2024-2025学年新教材高中数学第7周检测第二章新人教A版选择性必修第一册

第7周检测(其次章)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线x-3y-3=0的倾斜角为()A.π6 B.π3 C.22.已知直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直,则实数a的值为()A.-2 B.-23 C.1 D.1或-3.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.π4,π3 B.π3,π2 C.π4,4.已知直线l过点(2,3)和(-2,1),则原点到直线l的距离为()A.55 B.2555.直线l过点P(1,2),且点A(2,3),B(4,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程是()A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0C.3x+2y-7=0或4x+y-6=0 D.3x+2y-7=0或x+4y-6=06.若第一象限内的点(m,n)关于直线x+y-2=0对称的点在直线2x+y+3=0上,则1m+8A.25 B.259 C.17 D.7.直线3x+4y=0与圆M:(x-2)2+(y-1)2=16交于A,B两点,则△MAB的面积为()A.43 B.42 C.23 D.228.若直线l:kx-y-2=0与曲线C:1-(y-1)2A.43,+∞ B.43,4 C.-2,-43∪43,2 D.43,2二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.以下结论正确的有()A.直线3x-y+a=0(a∈R)的倾斜角为60°B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:x-y+2=0的距离等于1C.直线x-2y+3=0关于原点对称的直线方程为x+2y-3=0D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为x+y-2=010.已知动直线l:kx-y-k+1=0与圆C:x2+y2-4y=0,则下列说法正确的是()A.直线l过定点(1,1) B.圆C的圆心坐标为(0,-2)C.直线l与圆C的相交弦的弦长的最小值为22 D.直线l与圆C的相交弦的弦长的最大值为411.若关于x的方程x+1-x2-b=0有唯一实数解,则bA.12C.-2 D.2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.在平面直角坐标系中,A(0,1),B(0,2),若动点C在直线y=x上,圆M过A,B,C三点,则圆M的面积最小值为.

13.已知直线y=k(x+1)截圆(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1∶2,则k=.

14.已知平面内有两定点A(-2,0),B(1,0),动点M满足|AM|=2|BM|.若动点M的轨迹被直线mx+y-8=0平分,则m=.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0).求:(1)BC边上的中线所在直线的方程;(2)BC边上的高所在直线的方程;(3)三角形ABC的面积.16.(15分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).(1)若点Q满足PQ⊥MN,PN∥MQ,求点Q的坐标;(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.17.(15分)已知线段AB的端点B的坐标是(6,8),端点A在圆x2+y2=16上运动,M是线段AB的中点,且直线l过定点(1,0).(1)求点M的轨迹方程;(2)记(1)中求得的图形的圆心为C,若直线l与圆C相切,求直线l的方程.18.(17分)已知点A(-2,0),B(0,-1),P(1,0),Q是圆M:x2+y2-4x-6y+8=0上的动点.(1)求△QAB面积的最小值;(2)求线段PQ的中点N的轨迹方程.19.(17分)已知直线l:(m+2)x+(1-2m)y+4m-2=0与圆C:x2-2x+y2=0交于M,N两点.(1)求出直线l恒过的定点的坐标.(2)求直线l的斜率的取值范围.(3)若O为坐标原点,直线OM,ON的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

