆半径的长度之比为．故选:A．21．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥，现已知该四棱锥的高与斜高的比值为，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据题意，设四棱锥底面的边长为，高为，斜高为.由四棱锥的高与斜高的比值为，找出与的关系式，结合面积公式，即可得到该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值.【详解】设该四棱锥底面的边长为，高为，斜高为，依据题意得，即，从而该四棱锥底面面积为，侧面面积为，故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是.故选：B.二、多选题22．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，侧棱长为米，则该正四棱锥的（

）A．底面边长为米 B．侧棱与底面所成角的余弦值为C．侧面积为平方米 D．体积为立方米【答案】ACD【解析】【分析】画出几何体的直观图，结合已知条件求得棱锥的底面边长，逐项求解，即可得到答案.【详解】如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，在直角中，可得，即，解得，所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，在直角中，可得，所以B错误；正四棱锥的侧面积为平方米，所以C正确；正四棱锥的侧体积为立方米，所以D正确.故选：ACD.23．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有确定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则（

）A．与能构成一组基底 B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，可推断选项A；从而可得，可推断选项B；连结交于点，可推断选项C；先推断出，结合向量的加法和数量积的运算性质可推断选项D.【详解】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，所以，所以AH与CF是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；又，所以．所以，B项正确；由上过程可知，连结交于点,在直角三角形中，为的中点，则,又，所以，C项错误；又正八边形的每一个内角为：，延长,相交于点，则所以，故，所以，D项正确．故选:BD.24．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖，六角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以六角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥.已知此正六棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ=30°，侧棱长为米，则（

）A．正六棱锥的底面边长为2米B．正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为C．正六棱锥的侧面积为48平方米D．正六棱锥的体积为16立方米【答案】BCD【解析】【分析】如图，设正六边形的中心为，的中点为，连接，，设，依据题设条件可得，从而可求，再逐项计算并推断各项的正误，从而可得正确的选项．【详解】如图，设正六边形的中心为，的中点为，连接，，则平面，故为侧棱与底面所成的角．设，由正六棱锥的性质可得，，由等边三角形可得，故为二面角的平面角，故，所以，而，故，在中，有，故，故，故A错．又在，，故，故B正确．正六棱锥的侧面积为（平方米），故C正确．正六棱锥的体积为（立方米），故D正确．故选：BCD．三、双空题25．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥．古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为________；侧面与底面所成二面角的余弦值为________．【答案】

【解析】【分析】画出图形，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点，可得，求出，从而可求出答案【详解】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，高为，斜高为，为的中点，则由题意得，得，解得或（舍去），所以，所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为，因为，所以是侧面与底面所成二面角的平面角，因为所以侧面与底面所成二面角的余弦值为，故答案为：，四、填空题26．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含很多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第圈有9块石板，从其次圈起先，每一圈比前一圈多9块共有9圈，则第六圈的石板块数是________．【答案】54【解析】【分析】由题可知从第1圈到第9圈石板数形成首项为9，公差为9的等差数列，即可得出所求.【详解】由题可知从第1圈到第9圈石板数形成等差数列，且首项，公差，则第圈的石板数为，故答案为：5427．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，特殊奇异，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下､左右､前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为___________.（容器壁的厚度忽视不计）【答案】【解析】【分析】转化为几何体的外接球问题，求出外接球的半径和表面积即可.【详解】由题可知，当鲁班锁的顶点与球面相接时，球的体积最小，此时，所以，.故答案为：.28．鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合特殊精致．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为．若该玩具可以在一个正方体内随意转动（忽视摩擦），则此正方体表面积的最小值为______