新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 第5章 相似矩阵及二次型

5.1

方阵的特征值与特征向量一、问题的引入引例种群增长模型设x

代表某种群C

的数量，y

代表某种群D

的数量，初态为一年后的状态为：即则第k

年后的状态为：问题如何计算？(工业增长模型)(某国的工业增长水平)(该国的环境污染程度)一、问题的引入1.初步设想若存在一个可逆矩阵P，使得则进一步有且这两个向量必须线性无关且这两个向量必须线性无关2.简单分析一、问题的引入寻找一个可逆矩阵P，使得即记则对二阶方阵A寻找两个向量它们被

A

左乘后正好等于自己的某个倍数一、问题的引入3.一般性问题的提出对于方阵A，求向量X

和(实)数l

，使得比如，对于矩阵则有令从而有二、基本概念定义1设A

为n

阶方阵，如果存在数l

0

和n

维非零向量X则称数l

0

为方阵A

的特征值，非零使得A

X=

l

0

X，向量X称为A

的属于特征值l

0

的特征向量。比如，若X

是矩阵A

的属于特征值l

0的特征向量，(2)属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。则也是A

的属于特征值l

0

的特征向量。1.特征值与特征向量注意(1)特征值l

0

可以为零；由有该方程组有非零解的充要条件是分析二、基本概念1.特征值与特征向量2.特征多项式记定义则称为方阵

A

的特征多项式；称为方阵A

的特征方程。特征多项式是l的n

次多项式，

特征多项式“具体”形式其中，称为

A

的迹，即记为由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的个数为特征方程的次数，步骤(1)求解特征方程得到特征值。值(重根按重数计算)。(2)设

l=l

i

是方阵A

的一个特征值，则X就是

A

的求解齐次线性方得到非零解程组对应于特征值l

i

的特征向量。三、特征值与特征向量的求解方法因此

n

阶方阵有

n

个特征例求矩阵的特征值与特征向量。解(1)

A

的特征多项式为故

A

的特征值为(单根)(单根)(2)当时，求解得基础解系为故

A

的属于特征值的所有特征向量为由有(3)当时，求解得基础解系为故

A

的属于特征值的所有特征向量为由有解(1)

A

的特征多项式为故

A

的特征值为(单根)(重根)(2)当时，求解得基础解系为故

A

的属于特征值的所有特征向量为由有(3)当时，求解得基础解系为由有故A

的对应于特征值的所有特征向量为例求矩阵的特征值与特征向量。解(1)

A

的特征多项式为故A

的特征值为(单根)(重根)求解得基础解系为故A

的对应于特征值的所有特征向量为(2)当时，由有(3)当时，由有求解得基础解系为故A

的对应于特征值的所有特征向量为解设l是A

的特征值，对应的特征向量为X，则即又由由有即得或例设方阵

A

为幂等矩阵(即)，求

A

的特征值。因此有设n

阶方阵的特征值为则有性质1四、特征值的性质证明由有又两式比较即得性质成立。结论方阵A

可逆若为A

的特征值，注为B

的特征值，不能推出，设为A

的特征值，则有性质2四、特征值的性质(1)为的特征值；(3)若A

可逆，则为的特征值。(2)为的特征值证明(1)由(2)由(3)由为A+B

的特征值，为AB

的特征值。设为A

的特征值，则有性质3四、特征值的性质(1)为的特征值；(2)为的特征值，证明(2)(略)。(1)由其中，故矩阵B

的特征值分别为例已知三阶矩阵A

的特征值为1,-1,2，试求矩阵

B

的特征值以及矩阵解(1)令则(2)例设四阶方阵A

满足：求的一个特征值。解(1)由A

是四阶方阵且知A

可逆且有由可得从而有(2)又由知A

有一个特征值为故

有一个特征值为即得

有一个特征值为练习：设3阶方阵A

的特征值为1,−1,2，求A*+3A−2E的特征值．解：

A*+3A−2E=|A|A−1+3A−2E=−2A−1+3A−2E=j

(A)其中|A|=1×(−1)×2=−2．设l是

A的一个特征值，p

是对应的特征向量．令则性质1五、特征向量的性质方阵A

的一个特征值对应的特征向量的非零线性组合仍为该特征值对应的特征向量。则有证明设是A

的特征值对应的两个特征向量，即是A

的特征值对应的特征向量。注方阵A

的一个特征值对应的所有特征向量再添上零向量构成方阵A的一个特征子空间。五、特征向量的性质性质2属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证明下面用数学归纳法证明。对应的特征向量，(1)对于令(a)(b)由于故有同理可得即性质对时成立。由得则有设是方阵

