浅谈数形结合思想方法在高中数学中的应用

浅谈数形结合思想方法在高中数学中的应用知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最根本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、开展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来说明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比方应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和标准严密性来说明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地说明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。解题方法指导1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。③构造，比方构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。数形结合的思想方法的应用解析几何中的数形结合解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，到达研究、解决问题的目的.

1.与斜率有关的问题

【例1】：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P〔-1，1〕，Q〔2，2〕.假设直线l∶x+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围.

解：直线l的方程x+my+m=0可化为点斜式：y+1=-〔x-0〕，易知直线l过定点M〔0，-1〕，且斜率为-.

∵l与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋近于最大.

【点评】含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程.此题是化为点斜式方程后，可看出交点M〔0，-1〕和斜率-.此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值范围.

2.与距离有关的问题

【例2】求：y=〔cosθ-cosα+3〕2+〔sinθ-sinα-2〕2的最大〔小〕值.

【分析】可看成求两动点P〔cosθ，sinθ〕与Q〔cosα-3，sinα+2〕之间距离的最值问题.

解：两动点的轨迹方程为：x2+y2=1和〔x+3〕2+〔y-2〕2=1，转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题.如图：

3.与截距有关的问题

【例3】假设直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，求k的取值范围.

解：曲线x=是单位圆x2+y2=1的右半圆〔x≥0〕，k是直线y=x+k在y轴上的截距.

由数形结合知：直线与曲线相切时，k=-，由图形：可得k=-，或-1<k≤1.

4.与定义有关的问题

【例4】求抛物线y2=4x上到焦点F的距离与到点A〔3，2〕的距离之和为最小的点P的坐标，并求这个最小值.

【分析】要求PA+PF的最小值，可利用抛物线的定义，把PF转化为点P到准线的距离，化曲为直从而借助数形结合解决相关问题.

解：P′是抛物线y2=4x上的任意一点，过P′作抛物线的准线l的垂线，垂足为D，连P′F〔F为抛物线的焦点〕，由抛物线的定义可知：

.

过A作准线l的垂线，交抛物线于P，垂足为Q，显然，直线AQ之长小于折线AP′D之长，因而所求的点P即为AQ与抛物线交点.

∵AQ直线平行于x轴，且过A〔3，2〕，所以方程为y=2，代入y2=4x得x=1.

∴P〔1，2〕与F、A的距离之和最小，最小距离为4.

【点评】〔1〕化曲线为直线是求距离之和最有效的方法，在椭圆，双曲线中也有类似问题.

〔2〕假设点A在抛物线外，那么点P即为AF与抛物线交点〔内分AF〕.

(二)数形结合在函数中的应用1.利用数形结合解决与方程的根有关的问题

方程的解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化.

【例5】方程x2-4x+3=m有4个根，那么实数m的取值范围.

【分析】此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决.

解：方程x2-4x+3＝m根的个数问题就是函数y=x2-4x+3与函数y=m图象的交点的个数.

作出抛物线y=x2-4x+3=〔x-2〕2-1的图象，将x轴下方的图象沿x轴翻折上去，得到y=x2-4x+3的图象，再作直线y=m，如下图：由图象可以看出，当0<m<1时，两函数图象有4交点，故m的取值范围是〔0，1〕.

数形结合可用于解决方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.

2.利用数形结合解决函数的单调性问题函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高考中的热点问题之一.在解决有关问题时，我们常需要先确定函数的单调性及单调区间，数形结合是确定函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间形象直观地反映在函数的图象中.

【例6】确定函数y=的单调区间.

画出函数的草图，由图象可知，函数的单调递增区间为〔-∞，0］，［1，＋∞〕，函数的单调递减区间为［0，1］.

3.利用数形结合解决比拟数值大小的问题

【例7】定义在R上的函数y=f〔x〕满足以下三个条件：①对任意的x∈R都有f〔x+4〕=f〔x〕；②对任意的0≤x1<x2≤2，都有f〔x1〕<f〔x2〕；③y=f〔x+2〕的图象关于y轴对称.那么f〔4.5〕，f〔6.5〕，f〔7〕的大小关系是.

解：由①：T=4；由②：f〔x〕在［０，２］上是增函数；由③：f〔－x－２〕＝f〔x＋２〕，所以f〔x〕的图象关于直线x=2对称.由此，画出示意图便可比拟大小.

显然，f〔4.5〕<f〔7〕<f〔6.5〕.

4.利用数形结合解决抽象函数问题

抽象函数问题是近几年高考中经常出现的问题，是高考中的难点.利用数形结合常能使我们找到解决此类问题的捷径.

