高中数学-平面向量

第一部分：平面对量的概念及线性运算

一.基础学问自主学习

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有_____又有_____的量；向量的大小叫做向量

向量平面对量是自由向量

的_____（或称—）

零向量长度为—的向量；其方向是随意的记作0

长度等于________的

单位向量非零向量a的单位向量为啮

向量

平行向量方向____或____的非零向量

0与任一向量—或共线

共线向量_______________的非零向量又叫做共线向量

两向量只有相等或不等，不能比

相等向量长度—且方向—的向量

较大小

相反向量长度____且方向____的向量0的相反向量为0

向量的线性运算

法则（或几何

向量运算定义运算律

意义）

%，

a(1)交换律：

________法则a+b=b+a.

加法求两个向量和的运算

(2)结合律：

(a+b)+c=a+S+c).

a

_____________法则

求a与b的相反向量一5

减法的和的运算叫做。与》a-b=a+(­b)

的差

_—法则

（l）|za|=|2||a|.

求实数％与向量a的积的（2）当义>0时，儿的方向与a的方向____；

数乘(z+/z)a=Aa+/za；

运算当2<0时，〃的方向与a的方向____；当z

“〃+方)=2。+7瓦

=0时，相=0.

3.共线向量定理

向量。（。却）与b共线的条件是存在唯一一个实数，，使得b=Aa.

二.难点正本疑点清源

1.向量的两要素

向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线

段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说,

即向量不能比较大小.

2.向量平行与直线平行的区分

向量平行包括向量共线（或重合）的状况，而直线平行不包括共线的状况.因而要利用向量平行证明向量所在直线

平行，必需说明这两条直线不重合.

三.基础自测

1.化简法一防+法一论的结果等于

2.下列命题：①平行向量肯定相等；②不相等的向量肯定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量;

④相等向量肯定共线.其中不正确命题的序号是.

在△ABC中，AB=c,AC=4若点。满意BD=2QC,则AD=.(用b、c表示).

如图，向量。一。等于(

A.-4。1一2e2B.一2。1—4。2

C.纵一3。2D.3e1一g2

已知向量0,b,且43=a+2b,5C=-54+64CD=7a-2b,则肯定共线的三点是

A.A、B、DB.A、B、C

C.B、C、DD.A、C、D

四.题型分类深度剖析

题型一平面对量的有关概念

例1给出下列命题：

①若同=步|,则。=加②若A,B,C,。是不共线的四点，则AB=OC是四边形ABC。为平行四边形的充要条件；③

若。=4b=c,则。=<?；④a=b的充要条件是|。|=|臼且a〃儿⑤若“〃b,b//c,则。〃c.其中正确的序号是.

变式训练1推断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.

(1)若向量a与6同向，且同=步|,则a>b；

(2)若同=叫，则。与，的长度相等且方向相同或相反：

(3)若|a|=|例，且。与b方向相同，则a=b；

(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与随意向量平行；

(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反;

(6)若向量4B与向量C。是共线向量，则A,B,C,。四点在一条直线上;

(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

(8)任一向量与它的相反向量不相等

题型二平面对量的线性运算

—►—►—►1—>—>1—►—►—►—>

例2如图，以向量。4=a,OB=b为边作BM=qBC,CN=]CD,用纵b表示OM、ON、MN.

变式训练2△ABC中，AO=gAB,DE〃BC交AC于E,BC边上的中线AM交。E于N.设AB=a,AC=h,用“、b

表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.

题型三平面对量的共线问题

例3设ei，e2是两个不共线向量，已知蔑=2eI-8ez，CB=el+3e2,CD=2ex-e2.

（1）求证：A、B、。三点共线；

—►

（2）若BF=3ei-h2,且8、D、尸三点共线，求"的值.

变式训练3设两个非零向量。与h不共线，

—>—>—>

（1）若48=〃+。，BC=2a+8btCD=3（a~b）.求证：A、B、。三点共线;

（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.

五.思想与方法

5.用方程思想解决平面对量的线性运算问题

-----►1>----►11>>>

试题：如图所示，在△AB。中，OC=wOA，OD=^OB,A。与8c相交于点设OA=a,试用。和b

表示向量。M.

六.思想方法感悟提高

方法与技巧

1.将向量用其它向量（特殊是基向量）线性表示，是非常重要的技能，也是向量坐标形式的基础.

->->->->

2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如AB〃CD且AB与C。不共线，则48〃CO；若AB〃BC,则4、

B、C三点共线.

