集合的基本关系 高中数学人教B版2019必修第一册教案

1.1.2集合的基本关系

课本从学生最为熟悉的班级所有同学组成的集合出发，引入集合间的关系，形成子集、真子集相等概

念表述.在学习此内容时要注意两点，一是学习时注意顺序性，按子集、真子集、集合相等顺序逐一探究、

尝试、发现、理解；二是把握维恩图的“出场”时机，体会其丰富的数学内涵。在没有谈及真子集前，用

维恩图表述是不完整的，还可能有相等，这里会引起纠缠不清的问题。

教学目标：

1.理解集合之间包含与相等的含义；

2.能识别给定集合的子集；

3.能判断给定集合间的关系.

核心素养：

1.数学抽象：依据具体实例从集合的元素的角度分析集合间的关系，抽象出子集、真子集等概念；

2.逻辑推理：通过子集、真子集的定义理解相关性质及集合相等概念；

3.直观想象：使用Venn图合理表达集合间的关系；

4.数学运算：给定集合子集个数运算及推广。

1.教学重点：理解集合间包含与相等的含义.

2.教学难点：包含关系的判断与证明.（空集与任意集合的关系）.

探究问题一如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S,而所有女同学组成的集合记为厂.

1.你觉得集合S和尸之间有怎样的关系？

2.你能从什么样的角度把他们的关系分析得更清楚？

3.刚入学你可能对我们班的全部同学还没有熟悉，是否考虑从简单的数学问题把类似关系说清楚呢？

给定两个集合A={1,3},B={1,3,5,6},它们之间有什么区别于联系呢？

(1)集合中的元素个数有差异;

(2)集合A={1,3}的元素都是集合8={1,3,5,6}的元素.

针对上述(2),我们可以举出很多相同类型的例子,也能判断探究问题中集合尸的任意一个元素都是集

合S的元素。

1.子集

一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合8的元素，那么集合4称为集合B的子集.

(1)记作4=8(或8卫力)；

(2)读作“A包含于8”(或“8包含4”)；

(3)4不是8的子集，记作A08(或BtJA).

尝试与发现

尝试(1)根据子集的定义判断，如果A={1,2,3},那么4=4吗？

根据子集的定义，壮,2,3}={1,2,3}；

发现(1)：非空集合都是它自身的子集，即AuA成立.

尝试(2)：。是。的子集吗？

根据子集的定义，。是0的子集.

发现(2)：0=0成立

尝试(3):你认为可以规定空集0是任意一个集合的子集吗？为什么？

因为空集不包含任何元素，不会出现“0内有元素不在集合A”的可能，

因此0=这里的A也可以是空集.

发现(3)：空集是任意一个集合A的子集.

体会这两个词出现在此处有没有意义：请君入瓮、孙猴子跳不出如来佛的手心.

探究问题二对于探究问题一中的集合S,F,如果S中有男同学，FaS还成立吗？

2.真子集

一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合8的

真子集，

（1）记作（或B_A）；

（2）读作“A真包含于6”（或“8真包含A"）.

尝试与发现

尝试⑴：分析集合4=｛1,2｝,8=｛1,2,3,4｝之间的关系。

发现⑴:A^B.

尝试（2）:0是任意任意一个集合的真子集吗？

发现（2）：0是任意任意一个非空集合的真子集.

尝试（3）:能否借助图形来形象地表示两个集合的真子集关系？

A=｛山东省2019级高一学生｝,8=｛中国2019级高一学生｝,

发现（3）如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可以作出示意图来形象地表示集

合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.

尝试（4）：对于集合4,B,C,如果A=B=C,那么A,C之间有什么关系？

发现（4）：对于集合4,B,C,如果A=BqC,则AqC.

尝试（5）：对于集合A,B,C,如果B*C,那么A,C之间有什么关系？如何用维恩图

来描述它们之间的关系？

发现（5）：对于集合A,B,C,如果B@C,则A^C.

尝试（6）：对于集合4,B,C,如果AqB,B^C,那么A,。之间有什么关系？

发现（6）：对于集合4,B,C,如果8呈C,则AgC.

例题讲解：

例1写出集合4={6,7,8}的所有子集和真子集.

分析：该集合有3个元素，可以考虑从元素个数的不同选取入手，形成不同的集合。罗列如下:

（1）元素个数为0,只有0;

（2）元素个数为1,有{6},{7},{8}；

（3）元素个数为2,有{6,7},{6,8},{7,8}；

（4）元素个数为3,有{6,7,8}.

解:集合4的所有子集为。,{6},⑺，{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8）.

