新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 4.1 -4.3 向量及其线性运算

第四章

向量组的相关性§4.1

向量及其线性运算定义1：n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量．分量全为实数的向量称为实向量．分量为复数的向量称为复向量．备注：本书一般只讨论实向量（特别说明的除外）．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．列向量用黑色小写字母a,b,a,b等表示，行向量则用aT,bT,aT,bT

表示．

若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为一个向量组.

§4.2

向量的线性关系定义6：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数

k1,k2,…,km

，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A

的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．定义7：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组

A

线性表示．4.2.1向量组的线性组合例：设那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n维向量b

，必有n

阶单位矩阵En

的列向量叫做n

维基本单位向量．含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．向量b能由向量组

A线性表示线性方程组Ax=b

有解P.80定理1的结论：4.2.2向量组的线性相关性定义8：给定向量组A：a1,a2,…,am，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组A：a1,a2,…,am线性相关m元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)<

m备注：给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．向量组A：a1,a2,…,am线性相关，通常是指m≥2的情形.若向量组只包含一个向量：当

a

是零向量时，线性相关；当

a不是零向量时，线性无关．向量组A：a1,a2,…,am(m≥2)线性相关，也就是向量组A

中，至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示． 特别地，a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．a1,a2,a3

线性相关的几何意义是三个向量共面．4.2.3向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性 表示．(P108定理1)向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．(P108定理1)向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m． 向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性 表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．(P109定理1’)定理2：设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，而向量组B：a1,a2,…,am,b

线性相关，则向量b

必能由向量组A

线性表示，且表示式是唯一的．推论：设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，且向量b

不能由向量组A

线性表示，则向量组B：a1,a2,…,am,b

线性无关.定理3：若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，则向量组B：a1,a2,…,am,am+1

也线性相关．定理3’：若向量组B线性无关，则向量组A线性无关．定理4：若向量组线性无关，则在各向量中相应增加分量后仍线性无关．定理4’：若向量组线性相关，则在各向量中相应减少分量后仍线性相关．

§4.3

向量组的秩4.3.1极大线性无关组定义10：设有向量组A

，如果在A

中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0是向量组A

的一个极大线性无关向量组，简称最大无关组（极大无关组）．极大无关组的等价定义定义：设有向量组A

，如果在A

中能选出r个向量a1,a2,…,

ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；【改为下面的一句话】向量组A

中任意一个向量都能由向量组A0

线性表示；那么称向量组A0是向量组A

的一个极大无关组．定理6：任一向量组和它的极大无关组等价.推论1：向量组的任何两个极大无关组等价.推论2：向量组的任何两个极大无关组所含向量的个数相同.4.3.2向量组的秩定义11：设有向量组A

，如果在A

中能选出r

个向量a1,a2,…,ar，满足向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0

是向量组A

的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组（极大无关组）．

最大无关组所含向量个数r

称为向量组A

的秩，记作R(A)或R(a1,a2,…,ar).

n元线性方程组

Ax=b其中A是m×n

矩阵矩阵(A,b)向量组A:a1,a2,…,an

及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b

能否由向量组A线性表示？无解R(A)<R(A,b)NO有解R(A)=R(A,b)YESx的分量是线性组合的系数唯一解R(A)=R(A,b)

=未知数个数表达式唯一无穷解R(A)=R(A,b)

<未知数个数表达式不唯一矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax=b

有解当且仅当向量b

可由矩阵A的列向量组线性表示例：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．4.3.3矩阵的秩和向量组的秩的关系回顾矩阵的秩第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列

，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3

．R(A0)=3，计算

A0的前

3行构成的子式因此这就是A

的一个最高阶非零子式．结论：矩阵的最高阶非零子式一般不是唯一的，但矩阵的秩是唯一的．事实上，根据

R(A0)=3

可知：A0的

3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个线性无关的部分组．在矩阵A任取4个列向量，根据

R(A)=3

可知：A中所有4阶子式都等于零，从而这4个列向量所对应的矩阵的秩小于

4，即这4个列向量线性相关．A0的

3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个最大线性无关组．矩阵A

的列向量组的秩等于3．同理可证，矩阵A

的行向量组的秩也等于3．一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩． 矩阵的秩等于它的行向量组的秩．（P.115定理8）若Dr

是矩阵A

的一个最高阶非零子式，则Dr所在的

r

列是A

的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的

r行是A

的行向量组的一个最大无关组．向量组的最大无关组一般是不唯一的．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：可见R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关，同时，R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关，从而a1,a2

是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组．事实上，a1,a3

和a2,a3也是最大无关组．最大无关组的意义结论：向量组A

和它自己的最大无关组A0是等价的．用A0来代表A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体．

例：全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩．解：

n阶单位矩阵的列向量组是Rn的一个最大无关组，Rn的秩等于n．思考：上三角形矩阵的列向量组是Rn的一个最大无关组吗？(是)例：求矩阵的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．例：设矩阵求矩阵A

的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．第二步求A的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列

，与之对应的是选取矩阵A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3

．R(A0)=3，计算

A0的前

3行构成的子式因此这就是A

的一个最高阶非零子式．A0的

3个列向量就是矩阵A

的列向量组的一个最大无关组．思考：如何把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的线性组合？思路1：思路2：利用矩阵A

的行最简形矩阵．向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b

有解令A0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5解（续）：为把

a3,a5

表示成a1,a2,a4

的线性组合，把矩阵A

再变成行最简形矩阵于是Ax=0与Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩阵

A的列向量组与矩阵

B的列向量组有相同的线性关系.可以看出：

b3=−b1−b2 b5=4b1+3b2−3b4所以

a3=−

a1−

a2 a5=4a1+3a2−3a4小结向量

b

能由向量组

A线性表示线性方程组

Ax=b

有解向量组

B

能由向量组

A线性表示矩阵方程组AX=B

有解向量组

A

与向量组

B等价知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理例：设证明向量b能由向量组a1,a2,a3

线性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

线性表示．行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：可见R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．

例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法2：转化为矩阵的秩的问题．已知，记作B=AK．因为|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量组a1,a2,a3

线性无关，R(A)=3，从而R(B)=3，向量组b1,b2,b3线性无关．设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量组

B

能由向量组

A

线性表示，即线性表示的系数矩阵设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量组

B

能由向量组

A

线性表示，即对于b1，存在一组实数k11,k21,…,km1

，使得b1=

k11a1+k21

a2+…+km1

am；对于b2，存在一组实数k12,k22,…,km2

，使得b2=

k12a1+k22

a2+…+km2

am；……对于bl，存在一组实数k1l,k2l,…,kml

，使得bl=

k1la1+k2la2+…+kmlam若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即则结论：矩阵C

的列向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示，

B

为这一线性表示的系数矩阵．若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即则结论：矩阵C

的行向量组能由矩阵B

的行向量组线性表示，

A

为这一线性表示的系数矩阵．口诀：左乘变行，右乘变列！定理：设A是一个m×n矩阵，对