失误与防范

1.解决向量的概念问题要留意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量

是否也满意条件.要特殊留意零向量的特殊性.

2.在利用向量减法时，易弄错两向量的依次，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.

七.课后练习

1.给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③心=0（/1为实数），则2必为零；

@L"为实数，若ia=〃b,贝ija与b共线.

其中错误命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.若4、B、C、。是平面内随意四点，给出下列式子：AB+cb=BC+DA；②然+曲前+而：③於一

玩）=虎+筋.其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.已知。、A、B是平面上的三个点，直线A8上有一点C,满意2而+而=0,则方等于（）

A.20A-ohB.-OA+2加

2—k1—>D.-gOA+|o^

C.—OA—^013

33

4.如图所示，在AABC中，丽=界,硅=3曲,若而=a,AC=b,则防等于(

1111

^B+^

4

a3a

A.C311211

^D+

43-

2a3a

5.在四边形A8CD中，AB=a+2b,BC=-4a-b,C&=-5a-3b,则四边形ABC。的形态是()

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

6.|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是.

7.给出下列命题：

①向量而的长度与向量成的长度与向量成的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，肯定是共线向量；

⑤向量而与向量劭与向量仍是共线向量，则点A、B、C、。必在同一条直线上.

其中不正确的个数为.

8.如图，在△ABC中，点。是BC的中点.过点。的直线分别交直线AB、AC于不同的两点"、M若而

AC=桢A，则m+n的值为.

9.设a与b是两个不共线向量，且向量a+2b与一(b—2a)共线，则2=.

10.在正六边形4BCOEF中，AB=a,#=b,求元，而，电

11.如图所示，ZVIBC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP：PM

的值.

12.已知点G是△AB。的重心，M是AB边的中点.

(1)求而+G^+Gb；

A

(2)若PQ过△AB。的重心G且4。=a,仍=b,Op—ma,O^=nb,求证：~+~=3.

其次部分：平面对量的基本定理及坐标表示

一.基础学问自主学习

1.两个向量的夹角

定义范围

已知两个_________向量a,b,作晶=a,OB=b,则NAOB

=9叫做向量a与b的夹角(如图)向量夹角0的范围是_____________,

/当0=_________________时,两向量共线，

当。=_______时，两向量垂直，记作

2.平面对量基本定理及坐标表示

(1)平面对量基本定理

假如ei，62是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的随意向量“，一对实数九，22，

使〃=.其中，不共线的向量6，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组.

(2)平面对量的正交分解及坐标表示

把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解.

(3)平面对量的坐标表示

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,，作为基底，对于平面内的一个向量”,

由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使。=刀+山，这样，平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,

把有序数对叫做向量a的坐标，记作a=,其中—叫做。在x轴上的坐标，一叫做。在y轴上的坐标.

-►>>

②设。4=刀+力，则向量QA的坐标(x,)，)就是的坐标，即若QA=(心)，)，则A点坐标为,反之亦成

立.(。是坐标原点)

3.平面对量坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设。=(孙yi),b=(%2,>2)，则

a+b=,a—b=,

2Q=f.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设Agyi),Bg竺)，则AB=，\AB\=.

4.平面对量共线的坐标表不：设。=(项，力)，b=(x2f>2)，其中厚O.a〃枚.

二.难点正本疑点清源

1.基底的不唯一性

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内随意向量。都可被这个平面的

一组基底e”e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.

2.向量坐标与点的坐标的区分

在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量QA=a,点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐

标统一为(丈，y),但应留意其表示形式的区分，如点A(x,y),向量a=OA=(x,y).

—>—►—>—>—>

当平面对量。4平行移动到Oi4时，向量不变即OIAI=OA=(X,y),但Oi4的起点Oi和终点4的坐标都发生了改

变.

三.基础自测

1.已知向量。=(2,—1),6=(—1,机)，c=(—1,2),若(a+力〃c,则m=.

2.已知向量。=(1,2),b=(—3,2),若ka+Z>与b平行，则A=.

3.设向量a=(l,-3),fe=(-2,4),c=(-l,-2).若表示向量4a、4b—2c、2(")、d的有向线段首尾相接能构

成四边形，则向量〃=.

4.己知四边形ABC。的三个顶点A(0,2),B(T,-2),C(3,l),且晶=2石，则顶点。的坐标为

)

B(2,-9

C.(3,2)D.(1,3)

5.已知平面对量a=(x,l),b=(-x,x2),则向量a+6()

A.平行于y轴B.平行于第一、三象限的角平分线

C.平行于x轴D.平行于其次、四象限的角平分线

四.题型分类深度剖析

题型一平面对量基本定理的应用

例1如图，在平行四边形A8c。中，M,N分别为DC,BC的中点，已知后=c,AN=d,试用c,“表示藕，AD.