【例8】设f〔x〕，g〔x〕分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，在区间［a，b］〔a<b<0〕上，f′〔x〕g〔x〕+f〔x〕g′〔x〕>0，且f〔x〕·g〔x〕有最小值－５.那么函数y=f〔x〕·g〔x〕在区间［－b，-a］上〔〕.

Ａ.是增函数且有最小值－５

Ｂ.是减函数且有最小值－５

Ｃ.是增函数且有最大值５

Ｄ.是减函数且有最大值５

【解析】f′〔x〕g〔x〕+f〔x〕g′〔x〕=［f〔x〕·g〔x〕］′>0.

∴y=f〔x〕·g〔x〕在区间［a，b］〔a<b<0〕上是增函数，

又∵f〔x〕，g〔x〕分别是定义在R上的奇函数和偶函数.

∴y=f〔x〕·g〔x〕是奇函数.

因此它的图象关于原点对称，作出示意图，易知函数y=f〔x〕·g〔x〕在区间［-b，-a］上是增函数且有最大值５，因此选Ｃ.

〔三〕运用数形结合思想解不等式1.求参数的取值范围

【例9】假设不等式>ax的解集是｛x|0<x≤4｝，那么实数a的取值范围是〔〕.

Ａ.［０，＋∞〕Ｂ.〔－∞，４］

Ｃ.〔－∞，０〕Ｄ.〔－∞，０］

解：令f〔x〕＝，g〔x〕=ax，那么f〔x〕＝的图象是以〔２，０〕为圆心，以２为半径的圆的上半局部，包括点〔４，０〕，不包括点〔０，０〕；g〔x〕＝ax的图象是通过原点、斜率为a的直线，由>ax的解集是｛x|0<x≤4｝，

即要求半圆在直线的上方，由图可知a<0，所以选Ｃ.

【点评】此题很好的表达了数形结合思想在解题中的妙用.

【例10】假设x∈〔１，２〕时，不等式〔x-1〕2<logax恒成立，那么a的取值范围是〔〕.

Ａ.〔0，1〕Ｂ.〔１，２〕

Ｃ.〔１，２］Ｄ.［１，２］

解：设y1=〔x－1〕2〔1<x<2〕，y2=logax.

由图可知假设y1<y2〔1<x<2〕，那么a>1.

y1=〔x-1〕2过〔２，１〕点，当y2=logax也过〔２，１〕点，即a=2时，恰有y1<y2〔1<x<2〕

∴１<a≤2时〔x-1〕2<logax在x∈〔１，２〕上成立，应选Ｃ.

【点评】例１、例２两题的求解实际上综合运用了函数与方程以及数形结合的思想方法.

2.解不等式

【例11】f〔x〕是Ｒ上的偶函数，且在［０，＋∞〕上是减函数，f〔a〕＝０〔a>0〕，那么不等式xf〔x〕<0的解集是〔〕.

Ａ.｛x|0<x<a｝Ｂ.｛x|-a<x<0或x>a｝

Ｃ.｛x|-a<x<a｝Ｄ.｛x|x<-a或0<x<a｝

解：依题意得f〔x〕是Ｒ上的偶函数，且在［０，＋∞〕上是减函数，f〔a〕＝０〔a>0〕，可得到f〔x〕图象，又由xf〔x〕<0，可知x与f〔x〕异号，从图象可知，当x∈〔-a，０〕∪〔a，+∞〕时满足题意，应选Ｂ.

【例12】设函数f〔x〕＝2，求使f〔x〕≥２的取值范围.【解法１】由f〔x〕≥２得2≥２＝２.

易求出g〔x〕和h〔x〕的图象的交点立时，x的取值范围为［，+∞〕.

【解法3】由的几何意义可设Ｆ1〔－１，０〕，Ｆ２〔１，０〕，Ｍ〔x，y〕，那么，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ２为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为〔，０〕，由双曲线的图象和x+1－x-1≥知x≥.

【点评】此题的三种解法都是从不同角度构造函数或不等式的几何意义，让不等式的解集直观地表现出来，表达出数形结合的思想，给我们以“柳暗花明”的解题情境.〔四〕运用数形结合思想解三角函数题纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.

【例13】函数f〔x〕=sinx+2sinx，x∈［０，２π］的图象与直线y=k有且仅有２个不同的交点，那么k的取值范围是.

【分析】此题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率.

解：函数f〔x〕＝由图象可知：1<k<3.

【例14】当0<x<时，函数f〔x〕＝的最小值为〔〕.

