洪都中学麻丘中学联考高二数学上学期期末试卷 理（含解析）-人教版高二数学试题

-学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数2．已知定义在复数集C上的函数f（x）满足，则f（f（1+i））=（）A．2 B．0 C．3 D．2﹣2i3．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．94．下列正确的是（）A．如果两个复数的积是实数，那么这两个复数互为共轭复数B．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则可得到a10+b10=122D．在复平面中复数z满足|z|=2的点的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆5．王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“不便宜”是“好货”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．12月26号南昌地铁一号线正式运营，从此开创了南昌地铁新时代，南昌人民有了自己开往春天的地铁．设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t分钟后的距离为s=t4﹣4t3+16t2，则列车瞬时速度为零的时刻是（）A．4分末 B．8分末C．0分与8分末 D．0分，4分，8分末7．函数的图象如图所示，则导函数的图象大致是（）A． B． C． D．8．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点9．如图，直线y=2x与抛物线y=3﹣x2所围成的阴影部分的面积是（）A． B． C． D．10．已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤e B．0＜a≤e C．a≥e D．0＜a＜11．已知椭圆C：+y2=1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2=|PF1|•|PF2|（其中O为坐标原点），则称点P为“闪光点”．下列结论正确的是（）A．椭圆C上的所有点都是“闪光点”B．椭圆C上仅有有限个点是“闪光点”C．椭圆C上的所有点都不是“闪光点”D．椭圆C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“闪光点”12．随着学习的深入我们发现很多对事物的看法已经颠覆了我们传统的认识，例如直线与曲线有且只有一个交点并不能说直线是曲线的切线，曲线的切线与曲线的切点也不一定只有一个．若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|，③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．=．14．函数y=f（x），定义域为（，3），其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为．15．曲线y=x2与y=围成的图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积是．16．在抛物线y2=2px（p＞0）中有如下结论：过焦点F的动直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，则+=f（x）为定值，请把此结论类比到椭圆中有：；当椭圆方程为+=1时，+=．三、解答题（本大题共6小题，共70分．写出必要的解答过程）17．已知F（x）=（3t2+2at+b）dt，若函数F（x）在x=0，x=2处取得极值，（1）求a，b的值．（2）若x∈[0，1]，F（x）+c≤c2﹣2恒成立时求实数c的取值范围．18．在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点A，B，过这两点引一条割线，抛物线在点Q平行于该割线的一条切线同时与圆5x2+5y2=36相切（1）求切点Q的横坐标（2）求切线和坐标轴所围三角形面积．19．命题p：函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，命题q：复数z=（m2+m+1）+（m2﹣3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象限，如果命题“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和椭圆的右焦点重合，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于A，B，交抛物线于C，D，求△OAB和△OCD面积之比（O为坐标原点）21．已知a∈R，函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）当x∈（0，+∞）时，不等式ex≥x2﹣2ax+1恒成立，求a的范围．22．已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R）（1）求f（x）的单调区间和极值点；（2）若f（x）≤0对定义域所有x恒成立，求k的取值范围；（3）n≥2，n∈N时证明+++…+≤．

-学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每题只有一个正确答案）1．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．故选：D．2．已知定义在复数集C上的函数f（x）满足，则f（f（1+i））=（）A．2 B．0 C．3 D．2﹣2i【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法；复数的基本概念．【分析】此题考查分段函数和复数的简单计算，由内而外计算，注意计算时选择哪个函数式【解答】解：根据题意，f（f（1+i））=f（（1﹣i）（1+i））=f（2）=3，故选C．3．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．【解答】解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b，又因为在x=1处有极值，∴a+b=6，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值等于9．故选：D．4．下列正确的是（）A．如果两个复数的积是实数，那么这两个复数互为共轭复数B．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则可得到a10+b10=122D．