DMC

—►—>—►—►

变式训练1如图，P是AABC内一点，且满意条件4P+2BP+3cp=0,设Q为CP的延长线与AB的交点，令CP=p,

试用p表示CQ.

题型二向量坐标的基本运算

">-----►----->"■',>1'>

例2已知A(—2,4),8(3,-1),C(-3,-4).]&AB=afBC=b,C4=c,且CM=3c,CN=-2b,

⑴求3。+/?—3c；(2)求满意〃=成?十"c的实数团，〃；⑶求M、N的坐标及向量MN的坐标.

~¥I~>

变式训练2(1)已知点A、B、C的坐标分别为A(2,-4)、8(0,6)、C(-8,10),求向量A8+2BC-]AC的坐标;

(2)已知”=(2,1),6=(—3,4),求：①3a+4%；②。-3岳@^a~^b.

题型三平行向量的坐标运算

例3平面内给定三个向量r=(3,2),6=(—1,2),c=(4,l),请解答下列问题:

(1)求满意“=，加+”c的实数机，〃；(2)若(a+fa;)〃(2b—0),求实数％；

(3)若d满意(4—c)〃伍+与，且口一。|=小，求d.

变式训练3己知。=(1,0),6=(2,1).

(1)求|a+3b|；(2)当上为何实数时，如一6与a+38平行，平行时它们是同向还是反向？

五.易错警示

8.忽视平行四边形的多样性致误

试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求第四个顶点的坐标.

六.思想方法感悟提高

方法与技巧

1.平面对量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.

2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转

化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的很多相关问题.

3.在向量的运算中要留意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.

失误与防范

1.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大

小的信息.

2,若4=(X1,yi),b=(x,yi)>则”〃b的充要条件不能表示成因为念，丫2有可能等于0，所以应表示为制”

2人2y2

一12丫1=0.同时，的充要条件也不能错记为国也一yiy2=0，2y2=0等.

七.课后练习

1.已知向量a=(l,—2),b=(l机)，若2〃1),则实数机的值为()

A.3B.-3C.2D.-2

2.已知平面对量a=(l,2),b=(—2,团)，且2〃匕则2a+3b等于()

A.(—2,—4)B.(一3,—6)

C.(—4,—8)D.(—5,—10)

3.设向量a=(3,小),b为单位向量，且2〃1>,则b等于()

4.已知向量a=(l,—m),b=("落m),则向量a+b所在的直线可能为()

A.x轴B.第一、三象限的角平分线

C.y轴D.其次、四象限的角平分线

5.已知A(7』)、B(l,4),直线y=与线段AB交于C,且元=2仍，则实数。等于()

45

A.2B.1C.5D.q

6.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,力(a厚0)共线，则：+/勺值等于.

7.己知向量a=(l,2),b=(x,l),〃=a+2b,v=2a-b,且"〃办则实数x的值为.

8.若向量。=(》+3,/一3》一4)与而相等，其中A(l,2),B(3,2),贝ijx=.

9.若平面对量a,b满意|a+b|=l,a+b平行于y轴，a=(2,—1),则b=.

10.a=(l,2),b=(—3,2),当k为何值时，ka+b与a—3b平行？平行时它们是同向还是反向？

11.三角形的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量m=(3c-b,a-b),n=(3a+3O,c),m〃n.

(1)求cos4的值；(2)求sin(4+30。)的值.

12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知向量m=(a,b),向量n=(cosA,cosB),

向量p=(2啦sin2sinA),若m〃n,p2=9,求证：△ABC为等边三角形.

第三部分：平面对量的数量积

一.基础学问自主学习

1.平面对量的数量积

已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0,则数量______叫做a和b的数量积(或内积),记作.

规定：零向量与任一向量的数量积为___.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是.

2.平面对量数量积的几何意义

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积.

3.平面对量数量积的重要性质

(l)ea=ae=；

(2)非零向量a,b,a±b<=>；

(3)当a与b同向时，ab=；

当a与b反向时，ab=,aa=a2,间=3石；

a-b

(4)cos0=^i；

(5)|a-b|—|a||b|.

4.平面对量数量积满意的运算律

(1)。为=(交换律)；

(2)(痴)乃==(A为实数)；

(3)(a+b)-c=.

