高中数学-三次函数的图象和性质详解

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高中数学必考点-三次函数的图象和性质详解

。、引言

有关三次函数/(%)=ax3+bx2+ex+d(a丰0)的问

题在近几年的数学高考中屡屡出现，利用导数研究三次函数

的图象和性质，以及借助数形结合的思想方法解决问题,可

以迁移到其他函数的研究中，其研究的过程与方法具有普适

性、一般性和有效性.

一、知识梳理

1、定义

［定义1：)形如/1(无)=ax3+bx2+ex+d(aH0)的函数，称

为“三次函数”；

定义2:］三次函数的导数/'(x)=3ax2+2bx+c(aW0),把

A=4b2-12ac叫做三次函数导函数的判别式.

2、性质

(1弹调性)

一般地，当炉一3。。工0时，三次函数/(%)=g3++

ex+d(aW0)在R上是单调函数；

当乒-3ac>0时，三次函数/(x)=ax3+bx2+ex+

d(a丰0)在R上有三个单调区间.

(根据a>0,a<0两种不同情况进行分类讨论)

(21对称中叫

三次函数f(x)=ax3+bx2+ex+d(aW0)关于点对称，且

对称中心为点(-二/(-卷)),是三次函数的拐点，此点的横

坐标是二阶导数费的根：

［证明：)设函数/(%)=ax3+bx2+ex+d(aH0)的对称中心为

(犯n).将函数的图象进行平移，

则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数，所以f(x+ni)+

/(—x+tn)—2n—0

代入化简得：(3ma十b)x2十am3十bm2+cm+d-n=0,

上式对尤eR恒成立,故3ma+b=0,

得/n=-&n=am3+bm2+cm+d=5).

所以，函数/(%)=ax3+bx2+ex+d(aH0)向对称中心是

(一青/(—*))♦

②当A=4b2-12ac>0时，由于方程/⑴=0有两个

不同的实根与,如不妨设/<小，

可知,当a>0,冗1为函数的极大值点，比2为函数的极小值点，

且函数y=/（%）在（一8,修）和（小,+8）上单调递增，

在（石,处）上单调递减.

►

此时结合函数图象可知：

1°若/(%1)/(小)>0,即函数y=/(%)的极大值和极小值同

号,所以函数有且只有一个零点;

2°若/(小)/(小)<0,即函数y=/(%)的极大值和极小值

异号，函数图象与％轴必有三个交点,

所以函数有三个不同零点；

3°若/01)/(>2)=0,贝”(%)与f(%2)中有且只有一个

值为0,所以函数有两个不同零点

(4)同值点问题

若南数/⑺在的附近恒有/(&)>/W(r(x0)</(x)),

则称/O)在点打处取得极大值(极小值)，

称点g为极大殖点(极小值点).

当4>0时，三次函数y=/(x)在(-8,+8)上的极值点有两个;

当AW0时，三次函数y=/O)在(-8,十8)上不存在极值点.

函数/(无)=ax3+bx2+ex+d(aW0),xe[m,n],

若Xoe[m,M],且/'(xo)=0,b2—Sac>0

则={/(m),/(x0),/(n))；

={/(m)JOo)J(n)}.

二、问题探究

题组一三次函数性质的相关问题

例1.已知函数/Qr)—x3+ax2+bx+c在M=—|

与笨=1时都取得极值.

(1)求a,b的值与函数/(%)的单调区间；

(2)若对me[-1,2],不等式f(x)＜《2恒成立，

求c的取值范围.

二、问题探究

二、问题探究题组--:次函数性历的相关何题

例1.己知函数，(x)=X3+ax2+bx+c在*

题组一三次函数性质的相关问题与*=1时都取得极值.

(1)求a,b的值与函数“幻的单调区间；

⑵若对xG(-1,2],不等式，(幻<C?恒成立,

【分析】求c的取值范围.

⑴求出广⑺，由题意得/(—1)=0且/(I)=0联立

解得。与b的值，然后把a、b的值代入求得“为及ro),

列表讨论导函数的正负得到函数的单调区间；

(2)根据(1)中函数的单调性，由于%£[-1,2],不等式恒成

立,求出函数的最大值为/(2),代入求出最大值，然后令

/(2)<c2列出不等式，求出c的范围即可.