A

的不同特征值令则有(c)(d)又由于故有代入(d)可得性质得证。根据归纳法假设，有(2)假设时性质成立，需证时也成立

.由得向量，证明不是A

的特征向量。例设是A

的两个不同的特征值

对应的特征假设是A

的特征向量，则存在使得证由题意有线性无关，且由线性无关，有即与矛盾，故不是A

的特征向量。五、特征向量的性质性质3方阵

A

的

s

个不同的特征值各自所对应的

s

组线性无关的特征向量并在一起仍然是线性无关的。证明设A

的特征值及各自对应的线性无关的特征向量如下：(线性无关)(线性无关)(线性无关)令假设则由性质

1

可知是对应的特征向量，再由性质

2

与上式

(a)

可推出矛盾，因此又由线性无关，有故性质的结论成立。记则(a)对于

n

阶矩阵A，如果l

0是A

的特征方程的

k

重根，则矩阵A

对应于特征值l

0的线性无关的特征向量的五、特征向量的性质性质4个数表明对于n

阶矩阵A，不一定能找到n

个线性无关的特征向量，除非对于A中的任意一个特征值，其线性无关的特征向量的个数正好等于该特征值的重数。§5.2

相似矩阵与矩阵的对角化定义2

设A,B

都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P

满足P

−1AP=B，则称B为矩阵A

的相似矩阵，或称矩阵A

和B相似．记作A~B．性质1若n阶矩阵A

和B相似，则A

和B的特征多项式相同,从而A

和B的特征值也相同．(逆命题不成立)证明：根据题意，存在可逆矩阵P

，使得P

−1AP=B．于是

|B−lE|=|P

−1AP−P

−1(lE)P|=|P

−1(A−lE)P|=|P

−1||A−lE||P|=|A−lE|．定理：若n阶矩阵A

和B相似，则A

和B的特征多项式相同,从而A

和B的特征值也相同．推论：若n阶矩阵A

和B相似，则A

的多项式j

(A)和B的多项式j

(B)相似．证明：设存在可逆矩阵P

，使得P

−1AP=B，则P

−1AkP=Bk

.设j

(x)=cmxm+cm−1xm−1+…+c1x+c0，那么P

−1j

(A)P

=P

−1

(cmAm+cm−1Am−1

+…+c1A

+c0

E)P

=cmP

−1Am

P+cm−1P

−1Am−1

P+…+c1

P

−1

AP+c0

P

−1EP

=cmBm+cm−1Bm−1+…+c1B+c0

E=j

(B).定理：设n阶矩阵L

=diag(l1,l2,…,ln)，则l1,l2,…,ln

就是L

的n个特征值．证明：故l1,l2,…,ln

就是L

的n个特征值．定理：若n阶矩阵A

和B相似，则A

和B的特征多项式相同,从而A

和B的特征值也相同．推论：若n阶矩阵A

和B相似，则A

的多项式j

(A)和B的多项式j

(B)相似．若n阶矩阵A

和n阶对角阵L

=diag(l1,l2,…,ln)相似，则从而通过计算j

(L)可方便地计算j

(A).若j

(l)=|A−lE|，那么j

(A)=O（零矩阵）.可逆矩阵P

，满足P−1AP=L（对角阵）AP=PLApi=li

pi(i=1,2,…,n)A

的特征值对应的特征向量其中?P.138定理1：n阶矩阵A

和对角阵相似当且仅当A

有n个线性无关的特征向量推论：如果A

有n个不同的特征值，则A

和对角阵相似．例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以可对角化.注意

即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．小结

这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．

相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成．思考题思考题解答结束5.3.1

向量的内积、长度及正交性向量的内积定义：设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

，则称[x,y]为向量x

和y

的内积．说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数．内积可用矩阵乘法表示：当x

和y都是列向量时，[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．定义4：设有n维向量令则称[x,y]为向量x