在复平面中复数z满足|z|=2的点的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A根据共轭复数的定义进行判断即可；B反证法要假设结论的反面成立；C根据条件可得1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=18，…可得a10+b10=123．D显然成立．【解答】解：A如果两个复数的积是实数，那么这两个复数不一定互为共轭复数，比如2×3，故错误；B用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根，故错误；C观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…则可得到a10+b10=123，故错误；D根据复平面的定义，显然正确．故选：D．5．王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“不便宜”是“好货”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．【解答】解：“好货”一定不便宜，反之“真是便宜没好货”，因此“不便宜”是“好货”的必要不充分条件．故选：B．6．12月26号南昌地铁一号线正式运营，从此开创了南昌地铁新时代，南昌人民有了自己开往春天的地铁．设地铁在某段时间内进行调试，由始点起经过t分钟后的距离为s=t4﹣4t3+16t2，则列车瞬时速度为零的时刻是（）A．4分末 B．8分末C．0分与8分末 D．0分，4分，8分末【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求导，利用导数等于零，即可求出列车瞬时速度为零的时刻．【解答】解：s=t4﹣4t3+16t2，∴s′=t3﹣12t2+32t，∴s′=t3﹣12t2+32t=0，即t（t﹣4）（t﹣8）=0，解得t=0，t=4，t=8，故选：D．7．函数的图象如图所示，则导函数的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】结合图象得到f（x）的单调性，从而求出导函数的大致图象．【解答】解：由图象得：f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递减，故x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，故选：D．8．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象与图象变化．【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．9．如图，直线y=2x与抛物线y=3﹣x2所围成的阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】联解方程组，得直线与抛物线交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2），因此求出函数3﹣x2﹣2x在区间[﹣3，1]上的定积分值，就等于所求阴影部分的面积，接下来利用积分计算公式和法则进行运算，即可得到本题的答案．【解答】解：由，解得或∴直线y=2x与抛物线y=3﹣x2交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2）∴两图象围成的阴影部分的面积为=（3×1﹣×13﹣12）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）3﹣（﹣3）2]=，故选：D10．已知函数f（x）=在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤e B．0＜a≤e C．a≥e D．0＜a＜【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导，由函数f（x）在[1，+∞]上为减函数，转化为f′（x）≤0在[1，+∞]上恒成立问题求解．【解答】解：f′（x）=，由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即1﹣lna﹣lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，∴lnx≥ln恒成立，∴ln≤0，即≤1，∴a≥e故选：C．11．已知椭圆C：+y2=1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2=|PF1|•|PF2|（其中O为坐标原点），则称点P为“闪光点”．下列结论正确的是（）A．椭圆C上的所有点都是“闪光点”B．椭圆C上仅有有限个点是“闪光点”C．椭圆C上的所有点都不是“闪光点”D．椭圆C上有无穷多个点（但不是所有的点）是“闪光点”【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆上的点P（x0，y0），通过焦半径公式，利用|PO|2=|PF1|•|PF2|，求出x0，得到结果．【解答】解：设椭圆上的点P（x0，y0），|PF1|=2﹣ex0，|PF2|=2+ex0，因为|PO|2=|PF1|•|PF2|，则有，解得，因此满足条件的有四个点，故选：B．12．随着学习的深入我们发现很多对事物的看法已经颠覆了我们传统的认识，例如直线与曲线有且只有一个交点并不能说直线是曲线的切线，曲线的切线与曲线的切点也不一定只有一个．若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|，③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线；③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，此函数有自公切线；④结合图象可得，此曲线没有自公切线．【解答】解：①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2﹣|x|=，在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线；③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线；④由于|x|+1=，即x2+2|x|+y2﹣3=0，图象如右，结合图象可得，此曲线没有自公切线．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．=5﹣e2．【考点】定积分．【分析】根据定积分的定义，分别找出一次函数2x和指数ex的原函数然后代入计算即可．【解答】解：=∫022xdx﹣∫02exdx=x2|02﹣ex|02=4﹣（e2﹣1）=5﹣e2，故答案为5﹣e2．14．函数y=f（x），定义域为（，3），其图象如图所示，记y=f（x）的导函数为y=f′（x），则不等式f′（x）≤0的解集为[﹣，1]∪[2，3）．