云南省丽江市宁蒗彝族自治县第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

宁蒗二中2023～2024学年下学期高一期中考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章～第八章。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（是虚数单位），则的虚部是（）A.1 B. C. D.2.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面B.四条首尾相连的线段确定一个平面C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D.空间两两相交的三条直线在同一平面内3.已知球的半径为，则球的表面积为（）A. B. C. D.4.在中，，，且的面积为，则角的大小为（）A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°5.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的（）A.倍 B.3倍 C.倍 D.9倍6.已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（）A. B. C. D.7.如图，在梯形中，，，，，，以所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（）A. B. C. D.8.如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面，平面，则下列说法错误的是（）A.平面内所有的直线与直线异面B.平面内存在一条直线与直线平行C.平面内存在无数条直线与直线垂直D.有且只有一个过直线的平面与平面垂直10.已知为复数，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.11.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，，则12.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（）A.B.若，则符合条件的三角形有两个C.的最大值为32D.的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，，则梯形的周长为______.14.若复数为纯虚数，则实数_______.15.在长方体中，，，，则长方体外接球的体积为______.16.在平行四边形中，过点作的垂线，垂足为，且，则______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。17.（本小题满分10分）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，且.（1）求复数：（2）若，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.（1）求A；（2）若，求a的最小值.19.（本小题满分12分）已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围.20.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为.（1）求角的大小；（2）若，，是的一条中线，求线段的长.21.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，E，F分别为棱，的中点，是棱上的一点，，是棱上的一点，.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面.22.（本小题满分12分）在三棱锥中，，.（1）求证：；（2）若，，求点到平面的距离.

宁蒗二中2023～2024学年下学期高一期中考试·数学参考答案、提示及评分细则1.A，的虚部是1，故选A.2.C如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；如空间四边形，四条首尾相连的线段不在一个平面，故B错误；两条平行直线确定一个平面，一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内，故这三条直线在同一平面内，故C正确；空间两两相交的三条直线可确定一个平面，也可确定三个平面，故D错误.故选C.3.C.故选C.4.D的面积，解得，因为，所以角的大小为60°或120°.故选D.5.B设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的9倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的3倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的3倍.故选B.6.C因为，且B，C，D三点共线，所以，解得.故选C.7.C旋转形成的几何体为圆台，所以.故选C.8.B连接，，如图所示.易得，所以直线与所成的角为（或其补角）.不妨设.在中，易得，，，由余弦定理得，即直线与所成角的余弦值为.故选B.9.ABD当平面内的直线过点A时，该直线与直线相交，故A错误；假设平面内存在一条直线与直线相互平行，则该直线与直线共面，显然不成立，故B错误；当直线与平面垂直时，有无数个过直线的平面与平面垂直，故D错误.故选ABD.10.AD设，由为实数，得，所以，故A正确；若，则，故B错误；复数不能比较大小，故C错误；设，则，，故D正确.故选AD.11.BD若，，则或，故A错误；，，，则或m，n异面，故C错误.故选BD.12.ACD，故A正确；由正弦定理得，解得，故符合条件的三角形不存在，故B错误；由余弦定理得，即，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；，因为，所以，所以，故D正确.故选ACD.13.因为四边形是等腰梯形，且，，所以，所以，，，且，所以，梯形的周长为.14.5由，可得.15.设长方体外接球的半径为，，所以长方体外接球的体积.16.-8在平行四边形中，连接，交于点，则.17.解：（1）设，，则解得或又复数在复平面内对应的点位于第四象限，所以所以；（2）因为，所以，所以，解得，即实数的取值范围是.18.解：（1），即，即；（2）由余弦定理有，当且仅当时取等号，故的最小值为1.19.解：（1）因为，，所以，，又，所以，即，解得.（2）因为，，所以.又向量与的夹角为锐角，所以解得且，即的取值范围是.20.解：（1）因为，又，所以，所以，又，所以；（2）因为为的中点，所以，所以，所以.21.证明：（1）分别取，的中点M，N，连接，，，，如图所示.因为是的中点，是的中点，易得四边形是平行四边形，所以.因为是棱上的一点，，是棱上的一点，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.因为是的中点，是的中点，易得四边形是平行四边形，所以.又是棱上的一点，，所以是的中点，又是的中点，所以，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面；（2）连接，因为底面是菱形，，所以是等边三角形，又是的中点，所以，因为直四棱柱，所以平面，又平面，所以，又，平面