新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件全套 第1-5章 行列式-相似矩阵及二次型

线性代数数学与统计学院教师：行政楼713课程介绍01内容第一章行列式02课程介绍01PART课程介绍理、工、经管专业基础课；考研考点01讨论有限维线性空间的理论02应用广泛：自然科学，社会科学，工程技术，经济学等03学时/学分：32学时/2学分04考核：停课闭卷平时30%，考试70%05第一章行列式02PART行列式怎么来的？有什么用？求解线性方程组二元一次方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解三元一次方程组三元一次方程组由消元法，得解唯一n元一次方程组二元一次方程组和三元一次方程组的求解寻找规律求解n元方程组

二元一次方程组当时，该方程组有唯一解二阶行列式三元一次方程组三阶行列式n元一次方程组——Gramer法则推广到n阶行列式每一项为不同行不同列的n个元素的乘积每一项的正负号由各元素的位置决定一共有n！项排列与逆序排列：由1,2,…,n组成的不重复的每一种确定次序的排列称为一个n级排列.称123…n为自然排列.n级排列的总数是n!个.逆序：

在n级排列中，若有较大的数排在较小的数前，则称构成一个逆序。在n级排列中逆序的总数称为逆序数，记为。奇排列：逆序数为奇数的称为奇排列偶排列：逆序数为偶数的称为偶排列。对换：

在排列中，将任意两元素对调，其余不动称为对换。将相邻两个元素对换，称为相邻对换。定理1：任一排列经一次对换后其奇偶性改变。相邻对换2m+1次相邻对换每一项为不同行不同列的n个元素的乘积每一项的正负号由对应n级排列的逆序数决定一共有n！项n阶行列式：n阶行列式一共有

个元素n阶行列式可写成n=1时，注意区别绝对值符号若有一行或一列中的元素全为0，则该行列式为0练习行列式的每一项元素的行标是否可以不按照自然排列定理2：n阶行列式：行列式的通项可以为不在同一行同一列的n个元素的乘积。练习练习练习练习解：用树图分析-1133123-1-2-2-1故1130230021011210----=D练习已知

，求的系数.故的系数为－1.是否有方法可以简化行列式的计算？研究行列式具有哪些性质？转置行列式将行列式的行和列交换后得到的行列式称为该行列式的转置行列式

行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2交换行列式的两行（列），行列式变号。推论：若行列式有两行（列）元素相同，则此行列式为零。性质3用数k乘行列式D的一行（列），等于以数k乘行列式D。推论行列式某一行（列）中所有元素的公因子都可提到行列式外面。推论若行列式有两行元素成比例，则此行列式为零。性质4行列式D的一行每一个元素都是两数之和，

则D可以写为两个行列式之和。性质5把行列式一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。行列式性质回顾：n阶行列式：n阶行列式一共有

个元素，n!项，n阶行列式可写成n=1时，注意区别绝对值符号若有一行或一列中的元素全为0，则该行列式为0每一项为不同行不同列的n个元素的乘积定理2：n阶行列式：行列式的通项可以为不在同一行同一列的n个元素的乘积。n元一次方程组回顾例1用克拉默法则求解线性方程组是否有方法可以简化行列式的计算？研究行列式具有哪些性质？转置行列式将行列式的行和列交换后得到的行列式称为该行列式的转置行列式

行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2交换行列式的两行（列），行列式变号。推论：若行列式有两行（列）元素相同，则此行列式为零。性质3用数k乘行列式D的一行（列），等于以数k乘行列式D。推论行列式某一行（列）中所有元素的公因子都可提到行列式外面。推论若行列式有两行元素成比例，则此行列式为零。性质4行列式D的一行每一个元素都是两数之和，

则D可以写为两个行列式之和。性质5把行列式一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。行列式计算按照定义，需要做n!次的乘法运算，计算量很大。实际计算时，一般用性质化简。

定理：n阶行列式等于其任一行的各元素与对应代数余子式的乘积之和。引理

一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．又从而下面再讨论一般情形.请思考交换多少次可以到第一行第一列？分析当位于第1行第1列时,定理：n阶行列式等于其任一行的各元素与对应代数余子式的乘积之和。性质行列式D的一行每一个元素都是两数之和，

