高考数学一轮复习第三章导数及其应用4导数的综合应用课件新人教A版22

3.4

导数的综合应用-2-考点1考点2考点3例1设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.思考如何求与函数极值有关的参数范围?-3-考点1考点2考点3-4-考点1考点2考点3(2)由题意知,f'(1)=0.又由(1)知,①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.-5-考点1考点2考点3解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知条件,在增加了条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否符合题意,符合题意的范围即为所求范围.-6-考点1考点2考点3对点训练1设函数f(x)=x2-2x+mlnx+1,其中m为常数.

(2)若函数f(x)有唯一极值点,求实数m的取值范围.-7-考点1考点2考点3-8-考点1考点2考点3-9-考点1考点2考点3综上,当m≤0时,函数f(x)有唯一极值点,即f(x)有唯一极值点,故实数m的取值范围为(-∞,0].-10-考点1考点2考点3例2已知函数f(x)=excosx,(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)≤ax+1恒成立,试求正实数a的取值范围.思考利用导数解决不等式恒成立问题的基本思路是什么?-11-考点1考点2考点3-12-考点1考点2考点3因为x0>0,所以g(x0)<g(0)=0,所以excos

x≤ax+1不恒成立.综上所述,正实数a的取值范围是[1,+∞).-13-考点1考点2考点3解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.-14-考点1考点2考点3对点训练2已知函数f(x)=ax-lnx.(1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标;(2)对∀x∈[1,+∞),不等式f(x)≥a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)设切点为M(x0,f(x0)),切线方程为y-f(x0)=k(x-x0),又切线过原点O,∴-ax0+ln

x0=-ax0+1,∴ln

x0=1,解得x0=e,∴切点的横坐标为e.-15-考点1考点2考点3(2)∵不等式ax-ln

x≥a(2x-x2)对∀x∈[1,+∞)恒成立,∴a(x2-x)≥ln

x对∀x∈[1,+∞)恒成立.设y1=a(x2-x),y2=ln

x,由于x∈[1,+∞),且当a≤0时,y1≤y2,故a>0.设g(x)=ax2-ax-ln

x,当0<a<1时,g(3)=6a-ln

3≥0不恒成立,当a≥1时,若x=1,g(x)≥0恒成立;-16-考点1考点2考点3(2)若f(x)在其定义域上恰有两个零点,求a的取值范围.思考如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?-17-考点1考点2考点3解:(1)由题意可知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax+ln

x.当x变化时,g'(x),g(x)随x的变化情况如下表:则f'(x)=g(x)≤g(e)=0.故f(x)在其定义域上单调递减.-18-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题),进而确定参数的取值范围.-20-考点1考点2考点3对点训练3已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.(1)解:f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f‘(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.故f(x)存在两个零点.-21-考点1考点2考点3③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)在区间(1,ln(-2a))内单调递减,在区间(ln(-2a),+∞)内单调递增.又当x≤1时f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).-22-考点1考点2考点3(2)证明:不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.设g(x)