集合A的所有真子集为0,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8}.

例2已知区间4=（-8,2],B=（-oo,a）,且求实数〃的取值范围.

解：用数轴表示他们之间关系如下，

从而可知。V2.

尝试与发现：

尝试（1）：若改为8*4,实数。的取值范围有变化吗？

发现：a<2.

尝试(2)：若改为A=实数a的取值范围是怎样的？

发现：a>2.

总结：从数轴角度研究定区间与动区间的关系时，要关注动区间的动端点的位置移动，这也是今后研

究二次函数在指定区间函数值的取值变化的基础。

探究问题三已知S={A-|(X+1)(X+2)=0},T={-1,-2),这两个集合的元素有什么关系？

显然5={-1,-2},这两个集合的元素完全相同。

3.集合的相等

一般地，如果集合4和集合8的元素完全相同，则称集合A与集合8相等.

(1)记作A=8;

(2)读作“A等于8”；

(3)4=5且8=A，则4=8;

(4)A=3,则A15且B=

例3写出下列每对集合之间的关系：

(1)A={123,4,5},8={1,3,5}；

(2)<7=卜上2=1},£>=何凶=1卜

(3)£=(-<»,3),F=(-l,2];

(4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形},

F={乂1是有一个内角为直角的平行四边形}.

解：(1)BgA；

(2)C={-1,1},D={-1,1}(C=D;

(3)在数轴上表述出两个区间，如图所示，FuE.

(4)从子集的定义考虑：

G^H,HqG,G=H.

思考1:(4)的解答为我们提供了证明集合相等的方法：

如果集合里的元素数的清，直接判断元素完全相同；

如果集合里的元素数不清，利用互为子集进行判断。

思考2:(4)的解答还为我们提供了子集含义的分类形式：真子集和相等.

例4.已知集合A={X[X=3，〃-1,AMCN},B={X|X=3，〃+2,〃?€N}.

(1)用列举法分别表示4,8;

⑵说明A,8之间的关系；

(3)若把meN改为meZ,判断A,8之间的关系.

解：⑴A={-1,2,5,8,...},B={2,5,8,...}.

(2)与B；

(3)/V={x|x=3//?-l,meZ},

因此A=3.

不难发现：

(1)针对meZ中的每一个取值，4,8中的元素“错落有致”，由于Z的无限遍取，才使得4=6；

(2)判断两个用描述法表示的集合间的关系时，可以通过适当的变化，使描述元素的式子出现明显的

关联特征。

尝试：集合4中有3个元素，其子集为8个，有没有一种合适的表达方式？

发现：集合A中有"个元素，其子集为2"个.

拓展：其真子集为2"-1个，其非空真子集为2"-2个.

1.用合适的符号填空：

(1)5_{5};(2){a,h,c}—{a,c};(3)Z_N；(4)Z_。；(5)Q_N；(6)R_Q.

2.写出集合{0,1,2,3}的所有子集.

3.已知集合A满足{1}屋4裂1,2,3,4},用列举法写出所有可能的A.

4.已知[-1,+8)卫自/,+8),求实数”的取值范围.

5.表示下面集合的关系：

⑴{1,2,3}—{3,2,1}；

⑵0{0};

⑶(T2]—(-1,2);

⑷{x|x<2}.

6.已知A={X|X=2〃,〃€N},8={x|x=4〃,〃wN},分别列出这两个集合中最小的3个元素，并

证明B^A.

证明：8={x|x=4〃,“eN},

对于任意的xeB,x=4〃=2x(2"),xeA,所以8cA.

而2eA,但2eB,

因此B^A.

1、子集、真子集概念；

2、数轴、Venn图的运用；

3、空集的定义和性质；

4、集合之间的基本关系的主要结论.

5.集合相等概念；

6.数轴、Venn图的运用；

7.集合关系的判断与证明；

8.当一个集合有n个元素的时候，其子集有2"个，真子集有2"-1个，非空真子集有2"-2个.

课堂作业：1TA3,4；1-1B4.

补充:已知集合A=[*=l},B={x\ax=\\,若求实数。的值.

1,若A={x|x=4Z+l,ZeZ},B={x\x=2k—\,keZ],则（）

A.AcBB.BQAC.A=8D.A&B

2.设集合4=5|1<》<2},8={x|x<a},若4=5,则”的取值范围是（）

A.{a\a>2}B.{a|«<l}C.{a|a>l}D.{a\a<2]

3.集合]1。/={0,。2,。+以，则,严明+所磔的值为（）

A.0B.1C.-1D.±1

4.已知集合M=+,N=-卜=,P={x|x=5