则D可以写为两个行列式之和。推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即练习：P30课后题9

定理（拉普拉斯展开定理）：n阶行列式D中，取定某k个行，则在这k个行中所有k阶子式分别与它的代数余子的乘积之和等于D。说明：在计算行列式时，常常按一行或一列展开。若在行列式D中某些行或列含多个零元，则按这些行或列展开计算行列式更方便此定理称为k个行展开定理。若将行变成列，则行列式按k个列展开。例计算行列式解降阶法，展开法n阶行列式的零元较多时，按行或列展开。化零降阶法说明：某行或列的元素偏大时，可利用性质将他们先变小化零降阶法一般从绝对值最小的整数所在的行或列开始适用于非零元较多的低阶行列式三角形法说明：利用三角行列式的性质若行或列的所有元素之和相等，可提取这个和数，并将某一行或列变成1行列式中行列较多元素相同升阶法加边法，镶边法构造n+1阶行列式，使其与原n阶行列式相等说明：递推法一般用于元素规律出现且难计算的行列式说明：归纳法一般用于元素规律出现难计算的行列式说明：范德蒙法只适用于范德蒙行列式说明：反对称法证明：奇数阶反对称行列式为零。n元一次方程组行列式应用n元齐次线性方程组n元齐次线性方程组只有零解n元齐次线性方程组有非零解

第二章矩阵基本概念n个n元一次方程n个n元一次方程解由数表决定不仅仅局限于n个未知数，n个方程的情形n个未知数，m个方程的情形解由数表决定对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.这个数表反映了学生的早餐情况姓名馒头包子鸡蛋稀饭张三1221李四0412王五1311二麻子1232为了方便，常用下面的数表表示数表的其它应用

销售地产地S1S2S3S4A2463B1045C0123常用下面的数表表示调运方案某产品从三个产地运往四个销售地

产品商店C1C2C3S1S2S3S4某工厂给四个商店运送三种产品常用下面的数表表示运送方案线性变换对应以原点为中心旋转

角的旋转变换.0yxP(x,y)P1投影变换数表例数表线性变换系数表线性变换与数表之间存在着一一对应关系.元素行标列标元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵简记为矩阵定义练习只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。行数和列数相等的矩阵称为方阵元素全是零的矩阵称为零矩阵，记为O。（4）对角线元素相同的对角阵称为数量矩阵或标量矩阵

（5）对角线元素相同且为1的对角阵称为单位阵主对角线特殊的方阵同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.

注意：不同型的零矩阵是不相等的.行数不一定等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数一定等于列数共有n2个元素本质上是一个数矩阵行列式1月1日馒头包子鸡蛋稀饭张三1221李四0412王五1311二麻子1232统计每个学生两天的早餐情况例同学每天的早餐情况1月2日馒头包子鸡蛋稀饭张三2010李四1211王五2221二麻子3212+=矩阵运算矩阵加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.矩阵减法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的差记作

A-B，规定为：A-B=(aij-bij)+=知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．馒头包子鸡蛋稀饭张三2442李四0422王五2622二麻子2222体重超标，需要控制，每天早餐减半例同学的早餐情况馒头包子鸡蛋稀饭张三1221李四0211王五1311二麻子1111X1/2数与矩阵相乘定义：数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA或

Al

，规定为知识点比较结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.练习解馒头包子鸡蛋稀饭张三1221李四0211王五1311二麻子1111食堂毛利润和净利润例同学的早餐情况价格利润馒头10.5包子20.5鸡蛋21稀饭21矩阵乘法

注意：矩阵A乘以矩阵B必须要求A的列数与B的行数相同练习解解知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.练习解若AB=BA,则称矩阵A，B可交换练习解矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）

思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立定义：把矩阵A的行与列互换得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT

。矩阵的转置转置矩阵的运算性质练习解如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵

2.A，B为对称阵，而AB不一定是对称阵

2.A，B为反对称阵，而AB不一定是反对称阵例：设列矩阵X=(x1,x2,…,xn

)T

满足XT

X=1，E

为n阶单位阵，H=E－2XXT，试证明

H是对称阵，且HHT=E.证明：从而

H是对称阵．方阵的行列式定义：由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质

3.2线性方程组解的判定一、线性方程组的表达式一般形式向量方程的形式方程组可简化为AX=b．增广矩阵的形式向量组线性组合的形式二、线性方程组的解的判定设有n

个未知数m

个方程的线性方程组定义：线性方程组如果有解，就称它是相容的；如果无解，就称它是不相容的．问题1：方程组是否有解？问题2：若方程组有解，则解是否唯一？问题3：若方程组有解且不唯一，则如何求出方程组的全部解？

m、n

不一定相等！定理：（P80推论1）n

元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n．分析：只需证明条件的充分性，即R(A)<R(A,b)无解；R(A)=R(A,b)=n唯一解；R(A)=R(A,b)<n无穷多解．那么无解R(A)<R(A,b)；唯一解R(A)=R(A,b)=n