参考答案第7周检测(其次章)1.A直线x-3y-3=0可化为y=33x-3设其倾斜角为α,0≤α<π,则斜率k=tanα=33,即α=π62.B∵直线l1:ax+2y=0与直线l2:2x+(2a+2)y+1=0垂直,∴a×2+2×(2a+2)=0,解得a=-23.3.C由y=kx因为两直线的交点位于第一象限,所以x=153k设直线l的倾斜角为α,则k=tanα>1.又0≤α<π,所以π4<α<π2,所以直线l的倾斜角的取值范围是π4,4.C因为直线l经过两点(2,3)和(-2,1),则直线l的方程为y-12=x+24,化简得x-2y+4=0,则原点(0,0)到直线5.C由题意可知,直线l的斜率存在,故设直线l:y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,则|2k-3-k+2|k2+1=|4k+5-k+2|k2+1,则k-1=3k+7或k-1+故选C.6.B设(m,n)关于直线x+y-2=0对称的点为(x1,y1),x1≠m,依据题意可得y解得x对称点在直线2x+y+3=0上,代入可得2n+m=9.因为点(m,n)在第一象限,所以m>0,n>0.1m+8n=1m+8n2n9+m9=2n9m+8m9n+197.A圆M:(x-2)2+(y-1)2=16的圆心为M(2,1),半径为4,由题意得圆心M到直线3x+4y=0的距离d=|3×2+4×1|32+42=2,则|AB|=2×16-4=43,所以△MAB的面积为18.D由曲线C:1-(y-1)2=x-1,可得(x-1)2+(y-又由直线l:kx-y-2=0可化为y=kx-2,直线l恒过定点P(0,-2),作出曲线C与直线l的图象,如图所示,结合图象,可得A(1,0),所以直线PA的斜率kPA=2,当直线l与曲线C相切时,可得|k-3|k2+1=1,解得k=43,所以实数k9.AB对于A,直线3x-y+a=0变形得y=3x+a,斜率为3,所以倾斜角为60°,故A正确;对于B,因为圆心(0,0)到直线l:x-y+2=0的距离等于1,而圆的半径为2,因此圆上有三个点到直线l:x-y+2=0的距离等于1,故B正确;对于C,直线x-2y+3=0化为y=x2+32,关于原点对称的直线方程的斜率为12,过0,故方程为y=x2-32,即x-2对于D,当直线在x轴和y轴上截距都为0时,设直线的方程为y=kx,代入(1,1),可得k=1,即方程为y=x,当直线在x轴和y轴上截距不为0时,设直线的方程为xm+ym=1,即x+y-m=0,代入(1,1),可得m=2,则直线的方程为综上,满足条件的直线方程为y=x或x+y-2=0,故D错误.故选AB.10.ACD对于A,直线l:kx-y-k+1=0,即k(x-1)-y+1=0,令x-1=0,对于B,圆C:x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4,圆心坐标为C(0,2),故B错误;对于C,因为12+(1-2)2=2<4,所以直线l所过定点(1,1)在圆的内部,所以相交弦的弦长的最小值为222-(2对于D,直线l与圆C的相交弦的弦长的最大值为圆C的直径4,故D正确.故选ACD.11.AD由题意可知关于x的方程1-x2=-x+b有唯一实数解,即曲线y=1-当直线y=-x+b经过点(1,0)时,b=1;当直线y=-x+b经过点(-1,0)时,b=-1;若直线y=-x+b与曲线y=1-x2相切,则|b|2数形结合可知,b的取值范围是[-1,1)∪{2}.故选AD.12.π2当圆M与直线y=x相切时,圆M的半径最小由A(0,1),B(0,2),可得线段AB的中垂线方程为y=32,则圆心在直线y=3设圆M的方程为(x-a)2+y-322=r2,r>0,将点A(0,1)代入得a2+14=r2又因为圆M与直线y=x相切,所以|a-32|即(r2)min=13.43或0由(x-1)2+(y-1)2=4可知圆心为C(1,1),半径为2设直线与圆交于A,B两点,∵直线y=k(x+1)截圆(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1∶2,∴∠ACB=120°,∴圆心到直线的距离为半径的一半,∴|2k-1|1+k14.2设M(x,y).因为|AM|=2|BM|,A(-2,0),B(1,0),则(x+2)2+y2=2·(即(x-4)2+y2=18,所以点M的轨迹是以(4,0)为圆心,32为半径的圆.因为动点M的轨迹被直线mx+y-8=0平分,可知点(4,0)在直线mx+y-8=0上,则4m-8=0,解得m=2.15.解(1)∵A(1,3),B(3,1),C(-1,0),∴线段BC的中点坐标为1,12,易知BC边上的中线所在直线的斜率不存在,∴BC边上的中线所在的直线方程为x=1.(2)∵kBC=0-∴BC边上的高所在直线的斜率k=-4,∴BC边上的高所在直线的方程为y-3=-4(x-1),即4x+y-7=0.(3)直线BC的方程为y-01-0=x则点A到直线BC的距离d=|1又|BC|=(3+1∴S△ABC=12×1716.解(1)设Q(x,y),易知x≠1,3,由题意得kMN=3,kPN=-2.因为PQ⊥MN,所以kPQ·kMN=-1,即yx-3×3=-1因为PN∥MQ,所以kPN=kMQ,即y+1x-1=-由①②,得x=0,y=1,即Q(0,1).(2)如图所示,设Q(x,0),x≠2,因为∠NQP=∠NPQ,所以kNQ=-kNP.又kNQ=22-x,k所以22-x=2,即x=1,所以又M(1,-1),所以MQ⊥x轴,故直线MQ的倾斜角为90°.17.解(1)设M(x,y),A(x0,y0),∵M是线段AB的中点,∴x0+6∵点A在圆x2+y2=16上,∴(2x-6)2+(2y-8)2=16,整理可得点M的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=4.(2)由(1)知圆心C(3,4),半径r=2,①当直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,与圆C相切,满足题意;②当直线l斜率存在时,设其方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,由直线l与圆C相切,得圆心到直线l距离d=|3k-4-则l:3x-4y-3=0.综上所述,直线l的方程为x=1或3x-4y-3=0.18.解(1)如图所示,由题意知,|AB|=(0+2)2+(-1-0)2圆M的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=5,则圆心为M(2,3),半径为r=5,所以圆心M到直线AB的距离为d=|2+2×3+2|设点Q到直线AB的距离为d',则d'min=d-r=5,所以△QAB面积的最小值为12|AB|·d'min=1(2)设N(x,y),Q(x0,y0),由题意知x=x0+12,y=y0+02,则x0=2x-1,y0=2所以(2x-1)2+(2y)2-4(2x-1)-6×2y+8=0,整理得x2+y2-3x-3y+134=所以点N的轨迹方程为x2+y2-3x-3y+134=0,即x-322+y-322=54.19.解(1)由直线l:(m+2)x+(1-2m)y+4m-2=0,得m(x-2y+4)+(2x+y-2)=0,联立x-2∴直线l恒过定点(0,2).(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=0,与圆相切,不符合题意,故直线l的斜率存在,由(1)可知,直线l的方程可设为y-2=k(x-0),即kx-y+2=0.由圆C:x2-2x+y2=0,知圆