2024届山西省太原市高三上学期期末学业诊断数学试题及答案

2023~2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷（考试时间：上午8:00—10:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分。一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）Ax|x22x0，Bx|2x2，则AB（）1.已知集合A.[0,)B.C.2]D.[2,)2.已知复数z满足i)z，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A.B.(C.D.(x2y24x2y0的圆心坐标为（B.(）3.圆A.(2,C.(4,2)D.(2)4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功举办.杭州亚运会期间，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法种数为（A.18B.24C.32）D.36）5.已知，，且tan3，tan2，则（2A.B.C.D.123466.如图是函数f(x)的部分图象，则f(x)的解析式为（）sin6x6xA.f(x)C.f(x)B.f(x)D.f(x)x2xx2x2x6x2sin6x2x22x2xx27.已知椭圆C:y1的左、右焦点分别为F，F，点M为C上异于长轴端点的任意一点，F212122的角平分线交线段FF于点N，则1（）12NF1210102A.2B.C.D.258.若实数a，b，c满足alog3，b，c2，则（A.abcB.acbC.bac）D.bca二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）*n9.已知数列a中，11，n12n1nN，数列a的前n项和为Sn，则下列结论正确的是n（）A.a是等比数列B.415nC.1000D.S2annn10.已知函数f(x)2sinxsinx，则下列结论正确的是（6）32A.ff6B.f(x)的图象关于点,0对称C.f(x)在区间,上单调递增12123D.将f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称32|x|,0xe11.已知函数f(x)x，若方程f(x)a有四个不同的实数解x，x，x，x，且满足123424xxee2exxxx，则下列结论正确的是（）1234A.0a1B.2xx[22,3)121eC.xxxx4eD.1234xxxx2,4e2123412.在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E为线段BC的中点，点P和Q分别满足DPDC，11111111DQDB，其中，，则下列结论正确的是（）111A.当时，三棱锥Q的体积为定值21B.当时，四棱锥QABCD的外接球的表面积是24C.当1时，不存在使得PQ1D1526D.PQEQ的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）y213.双曲线x21的渐近线方程为______.41x214.12x)4的展开式中常数项为______.|ab|15.已知非零向量a，b夹角为，则的最小值为______.3|b|16.已知实数，k分别满足e2e，kke3，其中e是自然对数的底数，则k______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）*已知在等差数列a中，23，8a，S是数列b的前n项和，且满足2Snn1nN.n3nn（1）求数列a和b的通项公式；nn，求数列c的前n项和n.cabnN*（2）设nnnn18.（本小题12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，点D在线段BC上，BD，AD2，△ABC的面积为33.（1）当2，且60时，求B；（2）当1，且b2c28时，求△ABC的周长.219.（本小题12分）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥SABCD中，四边形ABCD是边长为3的正方形，SAAB，SCBC，SASC32.（1）证明：四棱锥SABCD是一个“阳马；30（2）已知点E在线段AC上，且AEEC，若二面角ASED的余弦值为，求直线SE与底15面ABCD所成角的正切值.20.（本小题12分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选12择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第33231天中午选择米饭套餐的概率为.（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；天选择米饭套餐的概率为n，nnN*（2）记该同学第12（i）证明：P为等比数列；n59（ii）证明：当n2时，n21.（本小题12分）.已知抛物线C:y2px(p0)的准线与x轴相交于点D，过抛物线C焦点F的直线与C相交于A，B两2点，△面积的最小值为4.（1）求抛物线C的方程；（2）若过点E2)的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点P，使得对任意的直线l，都有PMPN.若存在，求出点P的坐标；若不存在，则说明理由.22.（本小题12分）已知函数f(x)xx(kxk，k1.（1）当k1时，求f(x)的最小值；（2）当x)时，不等式f(x)0恒成立，求实数k取得的最大整数值.2023-2024学年第一学期高三年级期末学业诊断数学试卷参考答案及评分标准一.单项选择题：CBABCCAA二.多项选择题：9.BD10.AC14.2511.ACD12.ABD16.三.填空题：13.y2x四.解答题：15.3e31d17.1）设a的公差为d，由题意得na7d3a2d,11aa2n1nN*；n1d当n1时，则2Sbb1b1，1111当n2时，则2Sn1n112Sn2Sn1nn1nn1，n是以1为首项，3为公比的等比数列，n；n1nN*，nn(2nn1nN（2）由（1）得cn*n123n1n1133532(2n3n2(2nn1，①n13332533(2nn1(2n3，②nT1233233n1(2nn，①－②得nn(n3n1nN*.1318.1）由题意得SaADsina33a622BD2BD4，CD2，AB2AD2BD2ADBD12AB23，2AB2BD2AD23B0B180B30；2ABBD21（2）由题意得BDCDAD(ABAC)，211414222c2bbcBAC4，AD(ABAC)2ABAC2ABAC24bc28bcBAC6，22a2b2c2bcBAC40a210，1SbcsinBAC33bcsinBAC63bc12，2bc)2b2cbc52bc213，2abc2(1013)△ABC的周长为13).19.（1四边形ABCD是正方形，ABAD，SAAB，SAADAAB平面SADSDAB，同理可证SDBCABBCBSD平面ABCD，四棱锥SABCD是一个“阳马；（2）由（1）得SD平面ABCDSDAD，SA32，AB3SD3，以点D为原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得D(0,0)，0)，B0)，C(0,0)，S(0,，3AEECE,,0，11mAC,是平面SAE的一个法向量，则设mx,y,z111m,3x3yx11令11，则1m，3x3z111nSD,设nx,y,z是平面SDE的一个法向量，则222nDE,3z,22令y21，则n(,0)，312y2z21mncos,n|m||n|123013，153122934493310E,,0，444SD210SD平面ABCD直线SE与底面ABCD所成角的正切值为.520.1）设A“第i天选择米饭套餐”i1,2)，则A“第i天选择面食套餐，ii231313231根据题意PA，PA，号PA|A，PA|A，112121由全概率公式，得PAPAPA|APAPA|A2121122112333349；（2i）设n“第n天选择米饭套餐”(n)，12n则PPA，PA1P，PA|A，PA|A，nnnnn1nn1331323Pn由全概率公式，得PAPAPA|APAPA|A，n1nn1nnn1n1211312即PPn1P，n1nn33212112111P是以为首项，为公比的等比数列；n663n1111PnN*，（ii）由（i）可得n263n12111263111142635当n为大于1的奇数时，n；279n1111当n为正偶数时，n2631259.p2p221.1）由题意得F,0，D,0，p设直线AB的方程为xtytR)，Ax,y，Bx,y，11222pxty,y2tpyp0，2由2得2pxy2yytp，yyp2，12122241y24pt，22yyyy12121△面积SDAB||yyp22t1p2，122当t0时，SDAB取最小值p2p2，抛物线C的方程为y24x；（2）由（1）得抛物线C:y4x，假设存在定点Px,y2，00设直线l的方程为x5m(y2)(mR)，Mx,y，Nx,y，则30，y40，4334x5m(y由y244(2m0，得y4x2yy4m，yy4(2m，3434PMPNPMPN0，1PMPNxxxx3yy4y，3202y42023y4yy003040001602yyyyy1604y2my240，3403400y0当y020时，即时，PMPN恒成立，存在定点.P2)x1022.1）当k1时，f(x)xx1，x(0,)，则f(x)x1，11令f(x)0，则0x；令f(x)0，则x，ee1f(x)在1e上单调递减，在,上单调递增，e111f(x)在x处取得最小值f1；eee（2）①当k1时，则f(x)xx110，显然成立；xxxx1②当k1时，原不等式