；无穷多解R(A)=R(A,b)<n．证明：设

R(A)=r，为叙述方便，不妨设B=(A,b)的行最简形矩阵为第一步：证R(A)<R(A,b)无解．若R(A)<R(A,b)，即R(A,b)=R(A)＋1，则dr+1=1．于是第r+1行对应矛盾方程0=1，故原线性方程组无解．R(A)

≤

R(A,b)

≤

R(A)＋1前r

列后n-r

列前n

列前r

列第二步：往证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．后n-r

列则dr+1=0且r=n，对应的线性方程组为

从而bij

都不出现.前r

列n

列第二步：往证R(A)=R(A,b)=n唯一解．若R(A)=R(A,b)=n，故原线性方程组有唯一解．

则dr+1=0且bij

都不出现.

即r=n，前

r

行后

m－r

行后n-r

列n

行对应的线性方程组为后

m－n

行第三步：往证R(A)=R(A,b)<n无穷多解．若R(A)=R(A,b)<n，对应的线性方程组为前r

列

则dr+1=0.后n-r

列

即r<n，令xr+1,…,xn

作自由变量，则再令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则线性方程组的通解例：求解非齐次线性方程组解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原线性方程组有无穷多解．备注：有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=r<n，这时

还能根据R(A)=R(A,b)=r<n判断该线性方程组有无限多解吗？x1x2x3x4x1x2x4x3同解返回解（续）：即得与原方程组同解的方程组令x3

做自由变量，则方程组的通解可表示为．例：求解非齐次线性方程组解：R(A)=2，R(A,b)=3，故原线性方程组无解．练习：求解齐次线性方程组提问：为什么只对系数矩阵A进行初等行变换变为行最简形矩阵？答：因为齐次线性方程组AX=0的常数项都等于零，于是必有R(A,0)=

R(A)，所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况．例：设有线性方程组问l

取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．定理：n

元线性方程组AX=b无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n．解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于l+1，l+3等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：如果作了这样的变换，则需对l+1=0（或l+3=0）的情况另作讨论．分析：讨论方程组的解的情况，就是讨论参数l

取何值时，r2、r3

是非零行．在r2、r3

中，有5处地方出现了l

，要使这5个元素等于零，l=0，3，－3，1．实际上没有必要对这4个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手．于是当l

≠0且l

≠－3时，R(A)=R(B)=3，有唯一解．当l=0时，R(A)=1，R(B)=2，无解．当l=－3时，R(A)=R(B)=2，有无限多解．解法2：因为系数矩阵A

是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是|A|≠0．于是当l

≠0且l

≠－3时，方程组有唯一解．当l=0时，R(A)=1，R(B)=2，方程组无解．当l=－3时，R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，其通解为定理：n

元线性方程组AX=b无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n．分析：因为对于AX=0

必有R(A,0)=

R(A)，所以可从R(A)判断齐次线性方程组的解的情况．推论2

：n

元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n．n

元齐次线性方程组AX=0有零解的充分必要条件是R(A)=n．由2、3可知线性方程组AX=b

有解的充分必要条件是

R(A)=R(A,b)．定理：矩阵方程AX=B

有解的充分必要条件是

R(A)=R(A,B)．证明：设A

是m×n

矩阵，B

是m×l

矩阵，X

是n×l

矩阵.把X

和B

按列分块，记作X=(x1,x2,…,xl

)，B=(b1,b2,…,bl

)则即矩阵方程AX=B

有解线性方程组Axi=bi

有解

R(A)=R(A,bi)设R(A)=r，A的行最简形矩阵为，则有r

个非零行，且的后m－r

行全是零．再设从而．矩阵方程AX=B

有解线性方程组Axi=bi

有解

R(A)=R(A,bi)