和y

的内积．向量的内积[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．线性性质：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0； 当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．线性性质：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z][x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．线性性质：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0； 当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．[x,x]=x12+x22+…+xn2

≥0[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．线性性质：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0； 当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．回顾：线段的长度x1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令x=(x1,x2)T，则若令x=(x1,x2,x3)T，则[x,x]=x12+x22+…+xn2

≥0向量的长度定义5：令称||x||为n维向量x的长度（或范数）．当||x||=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，||x||=0；当x≠0（零向量）时，||x||>0．齐次性：||l

x||=|l|

·

||x||．向量的长度定义：令称||x||为n维向量x的长度（或范数）．当||x||=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，||x||=0；当x≠0（零向量）时，||x||>0．齐次性：||l

x||=|l|

·

||x||．三角不等式：

||x+y||≤

||x||+||y||．xyx+yy向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]=||x||·||y||当x≠0且y≠0时，定义6：当x≠0且y≠0时，把称为n维向量x

和y

的夹角．定义7：当[x,y]=0，称向量x

和y

正交．结论：若x=0，则x

与任何向量都正交．xy定义8：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组.

若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，则称此向量组为单位正交向量组或标准正交向量组.定理3：若

n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,…,ar线性无关．证明：设k1a1+k2a2+…+krar=

0（零向量），那么

0=

[a1,0]

=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr

[a1,ar]=k1[a1,a1]

+

0

+

…+0

=k1||a1||2从而k1

=

0．同理可证，k2=k3=…=kr=0．综上所述，a1,a2,…,ar线性无关．例：已知3维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量a3

，使a1,a2,a3两两正交．分析：显然a1⊥a2

．解：设a3=(x1,x2,x3)T

，若a1⊥a3

，a2⊥a3，则

[a1,a3]=a1T

a3=x1+x2+x3=0[a2,a3]=a2T

a3=x1－

2x2+x3=0得从而有基础解系，令．定义：n维向量e1,e2,…,er是向量空间中的向量，满足e1,e2,…,er是向量空间V

中的一个基（最大无关组）；e1,e2,…,er两两正交；e1,e2,…,er都是单位向量，则称e1,e2,…,er

是V

的一个标准正交基．（规范正交基）例：是

R4的一个标准正交基．也是

R4的一个标准正交基．是

R4的一个基，但不是标准正交基．设

e1,e2,…,er是向量空间V

中的一个正交基，则V中任意一个向量可唯一表示为x=l1e1+l2e2+…+lrer于是特别地，若e1,e2,…,er

是V

的一个标准正交基，则问题：向量空间V

中的一个基a1,a2,…,ar

向量空间V

中的一个标准正交基

e1,e2,…,er？求标准正交基的方法第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程设a1,a2,…,ar

是向量空间V

中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基正交基标准正交基b1c2a2b2返回令c2

为a2

在b1上的投影，则c2=l

b1，若令b2=a2－c2=

a2－

l

b1，则b1⊥b2

．下面确定l

的值．因为所以，从而a2－b1第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程设a1,a2,…,ar

是向量空间V

中的一个基，那么令于是

b1,b2,…,br两两正交，并且与a1,a2,…,ar

等价，即

b1,b2,…,br

是向量空间V

中的一个正交基．特别地，b1,…,bk与a1,…,ak

等价（1≤

k

≤

r）．第二步：单位化设b1,b2,…,br

是向量空间V

中的一个正交基，那么令因为从而e1,e2,…,er

是向量空间V

中的一个标准正交基．例：设，试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化．解：第一步正交化，取例：设，试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化．解：第二步单位化，令例：已知，试求非零向量a2,a3

