人教A版（2019）高中数学必修第二册6.1平面向量的概念

6.1平面向量的概念

一、单选题

1.下列命题中正确的是（）

A.温度是向量B.速度、加速度是向量

C.单位向量相等D.若|a|=|川，则〃和b相等

2.如图，向量48=a,AC=6,CO=c,则向量3。可以表示为（）

A.a+h-cB.a—b+cC.b—a+cD.b—a—c

3.P是所在平面上一点，满足|PB-PC，|PB+PC-2PAi=0,则_ABC的形状是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

4.已知空间四边形ABCO中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2M4,

N为BC中点,则（）.

a1-2乙1-「21।1

A.—a—b+-cB.—ciH—bH—c

232322

r.2.2,u

C.—a^—b——cD.—a+—b——c

222332

5.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③"=0（九为实数），则％必为零；

④%“为实数，若痴=,则〃与b共线;

⑤向量的大小与方向有关.

其中正确的命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.如图，四边形A8CQ是等腰梯形，则下列关系中正确的是（）

1

B

A.AB=CDB.|AB|=|CD|C.AB>CDD.BC<AD

7.已知向量1),且q与a+2b方向相同，则aS的取值范围是()

A.(1,+00)B.(-1,1)

C.(-1,+oo)D.(-a),1)

8.己知空间向量a，b，且A8=a+26，BC=-5a+6h.CD=7a-2b，则一定共线的三

点是()

A.4B、CB.B、GDC.A、B、DD.A、C、D

9.如图，在四棱柱的上底面A5CD中，AB=DC，则下列向量相等的是()

.JDC

a「

A.AO与C8B.OC^OA

C.AC与DBD.DO=OB

10.若。为任一非零向量，6的模为1,给出下列各式:①142M②；③回>。；④忖=±1.

其中正确的是()

A.①@B.③C.①②③D.②③

二、填空题

11.如图所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分别是A&BC、AC的中点，则与向量PQ相

等的向量是________.

2

A

12.如图所示，已知四边形ABC。是矩形，。为对角线AC与8。的交点，设点集

M={O,A,B,C,D},向量的集合了={阂P,。不重合且P,QeM},则集合丁有个元

素.

13.已知G为_ABC内一点，且满足AG+BG+CG=O，则G为,ABC的心.

JT

14.已知圆。的周长是2兀，A3是圆0的直径，C是圆周上一点，4BAC=[C£)>L43于点

6

D,则|C*.

15.如图，在矩形A8CO中，M,N分别为线段5C,8的中点，若MNjAM+^BN,

4,4eR,则4+4的值为.

三、解答题

16.已知向量2=(-31)/=(1,-2),而=。+防伏eR).

⑴若向量加与2a-。垂直，求实数上的值；

⑵若向量c=(l,-l),且用与向量的+c平行，求实数%的值.

L1LH11UIT]

17.如图所示，在一AB。中，OC=[OA,OD^-OB,A£)与8c相交于点设=”

3

OB=b.

B

(1)试用向量。力表示OM;

(2)过点M作直线E尸分别交线段AC,BD于点E,F,记OE=2OA,OF=pOB,求证：不论

13

点E,F在线段AC,BD上如何移动，弓+一为定值.

18.如图，某人从点A出发，向西走了200nl后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角

度的某方向行走了200Gm到达C点，最后又改变方向，向东走了200in到达。点，发现D

点在8点的正北方.

(1)作出48、BC、CD(图中1个单位长度表示100m)；

(2)求£>A的模.

19.在如图的方格纸上，已知向量〃，每个小正方形的边长为1.

4

(1)试以8为终点画一个向量人，使人=”；

(2)在图中画一个以A为起点的向量。，使卜卜石，并说出向量。的终点的轨迹是什么？

5

参考答案:

1.B

【分析】根据向量的定义判断.

【详解】温度只有大小，没有方向，不是矢量，A错误；

速度有大小和方向，应该是向量，加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值.由

于速度是矢量，速度的变化既可能有大小上的变化，同时也可能有方向上的变化，因此速度

的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量，即是一个矢量.时间的变化，只有大小，

是一个标量.因此加速度是一个矢量，也就是向量，B正确；

向量既有大小也有方向，单位向量都是长度为1的向量，但方向可能不同，C错误；

已知但a与b的方向不一定相同，则a与b不一定相等，D错误.

故选：B.

2.C

【分析】根据向量的线性运算法则结合图形可得80的表达式.

【详解】根据向量运算法则可得=BC+CD=AC-48+CD，

又AB=a,AC=b,CD=c,

所以B£>=〃_a+c，

故选：C.

3.B

【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出AB-AC=0,由此可判断

出,ABC的形状.

【详解】由卜B-PCj-pB+PC-Z网=0,可得同=|PB+PC-2网，即阉=|器+蜀，

卜阿+叫，

等式卜8-AC卜,C+AB|两边平方，化简得A8・4C=0，"八人/

因此，A5C是直角三角形.

故选：B.

4.B

【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果.

6

o

如图，连接ON,则MN=ON-OM=-（O8+OC）-—OA=a+-h+-c,

2、,3322

故选:B.

5.A

【分析】根据向量、平行向量的定义、向量数乘运算依次判断各个选项即可.

【详解】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不

是平行向量，①错误；

对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以

比较大小，②正确；

对于③，当4=()时，2可以为任意实数，③错误;

对于④，当2=4=0时，&7=〃〃=0,此时4,6可以不共线，④错误；

对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误.