的后m－r

个元素全是零的后m－r

行全是零

R(A)=R(A,B)．定理：矩阵方程AX=B

有解的充分必要条件是

R(A)=R(A,B)．定理：设AB=C

，则R(C)≤min{R(A),R(B)}．证明：因为AB=C

，所以矩阵方程AX=C

有解X=B，于是R(A)=R(A,C)．R(C)≤R(A,C)，故R(C)≤R(A)．又(AB)T=CT，即BTAT=CT，所以矩阵方程BTX

=CT有解

X=AT，同理可得，R(C)≤R(B)．综上所述，可知R(C)≤min{R(A),R(B)}．非齐次线性方程组无解否是无限多个解否是唯一解包含n-R(A)个自由变量的通解§3.3

线性方程组解的结构回顾：线性方程组的解的判定包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0

有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<

n．包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b

有解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)=R(A,b)，并且当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(A,b)<

n时，方程组有无限多个解．引言问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限 多个解时，解与解之间的相互关系．备注：当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构．下面的讨论都是假设线性方程组有解．解向量的定义定义：设有齐次线性方程组Ax=0，如果x1=x11，

x2=x21，...，xn=xn1为该方程组的解，则称为方程组的解向量．齐次线性方程组的解的性质性质1：若x=x1，

x=x2

是齐次线性方程组Ax=0

的解， 则x=x1+x2

还是Ax=0

的解．证明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性质2：若x=x是齐次线性方程组Ax=0

的解，k为实数， 则x=kx

还是Ax=0的解．证明：

A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．结论：若x=x1,

x=x2,...,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0

的解.结论：若x=x1,

x=x2,...,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

还是Ax=0

的解.已知齐次方程组Ax=0的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解．能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表示出来？把Ax=0的全体解组成的集合记作S，若求得S

的一个最大无关组S0：x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

，那么Ax=0的通解可表示为x=k1x1+k2x2+…+ktxt

．齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．基础解系的概念定义1：齐次线性方程组Ax=0的一组解向量：x1,x2,...,xr如果满足①

x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示为x1,x2,...,xr的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．定理2：设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩R(A)=r<n,

则存在n

−r个线性无关的解向量x1,x2,...,xn-r,它们构成方程组Ax=0的基础解系，且方程组的通解可表示为X=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，其中c1，c2，...,cn-r

为任意常数．后n-r

列前r

列设

R(A)=r，为叙述方便，不妨设A行最简形矩阵为对应的齐次线性方程组令xr+1,…,xn

作自由变量，则令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则齐次线性方程组的通解记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系②）

n

−

r

列前

r

行后

n

−

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

−

r

，即x1,

x2,…,xn-r线性无关．（满足基础解系①）于是x1,

x2,…,xn-r就是齐次线性方程组Ax=0的基础解系．令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，则线性方程组的通解记作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（满足基础解系②）

此即为Ax=0

的基础解系．通解为

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，则令基础解系的求解例：求解齐次线性方程组．方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．即令x3=c1，x4=c2，得通解表达式因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2

的线性组合．x1,x2的四个分量不成比例，所以x1,x2线性无关．所以x1,x2是原方程组的基础解系．方法2：先求出基础解系，再写出通解．即令合起来便得到基础解系，得还能找出其它基础解系吗？问题：是否可以把x1

选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解．令x1=c1，x2=c2，得通解表达式即从而可得另一个基础解系：h1和h2．例2：设Am×nBn×l=O（零矩阵），证明R(A)+R(B)≤

n．非齐次线性方程组的解的结构性质3：若x=h是非齐次线性方程组Ax=b

的解，x=x是导出组Ax=0

的解，则x=x+h

还是Ax=b

的解．证明：

A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b

．性质4：若x=h1，

x=h2

是非齐次线性方程组Ax=b

的解，则x=h1−h2

是对应的齐次线性方程组Ax=0

（导出组）的解．证明：A(h1−h2)=

Ah1−Ah2

=b

−b=0．根据性质3和性质4可知若x=h*

是Ax=b

的解，x=x

是Ax=0

的解，那么

x=x+h*

也是Ax=b

的解．设Ax=0

的通解为x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r

．于是Ax=b

的通解为h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*

例：求线性方程组的通解．解：容易看出是方程组的一个特解

．其对应的齐次线性方程组为根据前面的结论，导出组的基础解系为于是，原方程组的通解为第四章

向量组的相关性§4.1

向量及其线性运算定义1：n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量．分量全为实数的向量称为实向量．分量为复数的向量称为复向量．备注：本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．列向量用黑色小写字母a,b,a,b等表示，行向量则用aT,bT,aT,bT

表示．

若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为一个向量组.