，使a1,a2,a3两两正交.解：若a1⊥a2

，a1⊥a3，则

[a1,a2]=a1T

a2=x1+x2+x3=0[a1,a3]=a1T

a3=x1+x2+x3=0即a2,a3

应满足方程x1+x2+x3=0．基础解系为把基础解系正交化即为所求．（以保证a2⊥a3成立）定义：如果

n阶矩阵A满足ATA=E，则称矩阵A

为正交矩阵，简称正交阵．9即A−1=AT，于是从而可得方阵A

为正交阵的充分必要条件是A

的列向量都是单位向量，且两两正交．

即

A

的列向量组构成Rn

的标准正交基．定义：如果

n阶矩阵A满足ATA=E，即A－1=AT，则称矩阵A

为正交矩阵，简称正交阵．

方阵A

为正交阵的充分必要条件是A

的列向量都是单位向量，且两两正交．即

A

的列向量组构成Rn

的标准正交基.因为ATA=E与AAT=E等价，所以定义：如果

n阶矩阵A满足ATA=E，即A－1=AT，则称矩阵A

为正交矩阵，简称正交阵．方阵A

为正交阵的充分必要条件是A

的列向量都是单位向量，且两两正交．即

A

的列向量组构成Rn

的标准正交基．方阵A

为正交阵的充分必要条件是A

的行向量都是单位向量，且两两正交．

即

A

的行向量组构成Rn

的标准正交基.P147定理4例：正交矩阵R4的一个标准正交基正交矩阵具有下列性质：若A

是正交阵，则A−1

也是正交阵，且|A|=1或－1．若A

和B是正交阵，则

A

和B也是正交阵．§5.3.2

实对称矩阵的特征值与特征向量性质1

实对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是实向量。证明略定理1的意义性质：设l1,l2,…,lm

是方阵A

的特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,…,lm

各不相同，则p1,p2,…,pm

线性无关．（P.134性质3）性质2

设l1和l2

是实对称阵A

的特征值，p1,p2

是对应的特征向量，如果l1≠

l2

，则

p1,p2

正交．（P.148性质2）证明：A

p1=l1p1，

A

p2=l2

p2

，l1≠

l2

l1p1T

=(l1p1)T=(A

p1)T=p1TAT

=p1TA（A是对称阵）l1p1T

p2=p1TA

p2=p1T

(l2

p2

)=l2p1T

p2(l1−l2)p1T

p2=0因为l1≠

l2

，则p1T

p2=0，即

p1,p2

正交．性质3

设

A为n阶实对称阵，l是A的特征方程的k重根，则矩阵A

−lE

的秩等于

n−k，恰有k个线性无关的特征向量与特征值l对应．§5.3.3

实对称矩阵的对角化定理5：设

A为n阶实对称阵，则必有正交阵P，使得P

−1AP=PTAP=L，其中L

是以A

的n

个特征值为对角元素的对角矩阵（P不唯一）.（P.149定理5）定理1：n阶矩阵A

和对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A

有n个线性无关的特征向量．（P.138定理1）性质3

设

A为n阶实对称阵，l

是A的特征方程的k重根，则矩阵

A

−lE

的秩等于n−k，恰有k个线性无关的特征向量与特征值l

对应．（P148）

例：设，求正交阵P，使P−1AP=L对角阵.解：因为

A是对称阵，所以A

可以对角化．求得A

的特征值l1=−2，l2=l3=1．当l1=−2时，解方程组(A+2E)x=0．

，得基础解系．当l2=l3=1时，解方程组(A−E)x=0．

，得．令，则.问题：这样的解法对吗？当l1=−2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为.显然，必有x1⊥x2

，x1⊥x3

，但x2⊥x3

未必成立．于是把x2,x3正交化：此时x1⊥h2

，x1⊥h3

，h2⊥h3

．单位化：当l1=−2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为.当l1=−2时，对应的特征向量为；当l2=l3=1时，对应的特征向量为于是

p1,p2,p3

构成正交阵从而．把对称阵A

对角化的步骤为：求出A

的所有各不相同的特征值l1,l2,…,ls

，它们的重数依次为k1,k2,…,ks

（k1+k2+…+ks=n）．对每个ki

重特征值li

，求方程组|A−li

E|=0的基础解系，得ki

个线性无关的特征向量