江苏省专转本高等数学第七章矢量与解析几何核心知识点例题讲解(含答案)

第七章矢量与空间解析几何本章主要知识点矢量运算平面直线方程主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。1．矢量的内积〔1〕，其中为的夹角〔2〕假设，且〔3〕(为非零矢量)例7.1．，求。解：。例7.2．如果，且，求。解：得：得：。2．矢量的叉积图示7.1如下图，如果不平行于，那么同时垂直与又垂直于，或者等价地，垂直于由确定的一平面。它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。图示7.1如果那么，利用第一行代数余子式展开计算。假设非零，例7.3．，求解：例7.4．如果，求解：，解得：。3．单位向量为矢量的方向上的单位矢量。4．矢量在上的投影二、平面方程1．平面方程的根本形式〔点法式〕平面过点，法矢量为那么平面方程为〔1〕点法式有两个根本要素：点和法向量。〔2〕如果一平面方程写为，那么。〔3〕两平面之间的位置矢量由各自的法向量来决定。〔4〕点到平面的距离例7.5．平面过三点,求平面方程。解：平面方程为例7.6．平面过点且平行与矢量，求平面方程。解：平面方程为。例7.7．平面过点且与平面平行，求平面的方程解：，平面方程为。三、直线方程直线过且方向矢量为，那么直线方程〔点斜式〕的根本形式为：直线点斜式两根本要素为及方向矢量。另外一种常见的直线方程可由两平面相交形式给出。例7.8．如果直线方程为，求直线的方向矢量的点斜式方程解：令，得，所以故，两平面的方向为，那么直线的点斜式为例7.9．求直线在平面的投影直线的方程。解：取直线，交线构成平面，那么，的法线故平面方程为，图示7.2即，。图示7.2故直线的方程为。例7.10．当为何值时，直线与直线平行？解：平面法矢量分别为：直线方向矢，直线方向矢，由得：那么，，，得：，，即，所以，，于是得到或。例7.11．平面通过直线，且与平面：垂直，求平面的方程。解：设平面方程为即：；由于即得：，即平面的方程为或注：此题解法中应用了平面束的概念。例7.12．平面通过点〔1,-1,2〕且直线落在其中，求平面方程。解：平面方程为：。例7.13．求异面直线之间的距离。解：，以为法矢量分别作包含的两平行平面，即，即两平面间的距离就是异面直线之间的距离。。四、常见曲面及方程方程名称母线平行轴，准线是面上曲线的柱面方程平面上曲线：绕轴旋转的旋转面方程。椭球面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面单元练习题7给为两个非零矢量，为非零常数，假设向量垂直于向量，那么等于〔〕A．B.C.D.2.设，用表示方向上单位向量，那么向量在上的投影为〔〕A．B.C.D.3.方程在空间直角坐标系下表示为：A．圆柱面B.点C.圆D.旋转抛物面4．在空间坐标系下，以下为平面方程的是：A.B.C.D.5．与平面垂直的直线方程为：A．B.C.D.6．直线与x轴平行，且与曲线相切，那么切点坐标是：A．〔1,1〕B．(-1,1)C．(0,-1)D．(0,1)7．点到平面的距离。8．过原点且与直线：垂直的平面方程为9．过点且平行向量的平面方程为。10．过点且平行于两个平面，的直线方程为。11．曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为。12．判断直线与平面的关系。13．向量求与同向的单位向量。14．求通过原点且垂直于直线：的平面方程。15.把方程化为标准式〔点斜式〕与参数形式。16．平面通过直线且与直线平行，求平面方程。17．求过点且与直线和平行的平面方程式。18．确定与的平行或垂直关系。19．确定与平面的平行或垂直关系。历年真考题1．〔2001〕方程在空间直角坐标系下表示〔〕A.圆柱面B.点C.圆D.旋转抛物面2．〔2002〕在空间坐标系下，以下为平面方程的是〔〕A.B.C.D.3．〔2003〕与平面垂直的直线方程为〔〕A.B.C.D.4．〔2004〕过点M(1,0,-2)且垂直于平面的直线方程为______.5．〔2005〕设向量假设与垂直，那么k=________.6．〔2005〕求过点且通过直线的平面方程。本章测试题1．过点与平面相平行的平面方程是。2．直线的标准式是。3．将曲线绕轴旋转所的旋转面方程是。4．下面哪条直线与平面平行〔〕Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.5．下面曲面中哪一个是旋转抛物面〔〕Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.6．一平面通过直线且垂直于平面,求平面的方程。7.求过点M(-3,2,5)且与两个平面：的交线平行的直线方程。单元练习题七答案1、B，2、B，3、A，4、D，5、D，6、C，7、，8、，9、，10、11、12、，平面法矢量，由于故：∥13.。与同向单位向量14．解：的方向矢量所求平面的法矢量：∥，可取：平面方程为：。15．取由解得：，故直线通过点标准式〔点斜式〕方程：参数形式方程为：16．解：设平