Ａ.２Ｂ.２Ｃ.４Ｄ.４解：y=那么y为点Ａ〔０，５〕与点Ｂ〔－sin2x，3cos2x〕两点连线的斜率，又点Ｂ的轨迹方程〔0<α<〕，即x2+＝１〔x<0〕，如图，当过点Ａ的直线l∶y=kx+5与椭圆x2+＝１〔x<0〕相切时，k有最小值４，应选Ｃ.

【例15】假设sinα+cosα=tanα〔0<α<〕，那么α∈〔〕.

解：令f〔x〕=sinx+cosx=sin〔x+〕〔0<α<〕，g〔x〕=tanx，画出图象，从图象上看出交点Ｐ的横从标xP>.再令α＝，那么sin+cos=≈１.366，tan=≈1.732>1.367，由图象知xP应小于.应选Ｃ.

【点评】此题首先构造函数f〔x〕，g〔x〕，再利用两个函数的图象的交点位置确定α>，淘汰了Ａ、Ｂ两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项Ｃ，起到了出奇制胜的效果.

【例16】函数f〔x〕是定义在〔－３，３〕上的奇函数，当0<x<3时f〔x〕图象如以下图所示，那么不等式f〔x〕cosx<0的解集是〔〕.

解：函数f〔x〕定义在〔－３，３〕上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f〔x〕在〔－３，０〕上的图象如下图，假设使f〔x〕cosx<0，只需f〔x〕与cosx异号，即图象须分别分布在x轴上下侧，由图可知，有三局部区间符合条件要求，即〔－，－１〕∪〔０，１〕∪〔，３〕，应选B.

【点评】函数的一局部图象，根据函数的性质可得到函数的另一局部图象，利用数形结合的思想，可以先画出完整的函数图象，再研究有关问题.

【例17】△ＡＢＣ中，Ａ＝，ＢＣ＝３，那么△ＡＢＣ的周长为〔〕.

解：此题是我们常用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成的，但是应用数形结合，可以很快解决问题.为此，延长ＣＡ到Ｄ，使ＡＤ＝ＡＢ，那么ＣＤ＝ＡＢ＋ＡＣ，∠ＣＢＤ＝∠Ｂ＋，∠Ｄ＝，由正弦定理即ＡＢ＋ＡＣ＝６sin〔B+〕，应选Ｃ.【结束语】在数形结合法的学习中，我们还应进一步看到运算、证明的简捷化与严格化是密切相关的，“数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的开展密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的东西抛到一边.数学科学开展的这种特点是根深蒂固的.”“把证明的严格化与简捷化绝对对立起来是错误的.相反，我们可以通过大量的例子来证实；严格的方法同时也是比拟简捷比拟容易理解的方法.正是追求严格化的努力驱使我们去寻求更简捷的推理方法”.浅谈数形结合思想方法在高中数学中的应用集贤县第四中学数学组李红2010-9-15必修1《函数的单调性〔一〕》教学设计一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和根本初等函数Ⅰ》?/SPAN>2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的根底．此外在比拟数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标〔1〕知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；〔2〕过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．〔3〕情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点〔1〕函数单调性的概念；〔2〕运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点〔1〕函数单调性的知识形成；〔2〕利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可无视教师的主导作用．具体表达在设问、讲评和标准书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．三、教学过程教学环节教

学

过

程设计意图

问题情境〔播放中央电视台天气预报的音乐〕

如图为宿迁市2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

问题1

怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题2

怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3

在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？

连续提出三个相关联的问题，包括问题3这样让人警觉的反例，使学生在解决问题的过程中，形成对函数单调性的认识．从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好根底，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．定义形成通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性．师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如：区间内，任意，当<时，都有<．仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义．教师介绍单调性和单调区间的定义．函数单调性定义产生是本节课的难点，难在：如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言．通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义．这里表达以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．定义运用1、回到问题情境，提出问题：你能找出气温图中的单调区间吗？2、根据你列举的函数，运用函数单调性的定义，证明你判断的结论．〔1〕；〔2〕；〔3〕．运用实物投影，投影学生的证明，纠正出现的问题，标准证明的格式．请学生归纳运用定义法探求并证明函数单调性的步骤，投影演示：①取值；②作差变形；③定号；④判断．问题1利用函数的图象判断函数的单调性和单调区间，即图象法.问题2先从“形”上去判断单调区间和单调性，再回归定义去，从“数”的角度证明单调性，使学生认识到“形”可帮助我们探索解题思路，而定义是最终解决问题的根底．标准解题过程、总结解题步骤是知识和方法的提炼，也是对学生学习的指导.问题讨论问题

讨论函数的单调性．实际问题

在一碗水中，参加一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜．你能运用所学过的数学知识来解说这一现象吗？由图象探索函数的单调区间，再运用定义严密证明函数的单调性．“糖水问题”实际上是函数的一个实际