【解】(1)/(%)-x3+ax2+bx+c,

=3x2+2ax+b

4

—a+b二0

3，解得产二-3

If'(l)=3+2a+b=0kb=-2

f,(x)=3x2—x—2-(3x+2)(x—1),

函数的单调性如下表：

2

（-G-|）(-1,1)1(1,+0C)

X-3

r（X）+0-0+

/(x)增极大值减极小值增

所以函数人%）的增区间是（-8,-|）和（1,+8）,

减区间是（-1,1）.

(2)=x3-|x2-2x+c,xe[-1,2],

根据(D中函数f(x)的单调性，

得人的在(-1,-手上递增，在(-a1)上递减，在(1,2)上递增,

所以当x=-1时，/)=:+。为极大值，

而/1⑵=2+c>:+c,所以八2)=2+c为最大值.

要使F(M)VC2对2]恒成立，只需。2>/(2)=2+C.

解得cV-l或c>2.

变式17已知函数/(久)=x3-3ax-1

在％=-1处取得极值.

(1)求实数a的值；

(2)当2,1]时,求函数/(%)的最小值.

【分析】

(1)求导，根据极值的定义可以求出实数a的值；

(2)求出工6[-2,1]时的极值，比较极值和端点值

/(-2),/(1)之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.

【解】(1)f'(x)=3/_3a,函数f⑺二炉—3ax-1

在％二—1处取得极值，所以有/■'(—1)=0

=3(—I)2—3a=0=a=1.

，/可知］(域=X3—3x-1

=>f(x)=3x2—3=3(x+l)(x—1),

当46(-2,-1)时，/'(%)>0,函数f(x)单调递增，

当时，/(x)<0,函数/(%)单调递减，

i故函数在4=-1处取得极大值，符合题意.j

一J

(2)由(1)可知，函数在久=-1处取得极大值，

因此/1(-1)=(-1)3-3X(-1)-1=1,

又因为/(—2)=(—2)3—3X(—2)—1=—3>

f(l)=l3-3xl-l=-3,

故函数〃幻的最小值为/'(1)=f(-2)=-3.

变式1-2已知函数/(X)=2x3+3ax2+3bx+c

在无=1及x=2处取得极值.

(1)求的值；

(2)若方程/(乃=0有三个根，求c的取值范围.

►

【分析】

(1)利用ra)=o,列出方程组，

然后求解用力即可.

(2)利用导函数的符号，推出函数的单调性,

得到函数的极值，列不等式求解即可.

【解】

(1)因为/'(x)=6x2+6ax+3b=0,

由/''(1)=0/(2)=0.

即LX图普—解得。=-3,I

(经检验单调性。，力均符合题意)

(2)由(1)可知，

f(x)=2炉-M+lZv+c,/(x)=6x2-18x+12=6(x-2)(x-1)

令/(x)=0得1=1,X2=2

当X<1或。2时，/(x)>0,/(x)递增，

当l<x<2时，f'(x)<0/(%)递减，

由题吗霏MB解得-5<c<-4.

2

例2.已知函数/(%)=+lax+bx+l(a,beR),

其导函数记为g(>).

(1)求函数/(%)的单调区间；

(2)若函数/(m)有两个极值点％],x2,

试用a,b装示/■(尤1)+/(尤2)；

(3)在(2)的条件下，若g(%)的极值点恰为/(%)的零点，

试求/'(%)，。伊)这两个函数的所有极值之和的取值范围.

题组二三次函数中有关参数范围问题

【分析】

(1)根据题意，求出导数，即可求函数;1(%)的单调区间.

(2)根据fO)有两个极值点打,尤2,由(1)知4=a2-4b>0,

利用韦达定理以及极值点对应的导函数的值为0,

得化1+%2-—a，xl+x1=a2—2b,

得/Oi)+/(x2)

+yff(x2)j+^(xi+xz)+y(xi+x2)+2>

总代入各项对应的值即可.

【分析】

(3)根据题意，解出。伏)的极值点，代入/(%),

可得a与6的等量关系，再结合(2)中的不等关系

解出a的范围，将/(%),g(x)这两个函数的所有

极值之和用a表达出来，构造一个新的关于a的函数,

利用导数，即可求/(%),g(£)这两个函数的所有极

值之和的取值范围.

【解】（l）g（x）=x2+ax+b,A=a2—4b.

若4M0,^（x）>0,/O）在（-8,+8）上单调递增；

若4>0,

方程^（九）=0有两个不等实根尤1=专区，电二圈

/（%）在上单调递增，在（％1，%2）上单调递减，

在（小，+8）上单调递增.