【考点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法．【分析】利用导数的符号和单调性之间的关系，确定不等式的解集，f′（x）≤0对应f（x）的图象中，函数为单调递减部分．【解答】解：∵f′（x）≤0，∴对应函数f（x）的单调递减区间，由函数f（x）图象可知，当﹣≤x≤1和2≤x＜3时，函数单调递减，∴不等式f′（x）≤0的解集为[﹣，1]∪[2，3）．故答案为：[﹣，1]∪[2，3）．15．曲线y=x2与y=围成的图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积是．【考点】用定积分求简单几何体的体积．【分析】欲求曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，可利用定积分计算，即求出被积函数y=π（x﹣x4）在0→1上的积分即可．【解答】解：设旋转体的体积为V，则，V==故旋转体的体积为：．16．在抛物线y2=2px（p＞0）中有如下结论：过焦点F的动直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，则+=f（x）为定值，请把此结论类比到椭圆中有：过椭圆的焦点F的直线交椭圆于A，B则+=为定值；当椭圆方程为+=1时，+=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由类比推理，来得到关于椭圆的类似结论，易知在椭圆中有“+=”求解即可．【解答】解：过焦点F的动直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A、B两点，则+=，类比到椭圆中有：过椭圆的焦点F的直线交椭圆于A，B则+=为定值，当椭圆方程+=1时，+=．故答案为：过椭圆的焦点F的直线交椭圆于A，B则+=为定值；．三、解答题（本大题共6小题，共70分．写出必要的解答过程）17．已知F（x）=（3t2+2at+b）dt，若函数F（x）在x=0，x=2处取得极值，（1）求a，b的值．（2）若x∈[0，1]，F（x）+c≤c2﹣2恒成立时求实数c的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；定积分；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，得到0，2是方程3x2+2ax+b=0的根，代入方程解出a，b的值即可；（2）求出F（x）在[0，1]的最小值，问题转化为F（1）+c≤c2﹣2，解出即可．【解答】解：（1）F（x）=（3t2+2at+b）dt=x3+ax2+bx+c，F′（x）=3x2+2ax+b，函数F（x）在x=0，x=2处取得极值，∴0，2是方程3x2+2ax+b=0的根，把x=0，2代入得：，解得a=﹣3，b=0；（2）由（1）得F（x）=x3﹣3x2+c，F′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令F′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴函数F（x）在[0，1]递减，∴F（x）min=F（1）=c﹣2，若x∈[0，1]，F（x）+c≤c2﹣2恒成立，∴c﹣2+c≤c2﹣2，∴c2﹣2c≥0，解得c≤0或c≥2．18．在抛物线y=x2+ax﹣5（a≠0）上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点A，B，过这两点引一条割线，抛物线在点Q平行于该割线的一条切线同时与圆5x2+5y2=36相切（1）求切点Q的横坐标（2）求切线和坐标轴所围三角形面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；（2）利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，可得切线方程，即可求切线和坐标轴所围三角形面积．【解答】解：（1）两点坐标为（﹣4，11﹣4a）；（2，2a﹣1）两点连线的斜率k=a﹣2，对于y=x2+ax﹣5，y′=2x+a∴2x+a=a﹣2，解得x=﹣1，∴切点Q的横坐标为﹣1；（2）在抛物线上的切点为（﹣1，﹣a﹣4）切线方程为（a﹣2）x﹣y﹣6=0直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即=解得a=4或0（0舍去）所以切线方程为2x﹣y﹣6=0与坐标轴的交点坐标为（0，﹣6）（3，0）∴所围三角形面积为=9．19．命题p：函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，命题q：复数z=（m2+m+1）+（m2﹣3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象限，如果命题“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】根据函数的单调性判断出p为真时m的范围，根据复数的意义判断出q为真时m的范围，取交集即可．【解答】解：p：∵函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，∴f′（x）=x2﹣（8m﹣2）x+15m2﹣2m﹣7≥0恒成立，∴△=（8m﹣2）2﹣4（15m2﹣2m﹣7）≤0，解得：2≤m≤4∴p为真时：2≤m≤4；q：复数z=（m2+m+1）+（m2﹣3m）i，m∈R表示的点位于复平面第四象限，∴，解得：0＜m＜3，∴q为真时：0＜m＜3，∴P真q真时：，∴2≤m＜3．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点和椭圆的右焦点重合，过右焦点作斜率为1的直线交椭圆于A，B，交抛物线于C，D，求△OAB和△OCD面积之比（O为坐标原点）【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆离心率、焦距及a，b，c间的相互关系列出方程组，由此能求出椭圆方程．（2）过右焦点作斜率为1的直线为y=x﹣1，与椭圆联立，得3x2﹣4x=0，分别求出|AB|和|CD|，由此能求出△OAB和△OCD面积之比．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率，∴依题意，，把代入，解得，b=1，∴椭圆方程为…（2）（2）∵椭圆的右焦点F（1，0），∴过右焦点作斜率为1的直线为y=x﹣1，联立，得3x2﹣4x=0，|AB|==，|CD|===8，∴△OAB和△OCD面积之比==．…21．已知a∈R，函数．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）当x∈（0，+∞）时，不等式ex≥x2﹣2ax+1恒成立，求a的范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用导数求