§4.2

向量的线性关系定义6：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数

k1,k2,…,km

，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A

的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．定义7：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组

A

线性表示．4.2.1向量组的线性组合例：设那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n维向量b

，必有n

阶单位矩阵En

的列向量叫做n

维基本单位向量．含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．向量b能由向量组

A线性表示线性方程组Ax=b

有解P.80定理1的结论：4.2.2向量组的线性相关性定义8：给定向量组A：a1,a2,…,am，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组A：a1,a2,…,am线性相关m元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)<

m备注：给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．向量组A：a1,a2,…,am线性相关，通常是指m≥2的情形.若向量组只包含一个向量：当

a

是零向量时，线性相关；当

a不是零向量时，线性无关．向量组A：a1,a2,…,am(m≥2)线性相关，也就是向量组A

中，至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示． 特别地，a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．a1,a2,a3

线性相关的几何意义是三个向量共面．4.2.3向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性 表示．(P108定理1)向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．(P108定理1)向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性 表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．(P109定理1’)定理2：设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，而向量组B：a1,a2,…,am,b

线性相关，则向量b

必能由向量组A

线性表示，且表示式是唯一的．推论：设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，且向量b

不能由向量组A

线性表示，则向量组B：a1,a2,…,am,b

线性无关.定理3：若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，则向量组B：a1,a2,…,am,am+1

也线性相关．定理3’：若向量组B线性无关，则向量组A线性无关．定理4：若向量组线性无关，则在各向量中相应增加分量后仍线性无关．定理4’：若向量组线性相关，则在各向量中相应减少分量后仍线性相关．

§4.3

向量组的秩4.3.1极大线性无关组定义10：设有向量组A

，如果在A

中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0是向量组A

的一个极大线性无关向量组，简称最大无关组（极大无关组）．极大无关组的等价定义定义：设有向量组A

，如果在A

中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；【改为下面的一句话】向量组A

中任意一个向量都能由向量组A0

线性表示；那么称向量组A0是向量组A

的一个极大无关组．定理6：任一向量组和它的极大无关组等价.推论1：向量组的任何两个极大无关组等价.推论2：向量组的任何两个极大无关组所含向量的个数相同.4.3.2向量组的秩定义11：设有向量组A

，如果在A

中能选出r

个向量a1,a2,…,ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0

是向量组A

的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组（极大无关组）．

最大无关组所含向量个数r

称为向量组A

的秩，记作R(A)或R(a1,a2,…,ar).

n元线性方程组

Ax=b其中A是m×n

矩阵矩阵(A,b)向量组A:a1,a2,…,an

及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b

能否由向量组A线性表示？无解R(A)<R(A,b)NO有解R(A)=R(A,b)YESx的分量是线性组合的系数唯一解R(A)=R(A,b)

=

未知数个数表达式唯一无穷解R(A)=R(A,b)

<

未知数个数表达式不唯一矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax=b

有解当且仅当向量b

可由矩阵A的列向量组线性表示例：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．4.3.3矩阵的秩和向量组的秩的关系回顾矩阵的秩第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列

，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．R(A0)=3，计算

A0的前

3行构成的子式因此这就是A

的一个最高阶非零子式．结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．事实上，根据

R(A0)=3

可知：A0的

3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个线性无关的部分组．在矩阵A任取4个列向量，根据

R(A)=3

可知：A中所有4阶子式都等于零，从而这4个列向量所对应的矩阵的秩小于

4，即这4个列向量线性相关．A0的

3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个最大线性无关组．矩阵A

的列向量组的秩等于3．同理可证，矩阵A

的行向量组的秩也等于3．一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.115定理8）若Dr

是矩阵A

的一个最高阶非零子式，则Dr所在的

r

列是A

的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的

r行是A

的行向量组的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，同时，R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关，从而a1,a2

是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组．事实上，a1,a3

和a2,a3也是最大无关组．最大无关组的意义结论：向量组A

和它自己的最大无关组A0是等价的．用A0来代表A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体．

例：全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩．解：

n阶单位矩阵的列向量组是Rn的一个最大无关组，Rn的秩等于n．思考：上三角形矩阵的列向量组是Rn的一个最大无关组吗？(是)例：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．例：设矩阵求矩阵A

的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列

，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．R(A0)=3，计算

A0的前

3行构成的子式因此这就是A

的一个最高阶非零子式．A0的

3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个最大无关组．思考：如何把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的线性组合？思路1：思路2：利用矩阵A

的行最简形矩阵．向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b

有解令A0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5解（续）：为把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的线性组合，把矩阵A

