深度学习视角下“尺规作图”教学策略

尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆规进行作图，是数学教学的一项重要内容，它不仅是一种基本的数学技能，更是培养学生逻辑思维能力和几何直观能力的重要手段。随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》的修订，对尺规作图的要求也发生了变化。对比新旧课标，如何开展尺规作图教学，引发学生深度思考。下面结合一些课堂实践和思考，就深度学习视角下的尺规作图教学策略进行了一些探索和研究。一、研究的背景意义及实际价值尺规作图起源于古希腊的数学课题经过多年的发展和演变，已经成为初中数学重要的内容，被赋予了很高的地位，其重要性不仅在于能够解决生活中的实际问题，更在于能够培养学生的逻辑思维和几何直观能力。但在实际教学过程中，并未引起一些教师的重视，没有充分认识到尺规作图的重要性。新旧数学课标对尺规作图的定位的变化。首先，内容分布有变化。《义务教育数学课程标准（2011年版）》）中把此部分内容单列成一项集中体现，而新课标（《义务教育数学课程标准（2022年版）》）将其拆分到各相关知识点中分散体现。其次，课标要求有变化；在旧的数学课标中，对尺规作图的要求相对较低，主要要求学生掌握简单的尺规作图方法，如线段的垂直平分线、角的平分线等。尺规作图被视为一种基本技能，其重要性主要在于能够解决生活中的实际问题。新的数学课标对尺规作图的要求更高，不仅要求学生掌握基本的作图方法，还要求学生能够解决较为复杂的几何问题；新的数学课标对尺规作图的定位更高，将其视为培养学生逻辑思维和几何直观能力的重要手段；它不仅是一种基本技能，更是培养学生逻辑思维和几何直观能力的重要途径。二、尺规作图教学中深度学习的有效策略策略一：基本作图内容的整合及拓展利用基本尺规作图作出精准的几何图形是进一步研究几何图形的关键，故基本尺规作图教学不仅要求学生从技术层面会作五种基本图形，还需通过五种基本作图教学让学生理解尺和规的应用价值，并让学生理解尺规作图的原理。“作一个角等于已知角”“作一条线段的垂直平分线””作一个角的角平分线”，借助圆规作出等线段，构造全等三角形。基于此，在五种基本作图的教学中，教师应在单元整体的视角下，设计具有结构化的教学内容，给学生设置一定的思维场景，让学生能在最近联想区进行类比迁移，在理解作图做法的基础上，感悟用尺规作图的方法。在教学中，可以采用如下教学流程：设置情景——理解原理——类比构图——深化理解作图原理——拓展作图——解决问题。以“作一个角的角平分线”为例进行说明。设计情景：教师出示平分角的仪器，你能说明理由么？理解原理：设计如下问题：问题1：请尝试抽象出平分角的仪器的几何图形。问题2：请尝试类比此几何图形，找出用尺规作角的平分线的作法。类比构图：探究之后，学生汇报，师生归纳总结方法。深化理解：除了上述作法外，还可以用以下的方法平分已知角(如图1、图2、图3)。请能说明理由，并说说这些方法的共同之处。拓展作图：请把一个直角三等分。基于构建主义，以上教学流程，可让学生较好地理解知识产生的起点、新知生成的过程、多解归一的反思归纳。通过对“作一个角等于已知角（八年级上册）、作已知角的角平分线（八年级上册）、作已知线段的垂直平分线（八年级上册）、过一点作已知直线的垂线（八年级上册）”的学习，使学生经历尺规作图的学习过程，掌握其核心知识和思想方法，在抽象、类比构建作法的过程中，发展学生的几何直观、数学建模、数学推理、数学抽象的数学核心素养。策略二：尺规作图融入“图形性质”教学人教版教材中，对于“图形的性质”这一主题下的教学内容，研究思路都是图形的定义——图形的性质——图形的判定——应用，研究内容为图形的构成元素及相关元素之间的关系，对于性质，常采用的研究方法是操作观察——得到猜想——推理验证——形成性质——应用性质；对于图形的判定，一般都是由性质的逆命题得到猜想，推理验证得到判定方法。为了落实课标中“将尺规作图贯穿到整个几何的学习中去”的要求，可以将特殊三角形、特殊四边形等图形的判定教学流程进行创新，流程为：根据性质尝试尺规作出目标图形——得到猜想——推理验证——得到判定——解决问题。以平行四边形的判定为例说明：操作观察：根据已学平行四边形的经验，请你尝试用圆规和没有刻度的直尺作出一个平行四边形。学生可能利用“过直线外一点作出两组平行线”得到平行四边形，因为定义就是一种判定，故这种作法是正确的。学生可能利用“作一个角等于已知角”作出两组对角相等的四边形，也可能先作出三角形，再利用“作已知线段的垂直平分线”得到对角线相互平分的四边形，基于已有经验，学生就得到了猜想。这种设计，给学生设置了一个“跳一跳”就能达到目标的思维场景，学生的意愿在经历尝试后能够实现，进而品尝到探究问题的乐趣，增强学生的学习兴趣。另一方面，学生在借助尺规作目标图形的过程中，既要检索平行四边形的已学知识，分析图形的特征，建立数和形的联系，把已知知识转化为符合条件的目标图形，学生围绕具有挑战性的关于尺规作图的学习主题，把握作图的本质及思想方法，建立尺规作图与几何图形学习的联系，形成积极的内在学习动机、积极的态度、正确的价值观，获得发展的有意义的数学学习过程。