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第二章逆矩阵和分块矩阵

定义：n阶方阵A称为可逆的，如果有n阶方阵B，使得这里E是n阶单位矩阵.根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式.对于任意的n阶方阵A，适合上述等式的矩阵B是唯一的（如果存在）.定义：如果矩阵B满足上述等式，那么B就称为A的逆矩阵，记作A－1.问题在什么条件下，方阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A－1

？定义：行列式|A|的各个元素的代数余子式

Nij

所构成的如下矩阵称为矩阵

A的伴随矩阵.性质伴随矩阵

证明

方阵的伴随矩阵

例：求二阶矩阵的逆矩阵.例：求3阶方阵的逆矩阵.解：|A|=1，则

把高阶矩阵分成一些低阶矩阵块高阶的矩阵，有没有方法可以简化为一系列低阶的矩阵进行研究家具的拆卸与装配矩阵分块法问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？矩阵分块定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的子块。矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.同一个矩阵的分块并不是唯一的，不同的分法得到不同的分块矩阵。分块矩阵是几阶的？按行分块以及按列分块m

n矩阵A有m行n

列，若将第i行记作若将第j列记作则问题二：为什么提出矩阵分块法？利用分块矩阵可简洁快速的进行理论推导使高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算使原矩阵的结构变得简单清晰若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即则有形式上看成是普通矩阵的加法！则有形式上看成是普通的数与矩阵相乘！若l是数，且

设A为m

s矩阵，B为s

n矩阵，若把A按行分块，把B按列分块，则分块矩阵的乘法例：证

Am

n

=Om

n的充分必要条件是方阵ATA

=On

n

．证明：把A按列分块，有于是那么即A

=O

．一般地，设A为m

l矩阵，B为l

n矩阵

，把A、B分块如下：形式上看成是普通的矩阵相乘！分块矩阵的转置若，则例如：分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．分块对角矩阵定义：设A

是n

阶矩阵，若

A

的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，对角线上的子块都是方阵，那么称A

为分块对角矩阵．分块对角矩阵的性质|A|=|A1

||A2

|…|As

|若|Ai

|≠0

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