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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则的值等于()A. B. C. D.2.在三棱锥中,,,P在底面ABC内的射影D位于直线AC上,且,.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上,则球Q的半径为()A. B. C. D.3.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,24.盒中有6个小球,其中4个白球,2个黑球,从中任取个球,在取出的球中,黑球放回,白球则涂黑后放回,此时盒中黑球的个数,则()A., B.,C., D.,5.若,,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.6.中,,为的中点,,,则()A. B. C. D.27.已知满足,则()A. B. C. D.8.已知实数,则下列说法正确的是()A. B.C. D.9.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()A. B. C. D.10.的展开式中的系数为()A.-30 B.-40 C.40 D.5011.函数的图象为C,以下结论中正确的是()①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③12.函数的定义域为,集合,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记实数中的最大数为,最小数为.已知实数且三数能构成三角形的三边长,若,则的取值范围是.14.已知复数(为虚数单位),则的模为____.15.已知为抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为__________.16.用数字、、、、、组成无重复数字的位自然数,其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知为坐标原点,单位圆与角终边的交点为,过作平行于轴的直线,设与终边所在直线的交点为,.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的值域.18.(12分)在直角坐标系中,已知圆,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线平分圆M的周长.(1)求圆M的半径和圆M的极坐标方程;(2)过原点作两条互相垂直的直线,其中与圆M交于O,A两点,与圆M交于O,B两点,求面积的最大值.19.(12分)已知,,求证:(1);(2).20.(12分)已知数列和,前项和为,且,是各项均为正数的等比数列,且,.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前项和.21.(12分)如图,四棱锥中,平面,,,.(I)证明:;(Ⅱ)若是中点,与平面所成的角的正弦值为,求的长.22.(10分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得,,再由诱导公式有,所以【详解】∵∴由余弦公式的二倍角展开式有又∵∴故选:A【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用,要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式,属于简单题2、A【解析】

设的中点为O先求出外接圆的半径,设,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为,所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为,所以,解得.因为,所以.设,易知平面ABC,则.因为,所以,即,解得.所以球Q的半径.故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题3、C【解析】

先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C.【点睛】本题考查集合补集的运算,求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义,属于简单题.4、C【解析】

根据古典概型概率计算公式,计算出概率并求得数学期望,由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球,所以.表示取出一个黑球,,所以.表示取出两个球,其中一黑一白,,表示取出两个球为黑球,,表示取出两个球为白球,,所以.所以,.故选:C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算,属于中档题.5、D【解析】

根据指数函数的性质,取得的取值范围,即可求解,得到答案.【详解】由指数函数的性质,可得,即,又由,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小,其中解答中熟记指数函数的性质,求得的取值范围是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.6、D【解析】

在中,由正弦定理得;进而得,在中,由余弦定理可得.【详解】在中,由正弦定理得,得,又,所以为锐角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故选:D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用,考查了学生的运算求解能力.7、A【解析】

利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查三角求值,涉及两角和与差的余弦公式的应用,考查计算能力,属于基础题.8、C【解析】

利用不等式性质可判断,利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解:对于实数,,不成立对于不成立.对于.利用对数函数单调递增性质,即可得出.对于指数函数单调递减性质,因此不成立.故选:.【点睛】利用不等式性质比较大小.要注意不等式性质成立的前提条件.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.9、B【解析】

画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,,所以由图可得取自的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.10、C【解析】

先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.11、B【解析】

根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识,判断出正确的结论.【详解】因为,又,所以①正确.,所以②正确.将的图象向右平移个单位长度,得,所以③错误.所以①②正确,③错误.故选:B【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心,考查三角函数图象变换,属于基础题.12、A【解析】

根据函数定义域得集合,解对数不等式得到集合,然后直接利用交集运算求解.【详解】解:由函数得,解得,即;又,解得,即,则.故选:A.【点睛】本题考查了交集及其运算,考查了函数定义域的求法,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】试题分析:显然,又,①当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而②当时,,作出可行区域,因抛物线与直线及在第一象限内的交点分别是(1,1)和,从而综上所述,的取值范围是.考点:不等式、简单线性规划.14、【解析】,所以.15、16.【解析】由题意可知抛物线的焦点,准线为设直线的解析式为∵直线互相垂直∴的斜率为与抛物线的方程联立,消去得设点由跟与系数的关系得,同理∵根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离∴,同理∴,当且仅当时取等号.故答案为16点睛:(1)与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,可以使运算化繁为简.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径;(2)圆锥曲线中的最值问题,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的条件.16、【解析】

对首位数的奇偶进行分类讨论,利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.【详解】①若首位为奇数,则第一、三、五个数位上的数都是奇数,其余三个数位上的数为偶数,此时,符号条件的位自然数个数为个;②若首位数为偶数,则首位数不能为,可排在第三或第五个数位上,第二、四、六个数位上的数为奇数,此时,符合条件的位自然数个数为个.综上所述,符合条件的位自然数个数为个.故答案为:.【点睛】本题考查数的排列问题,要注意首位数字的分类讨论,考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)根据题意,求得,,因而得出,利用降幂公式和二倍角的正弦公式化简函数,最后利用,求出的最小正周期;(2)由(1)得,再利用整体代入求出函数的值域.【详解】(1)因为,,所以,,所以函数的最小正周期为.(2)因为,所以,所以,故函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查正弦型函数的周期和值域,运用到向量的坐标运算、降幂公式和二倍角的正弦公式,考查化简和计算能力.18、(1),(2)【解析】

先求出,再求圆的半径和极坐标方程;(2)设求出,,再求出得解.【详解】(1)将化成直角坐标方程,得则,故,则圆,即,所以圆M的半径为.将圆M的方程化成极坐标方程,得.即圆M的极坐标方程为.(2)设,则,用代替.可得,【点睛】本题主要考查直角坐标和极坐标的互化,考查极径的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19、(1)见解析;(2)见解析.【解析】

(1)结合基本不等式可证明;(2)利用基本不等式得,即,同理得其他两个式子,三式相加可证结论.【详解】(1)∵,∴,当且仅当a=b=c等号成立,∴;(2)由基本不等式,∴,同理,,∴,当且仅当a=b=c等号成立∴.【点睛】本题考查不等式的证明,考查用基本不等式证明不等式成立.解题关键是发现基本不等式的形式,方法是综合法.20、(1),;(2).【解析】

(1)令求出的值,然后由,得出,然后检验是否符合在时的表达式,即可得出数列的通项公式,并设数列的公比为,根据题意列出和的方程组,解出这两个量,然后利用等比数列的通项公式可求出;(2)求出数列的前项和,然后利用分组求和法可求出.【详解】(1)当时,,当时,.也适合上式,所以,.设数列的公比为,则,由,两式相除得,,解得,,;(2)设数列的前项和为,则,.【点睛】本题考查利用求,同时也考查了等比数列通项的计算,以及分组求和法的应用,考查计算能力,属于中等题.21、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取的中点,连接,由,,得三点共线,且,又,再利用线面垂直的判定定理证明.(Ⅱ)设,则,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,两式相加求得,再过作,则平面,即点到平面的距离,由是中点,得到到平面的距离,然后根据与平面所成的角的正弦值为求解.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,由,,得三点共线,且,又,,所以平面,所以.(Ⅱ)设,,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,两式相加得:,所以,,过作,则平面,即点到平面的距离,因为是中点,所以为到平面的距离,因为与平面所成的角的正弦值为,即,解得.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,线面角的应用,还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力,属于中档题.

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