(2)因/1(%)有两个极值点*1，X2,

由⑴知4=a2-4b>0,

且％i+%2=-G，x1+%2=a2-2b,g(%i)=g(%2)-0.

于是fOi)+/(x2)

..-一法一二一飞CL/'2b,、

+可。(％2)+T(X1+x2)+芍(％1+元2)+2

屋⑷-2b)+y(-a)+2=9—ab+2.

(3)由g(x)=/+g+万=(久+I)十力一

则g(%)的极值点为％=-今

于是/(一9=°，即

显然，aw0,则6=老十三

6a

由(2)知4=a?_4b>0,b<—,

4

则9+解得a<0或a>3.

于是/(%1)+/(x2)="-a/+5)+2=o.

故/(%)，。(幻的所有极值之和为b-包=贮+乙_贮=_贮+2

46a412a

=h(a),因为/i(a)=一'一检，

若a>V24,则九(a)<0,h(a)在(VI/+8)上单调递减，

故/i(a)<旧)=0.

若a<0,a<—折区时有/i'(a)>0;a>—VH时有<(a)<0,

则/i(a)在(-8,-V12)上单调递增，在(-近2,0)上单调递减，

故九(①<n(-V12)=-M

因此，当a<0时，所求的取值范围为(_8,_粤),

当a>时，所求的取值范围为(-8,0).

综上：/(%),以幻这两个函数的所有极值之和的

取值范围是(-8,0).

变式2-1已知函数/(%)=2x3-ax2+2.

(1)讨论/'(%)的单调性；

(2)当0Va<3时，记/(乃在区间［0,1］的最大值为M,

最小值为求M-m的取值范围.

【分析】

（1）先求/0）的导数，再根据a的范围分情况讨论

函数单调性；

（2）讨论a的范围，利用函数单调性进行最大值和

最小值的判断，最终求得M-m的取值范围.

【解】

⑴对/（幻=2x3-ax2+2,求导得/'（x）=6x2-2ax=6%（x-》

当aVO时，（-8由区间上单调递增，（柒0）区间上单调递减，

（0,+功区间上单调递增；

当a=0时，（-8,+oo）区间上单调递增；

当a>0时，（—8,0）区间上单调递增，（0,或区间上单调递减，

第十功区间上单调递增.

(2)当0Va<3时，/(%)在区间(0,2单调递减，

在区间©,1)单调递增，所以区间[0,1]上最小值为/1(f).

若0VaM2,/(0)=2,/(1)=2-a+2>/(0),

故所以区间[0,1]上最大值为f(l).

所以M—/n=/(l)—

=(4-a)-[2(^)3-a(|)2+2]=^-a+2,

设函数g(x)=第一支+2,求导g")=y-1

当0v久42时g'(x)v0,从而gO)单调递减.

若0Va42,所以卷工合―a+2<2.

即M-m的取值范围是唠,2).

若2VaV3时，若0)=2,/(1)=2-a+2<若0),

故所以区间［0,1］上最大值为/(()).

a3

所以M-m=/(0)-骐)=2—[2(学3_QG2+]

227,

而2<aV3,所以3<g<1.即M-m的取值范围是舄,1).

综上得M-皿的取值范围是焉2).

变式2-2已知函数

/(x)=--AT++m(m—3)x+n.m,nER,且|m|<1.

(1)求函数/O)的单调区间；

(2)若函数y=e"与函数y=e*,/(%)在公共点「(曲,)。)处有相

同的切线，且/(乃之1在氏0-1,%()+1］上恒成立.

①求/'(X0)和/(孙)的值；

②求实数〃的取值范围.

【分析】

(1)利用导数求单调性即可；

(2)①根据点P是y=e"与y=ex-/(%)的公共点,

以及根据导数的几何意义列出方程组，

求解即可得到了'(与)和/(X())的值；

【分析】

(2)②由/Go)=O,/(%o)=1以及题设条件，判断不是

/(%)的极小值点，由/(Xo)=/(?n)=1,列出方程，构造

函数®)=-|炉+|元2+1,利用导数得到

其最值，即可得到实数〃的取值范围.

【解】(1):/'0)=-x2+3x+m(m-3)

=—(x—m)[x-(3-ni)]

又因为|m|41,所以ntV3-m.

令/'(x)>0,贝！)(%-m)[x—(3-m)]<0,Am<x<3-m；

令贝!—m),—(3—m)]>0,...KVm或无>3—m

.•./。:)的单调递增区间为On,3-m),

单调递减区间为(-8,m)和