5.平面对量数量积有关性质的坐标表示

设向量。=(制，yD，b=(X2,丫2)，则。乃=,由此得到

(1)若a=(x,y),则|“F=或同=.

(2)设A(孙力)及2»2),则A、B两点间的距离H切=网=一

(3)设两个非零向量mb,a=(xi，yi),b=(M，J2)»则。_Lb<=l

二.难点正本疑点清源

1.向量的数量积是一个实数

两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积

解题时，肯定要留意两向量夹角的范围.

2.数量积的运算只适合交换律、加乘安排律及数乘结合律，但不满意向量间的结合律，即(a-b)c不肯定等于a(b・c).这

是由于(a-b)c表示一个与c共线的向量，而a(b©表示一'个与a共线的向量，而c与a不肯定共线.

三.基础自测

1.已知向量a和向量b的夹角为30。，|a|=2,也|=小，则向量a和向量b的数量积a-b=.

2.在△ABC中，A8=3,AC=2,BC=VWABAC=.

3.己知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为.

4.己知|a|=6,|b|=3,a-b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()

A.-4B.4C.-2D.2

5.己知向量a=(l,-1),b=(l,2),向量c满意(c+b)_La,(c-a)〃b,则c等于()

A.(2,1)B.(1,0)

C.(|,D.(0,-1)

四.题型分类深度剖析

题型一求两向量的数量积

例1(1)在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,求A3-3C：

(2)若a=(3,—4),b=(2,l),试求(a—2b>(2a+3b).

变式训练1(1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|=|b|=l,则(-3a>(a+b)=.

(2)如图，在△ABC中，AOJ_A8,BC=^3BD,\AD\=\,则而1.诟等于()

A.25B.W

题型二求向量的模

例2已知向量a与b的夹角为120。，且间=4,|b|=2,求：(l)|a+b|；(2)|3a-4b|；(3)(a-2b)(a+b).

71

变式训练2设向量a,b满意|a-b|=2,|a|=2,且a—b与a的夹角为丞则|b|=.

题型三利用向量的数量积解决夹角问题

例3己知a与b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.

变式训练3设n和m是两个单位向量，其夹角是60。，求向量a=2m+n与b=2n—3m的夹角.

题型四平面对量的垂直问题

例4已知a=(cosa,sina),b=(cosfi,sin^)(0<a</(<7t).

(1)求证：a+b与a-b相互垂直；

(2)若《a+b与a-kb的模相等，求夕一a.(其中k为非零实数)

变式训练4已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，OA=(—2,m),OC=(5,—1),且0A_L08,

求实数“的值.

五.答题规范

5.思维要严谨，解答要规范

试题：设两向量ei、e2满意同=2,同=1,ei、e2的夹角为60。，若向量2re1+7e2与向量ei+修的夹角为钝角,

求实数r的取值范围.

六.思想方法感悟提高

方法与技巧

1.向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似.如(a+b)2=a2+2a・b+b2；

(2a+/7b)-(5a+Zb)=Z?a2+(A/+/z5)ab+/z/b2(z»4,s,/£R).

2.求向量模的常用方法：利用公式|aF=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算.

3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧.

失误与防范

1.(1)0与实数0的区分:0a=0翔，a+(-a)=0和，a-0=0#)；

(2)0的方向是随意的，并非没有方向，。与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系.

2.a-b=0不能推出a=0或b=0,因为a-b=0时，有可能a_Lb.

3.一般地，(a-b)"(b-c)a即乘法的结合律不成立.因a-b是一个数量，所以(a.b)c表示一个与c共线的向量，同理右

边(b-c)a裘示一个与a共线的向量，而a与c不肯定共线，故一般状况下(a-b)c，(b-c)a.

4.a-b=a-c(a知)不能推出b=c.即消去律不成立.

5.向量夹角的概念要领悟，比如正三角形ABC中，〈A8,BC〉应为120。，而不是60。.

七.课后练习

1.设向量a=(l,0),人=(；,则下列结论中正确的是()

A.\a\=\b\B.坐

C.a//bD.Q—b与〃垂直

2.若向量*=(2,5),c=(3,x),满意条件(8。一切・c=30,则x等于()

A.6B.5C.4D.3

3.己知向量〃，b的夹角为60。，且⑷=2,步|=1,则向量〃与。+26的夹角等于()

A.150°B.90°C.60°D.30°

4.平行四边形A8CO中，AC为一条对角线，若而=(2,4),/=(1,3),则等于()

A.6B.8C.-8D.-6

TT

5.若白、及是央角为1的单位向量，且向量a=2ei+e2，向量b=-34+2及，则。”等于()

77

A.1B.—4C.-2D，2

6.若向量。，，满意同=1,由=2且a与6的夹角为申则|a+b|=.