故选：A.

6.B

【分析】根据向量的相关概念及等腰梯形的定义即可求解.

【详解】解：由题意，四边形A3CO是等腰梯形得3C〃AQ，且|8(7卜卜4，卜@=|。4,

所以选项A错误，选项B正确，

又向量不能比较大小，

所以选项C,D错误，

故选：B

7.C

【分析】a与a+2〃同向，用共线基本定理得到关系，表示a力依据4的范围去求.

【详解】因为a与“+23同向，所以可设a+2b=2aQ>0)

则有6=与1“，又因为问=正1)2+12=应，,

7

所以=~--lai=—―-x2=2-1>-1

2112

所以夕6的取值范围是(-1，+8),

故选：C.

8.C

【分析】根据向量共线判断三点共线即可.

【详解】解：BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4h

—2(a+2b)—2AB,

又AB与BO过同一点B,

，A、B、。三点共线.

故选：C.

9.D

【分析】由A8=QC可知四边形A68是平行四边形，根据相等向量的定义即可判断.

【详解】因为A3=CC，则四边形ABC。是平行四边形，结合题图，

;.AD=-CB，A错误；

OC=-OA,B错误；

AC与。B方向不相同，C错误；

DO=OB，D正确.

故选：D

10.B

【分析】根据向量的定义、向量的模、平行向量的定义判断.

【详解】对于①，同的大小不能确定；对于②，两个非零向量的方向不确定；对于④，向

量的模是一个非负实数，只有③正确.

故选:B.

H-AR，RC

【分析】根据相等向量的定义确定即可.

【详解】因为P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，所以PQ//AC,PQ=AR=RC,

因为方向相同，大小相等的向量为相等向量，所以与尸。相等的向量为AR，RC.

故答案为：AR-RC-

8

12.12

【分析】根据题中关于集合的定义，应用枚举法，列出符合条件的元素个数即可.

【详解】由已知得，P,QeM,且不重合，可得向量集合为（不含相等向量）：

以。为起点：。4,。氏。。,0。，

以A为起点：AB,AD,AC,

以B为起点：BA,BD,

以C为起点：CB,CA,

以。为起点：DB

综上所述，集合T有12个元素.

故答案为：12

13.重

【分析】如图，取A8的中点。，利用向量的加减法运算得到GC与GO共线，进一步得到

G,C,。三点共线，且GC=2GO,结合重心的性质可判断G为43c的重心.

如图，取的中点。由AG+BG+CG=0.得-GC=G4+GB，

又GA+G8=2G。，故-GC=2GQ，则GC与G。共线，

又GC，GO有公共点G,

故G,C,D三点共线，且GC=2GO,

因此可得6为一钻。的重心.

故答案为：重.

14.史

2

【分析】根据题设可得圆。的半径为1,结合已知条件及含£1T的直角三角形的性质即可求

6

M-

9

7T

【详解】由题设，圆。的半径为1,又N84C=7，CO，A3,如下图示:

6

在RtCOD中，ZDOC=2ZBAC=~,OC=1,所以CD二包.

32

故答案为："

2

15.-##0.4

5

【分析】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.

【详解】因为M,N分别为线段BC,8的中点，

22、'22

AM=AB+BM=AB+-AD,

2

BN=BC+CN=AD-'AB,

2

=(4-聂)AB+(g4+4]

1.1

4—A,=—

」2,25

所以，解得＜

九-3

12r-2

所以4+&=_^I+3(=2(,

所以4+4的值为

2

故答案为：j.

16.(1)*=-

3

⑵k=-g

10

【分析】(1)利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；

(2)利用向量的线性运算与向量平行的坐标表示即可得解：

【详解】(1)因为。=(-3,1),6=(1,-2),

所以，〃=a+上人=(-3+上,1—2k),2a—b=(—7,4),

又加与2a-〃垂直，

所以加•(2〃一勿=(-3+%>(-7)+(1—2幻-4=0,即25—15%=0,解得k=g,

所以k二

3

(2)因为c=(l,—l),〃=(—3,l),b=(l,—2),

因为kb+c=(左+1,—2A—1),m—(—3+k,l—2k),

又机与向量妨+c平行，

所以(-3+k>(-2Z—1)—(攵+-2k)=0,即6%+2=0,解得攵二一§,

所以左=-；.

17.(\)OM=^a+^b

(2)证明见解析

【分析】(1)根据三点共线可得OM=mOD+(l-m)OA,同理由B,M,C三点共线可

得OM=〃O8+(1-〃)OC,根据向量相等的条件可求出姓〃的值，即可求解；

(2)^OM=xOE+yOF=xAOA+y^OB,由。河二^^+^匕及尸，〃，£三点共线x+y=l联

立即可求解.

【详解】(1)因为AM,A三点共线，

所以存在实数机使得OM=mOD+(l-而)。4=56+(1-m”，

又因为及M,C三点共线，

所以存在实数«使得OM=nOB+(1-〃)OC=温+(=1)"，

11

m6

—=nm=—

77

根据向量相等可得।，解得＜

,1一〃3

1-771=------n=­

4

13

所以。知=一〃十—6

77

（2）ig=xOE+yOF=xWA+yjLiOB,

13

由（1）可得以=,①，），〃=,②，

又F,M,E三点共线,所以x+y=l③，

1313

由①②可得7x=；,7y=一,代入③式可得彳+―=7（x+y）=7,