这样的教学策略，极具挑战性，能大大激发学生的创造力，学生在寻找解决办法的过程中会自觉地搜寻所学的概念、定理等知识，自觉地分析、提取出包含的信息，自觉地对知识进行联系。尝试、思考、推理、分析、验证等过程，既锻炼了学生的动手能力，又很好地训练了学生的思维，提高了学生的思维能力，对培养学生严谨的学习习惯、严密的推理能力和空间想象能力具有重要的价值。在几何教学中强调“观察、操作、推理”，有利于学生利用图表分析数学问题，把握问题的本质，探索解决问题。策略三：尺规作图融入教材中“活动”数学活动课要求在教师的指导下，让学生在解决具体问题的过程中和对数学本身的探究中理解、掌握和应用数学，主动获取数学知识和直接体验。着力培养学生的探索精神、合作意识和实践能力。在教材各章后都设置有实践意义的数学活动和探究内容，在教学实践中，我们可以根据教材内容恰当植入尺规作图，将极大地发挥教材内容的承载的价值，能使数学建模、数学抽象、数学推理、几何直观等素养在课堂上落地。以初三一模复习时，对七年级下册32页活动课“平行线的画法”进行重构为例说明：环节一：课本再现，重温方法。教师出示教材内容，并设置如下问题：请你说说他们的思路。这些方法的依据是什么？用到了哪些基本尺规作图？在问题驱动下，学生快速复习了平行线的判定及五种基本作图方法。为帮助学生形成判定平行的微知识体系，培养学生从整体的角度解决问题的能力，发展学生的系统思维。设置环节二：一题多解，归纳方法。教师出示以下两种方法:方法一：在直线a上任取一点A，连接PA。以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交PA，直线a于点D，E；分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM；以P为圆心，PA长为半径画弧交射线AM于点C；则PC∥a请判断方法一的作法是否正确（图4），并说明理由。方法二：（1）在直线a上任取两点A、B，连接PA，PB。在线段AB上取点E，以B为圆心，AE长为半径画弧交直线a于点F；以E为圆心，PA长为半径画弧；以F为圆心，PB长为半径画弧，两弧交于点C.连接PC，则PC∥a由作图（图5）知，AE=BF，CE=AP，CF=PB易证，△PAB≌△CEF进一步，证明四边形AECP是平行四边形则PC∥a。学生在解决以上问题后，教师可引导学生反思总结。尺规作过直线外一点做这条直线的平行线的方法新课标指出，学生经历数学“再发现”的过程，初中养成讲道理、有条理的思维品质。基于此，设置环节三：动手操作，悟方法：请你借助尺规，用多种方法过直线a外一点P作直线a的平行线。学生独立思考，小组交学生分享思考过程，并总结尺规作一个图形的一般方法：目标图形→分析图形结构→尝试操作→验证。把尺规作图融入本节数学活动中，从教材引申到主题活动丰富的情境式练习，内容丰富，思维拔节点多，单元视角下对知识重构。尺规作图是明线，由尺规作一个具体图形的方法上升到尺规作图的一般方法。借助尺规作图，培养学生讲逻辑，重联系的思考过程，从推理意识发展推理能力。梳理初中阶段的平行线的知识为暗线，帮助学生建立所学的平面图形的知识体系。培养学生的数学推理素养，促进学生的推理能力。策略四：借助尺规作图深度挖掘教材习题的价值新课标指出：习题的设计要关注数学的本质，关注通性通法。设计丰富多样的习题，满足巩固、复习、应用、拓展的学习需要；满足不同学生的学习需要；满足不同学习阶段的学习需要；满足不同完成作业方式的需要，如综合与实践的习题可以包括查阅资料、校外调查、自主探究等。张奠宙教授在论述尺规作图的现代教学意义指出：“尺规作图的价值在于三方面：它与图形运动密不可分；具有不能替代的直观性；是问题解决无法割舍的部分。”张教授还指出，教师应将冰冷的数学学术形态变成学生浅显易懂的数学教育形态。基于此，我们在教学中，要重视教材习题教学，开车最怕路不熟，教学最怕教材不熟，路不熟要走好多冤枉路，教材不熟要做好多无用功，同样是一本教材，在不同的教师手里会创造出不同的价值，也会演绎出不同的精彩。在“深入”上下功夫；在“浅出”上做文章。把尺规作图作为变式资源，对教材习题进行深度挖掘，最大化地发挥教材习题的教学价值，以教材为载体，发展学生的几何直观、数学推理、数学建模等核心素养。以人教版八年级上册80页练习2进行重构为例进行说明重构设计为：已知，在等腰三角形ABP中，AP=BP,在直线AB上如何找到点E、F，使得PE=PF。图中有哪些相等的线段，请说明理由。学生可能以P为圆心，适当长为半径画弧，交直线AB于点E、F，得到PE=PF（图6）。再用全等或等腰三角形三线合一进行证明得到AP=BP。学生也可能在直线AB上截取AE=BF证△PAE≌△PBF得PE=PF，根据线段和差可得到BE=AF。这样的设计以作图为主线，深入研究了等腰三角形，深刻感悟了等腰三角形轴对称的重要性，积累了相关的解题经验；通过对相同结构的类比，探索解决问题的思路，归纳出一般结论。在教学实践中，可以将尺规作图融入例习题教学中，通过对例题及习题的核心与本质的提炼及提升，真正帮助学生以一题带一类，能够举一反三、触类旁通，形成推理能力，发展空间观念和几何直观。三、尺规作图教学中深度学习的一些建议通过对比新旧数学课标对尺规作图的要求，我们可以发现新的数学课标对尺规作图的要求更高、定位更高、实践应用能力要求更高。因此，建议教师在实