再变成行最简形矩阵于是Ax=0与Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩阵

A的列向量组与矩阵

B的列向量组有相同的线性关系.可以看出：

b3=−b1−b2 b5=4b1+3b2−3b4所以

a3=−

a1−

a2 a5=4a1+3a2−3a4小结向量

b

能由向量组

A线性表示线性方程组

Ax=b

有解向量组

B

能由向量组

A线性表示矩阵方程组AX=B

有解向量组

A

与向量组

B等价知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理例：设证明向量b能由向量组a1,a2,a3

线性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

线性表示．行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：可见R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．

例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法2：转化为矩阵的秩的问题．已知，记作B=AK．因为|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量组a1,a2,a3

线性无关，R(A)=3，从而R(B)=3，向量组b1,b2,b3线性无关．设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量组

B

能由向量组

A

线性表示，即线性表示的系数矩阵设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量组

B

能由向量组

A

线性表示，即对于b1，存在一组实数k11,k21,…,km1

，使得b1=

k11a1+k21

a2+…+km1

am；对于b2，存在一组实数k12,k22,…,km2

，使得b2=

k12a1+k22

a2+…+km2

am；……对于bl，存在一组实数k1l,k2l,…,kml

，使得bl=

k1la1+k2la2+…+kmlam若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即则结论：矩阵C

的列向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示，

B

为这一线性表示的系数矩阵．若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即则结论：矩阵C

的行向量组能由矩阵B

的行向量组线性表示，

A

为这一线性表示的系数矩阵．口诀：左乘变行，右乘变列！定理：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在

A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在

A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.结论：若C=AB，那么矩阵C

的行向量组能由矩阵B

的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A

在左边）矩阵C

的列向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B

在右边）A经过有限次初等列变换变成B存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使AP1

P2…,Pl=B存在m

阶可逆矩阵

P，使得AP=B矩阵B

的列向量组与矩阵A

的列向量组等价矩阵B

的行向量组与矩阵A

的行向量组等价同理可得口诀：左行右列.把

P

看成是线性表示的系数矩阵向量组

B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示 存在矩阵K，使得AK=B

矩阵方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.80定理1）

R(B)≤

R(A)（P.114推论）定理7：向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)．证明：向量组

A和B等价

向量组

B能由向量组A

线性表示

向量组

A能由向量组B

线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因为R(B)≤

R(A,

B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)§4.4

向量空间数域的概念定义12：数集F如果满足条件：(1)0与1在F中；

(2)F中任意两个数的和、差、积、商仍在F中，则称数集F为数域.例如：全体实数的集合R是数域;

全体有理数的集合Q也是数域

向量空间的概念向量空间的概念定义：设V

是n

维向量的集合，如果①集合V

非空，②集合V

对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：若a

∈

V，b

∈

V，则a+b

∈

V．（对加法封闭）若a

∈

V，l

∈

R，则l

a

∈

V．（对乘数封闭）那么就称集合V为向量空间．例：下列哪些向量组构成向量空间？

n

维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0}非齐次线性方程组的解集S2={x|Ax=b}解：集合Rn，V1，S1是向量空间，集合V2，S2不是向量空间．定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间.例：设a,b为两个已知的n维向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一个向量空间吗？解：设x1,x2∈L，k∈R，因为x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一个向量空间．定义：把集合L={la+mb|l,m∈R}称为由向量a,b所生成的向量空间．一般地，把集合

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}称为由向量a1

,a2

,...,am所生成的向量空间．alaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablambalaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablamba1a2L1={l1a1+l2a2|l1,l2∈R}L2={m1b1+m2b2|m1,m2∈R}则

L1=L2L3={m1b1+m2b2+m3b3|m1,m2,m3∈R}问题：L1=L2=L3?b1b2b3返回向量空间的基的概念定义14：设V是一个向量空间，如果在V

中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足①a1,a2,…,ar线性无关；②V

中任意一个向量都能由a1,a2,…,ar线性表示；那么称向量组a1,a2,…,ar

是向量空间V

的一组基底，简称基．r

称为向量空间V

的维数，记为dimV.即dimV=r,并称V

为r

维向量空间

．向量空间向量空间的基向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩

n

维向量的全体Rn解：En

的列向量组是Rn的一个基，故Rn

的维数等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：En

的后n－1个列向量是V1的一个基，故

V1的维数等于n－1

．

n

元齐次线性方程