7.己知向量。，力满意|。|=3,\b\=2f。与6的夹角为60。，则。为=,若(〃一机〃)_!_〃，则实数加=.

8.设〃、b、c是单位向量，且〃+b=c,则〃的值为.

9.(O是平面a上一点，A、B、C是平面a上不共线的三点.平面a内的动点P满意加=砺+〃砺+褥，

若4=；时，PA《P8+PC)的值为.

10.不共线向量”，。的夹角为小于120。的角，且|a|=l,|*|=2,已知向量c=a+2b,求|c|的取值范围.

11.已知平面对量a=(l,x),6=(2x+3,-x),xCR.

(1)若a上b,求x的值；(2)若a〃b,求|a一夙

12.向量。=(cos230,cos67°),向量匕=(cos680,cos22°).

(1)求〃乃；(2)若向量b与向量共线,u=a+mf求〃的模的最小值.

第四部分：平面对量应用举例

基础学问自主学习

1.向量在平面几何中的应用

平面对量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面儿何中的平行、垂直、平移、全等、相

像、长度、夹角等问题.

(1)证明线段平行或点共线问题，包括相像问题，常用共线向量定理：a〃b3».

(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a±b^>於______________.

(3)求夹角问题，利用夹角公式cos6=需=-;衅誓售工(。为a与b的夹角).

2.平面对量在物理中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是,它们的分解与合成与向量的相像，可以用向量的学问

来解决.

(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积.即W=Fs=|F||s|cos。(。为F与s的夹角).

3.平面对量与其他数学学问的交汇

平面对量作为一种运算工具，常常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等学问结合，当平面对量给出的

形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函

数、不等式、三角函数、数列的综合问题.

此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面对量平行或垂直的充要条件；二

是利用向量数量积的公式和性质.

二.难点正本疑点清源

1.向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物.在利用向量解决问题时，要留意数

与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.

2.要留意变换思维方式，能从不同角度看问题，要擅长应用向量的有关性质解题.

三.基础自测

1.在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边4B〃OC,4。〃8c.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6).

则D点的坐标为.

2.己知平面对量a、|a|=l,网=2,a±(a-2^,则|2a+川的值是.

3.平面上有三个点A(-2,y),B(0,£),C(x,y),若AB,则动点C的轨迹方程为

4.已知A、8是以C为圆心，半径为小的圆上两点，且|AB尸小，AC-C3等于()

A.—1B微C.0D--^-

5.某人先位移向量a：“向东走3km”，接着再位移向量b："向北走3km”，则a+b表示()

A.向东南走3&kmB.向东北走入尼km

C.向东南走3。kmD.向东北走3，5km

四.题型分类深度剖析

题型一向量在平面几何中的应用

例1如图，在等腰直角三角形A8C中，ZACB=90°,CA=CB,。为BC的中点，E是A8上的一点，且AE=2EB.

求证：ADLCE.

变式训练1在平面直角坐标系xOy中，已知点4(—1,—2),B(2,3),C(~2,—1).

(1)求以线段A8、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满意(藕-r辰>郎?=0,求t的值.

题型二平面对量在解析几何中的应用

―►3-

例2已知点P(0,-3),点A在x轴上，点/满意P4*AM=0,AM=当点A在x轴上移动时，求动点M

的轨迹方程.

22

变式训练2已知圆C：(x-3)+(>3)=4及点4(1,1),/是圆上的随意一点，点N在线段MA的延长线上,

--►

且MA=2AM求点N的轨迹方程.

题型三平面对量与三角函数

例3已知向量。=(sinx,cosx),Z?=(sinx,sinx),c=(—1,0).

jr

(1)若求向量〃与C的夹角；

(2)若力，求函数yu)=08的最值；

(3)函数式x)的图象可以由函数)，=乎sin2x(xeR)的图象经过怎样的变换得到？

变式训练3已知A(3,0),8(0,3),C(cosa,sina).

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(1)若4c-8C=-1,求的值；(2)若|QA+OC|=4B,且a『0,浦，求。B与。。的夹角.

五.易错警示

9.忽视对直角位置的探讨致误

试题：已知平面上三点A、B、C,向量60=(2—幺3),AC=(2,4).

(1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满意的条件；