小学五年长方体与正方体的表面积与体积

长方体和正方体的表面积和体积米的小正方体若干块，问：在这些小正方体中，三面涂有红漆的有多少块？两

面涂红色有多少块？一面涂有红色的有多少块？没有涂上红色有多少块？

【知能大展台】

1.长方体和正方体的特征:【分析】

面棱顶面的形状面积大小棱长先看这个正方体可以切多少块小正方体。如图：一共可以切成5=125

点

块小正方体。为方便起见，我们用不同的阴影表示不同涂色情况

长6128都是长方相对的两个面的面积相对的4条棱

方个条个形(也可能相等长度相等网影表示三面涂有红色的小正方体。三面涂有的小正方体位于顶点处，每

体有两个相

对的面是个顶点上有一块。

正方形)点影表示两面涂有红色的小正方体。两面涂色的小正方体位于棱长，每条棱上

正6128都是正方6个面的面积相等12条棱长度相

有块。

方个条个形等(5-2)

体斜影表示一面涂有红色的小正方体。一面涂色的小正方体位于面中，没个

2.长方体和正方体的表面积

面中间有(5-2)2块。

(1)定义：长方体和正方体六个面的总面积叫做它们的表面积。

(2)计算公式：没有涂上红色的小正方体位于大正方体内部，共有(5-2)3块。

长方体的表面积S=2(AB+AH+BH)

【解答】

2

正方体的表面积S=6A

三面涂有红色的正方体有8块。

(3)长方体和正方体的体积

两面涂有红色的小正方体有：

(1)定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。

(2)长方体的体积V=ABH(5-2)X12=36(块)

正方体的体积3

(3)V=A一面涂有红色的小正方体有：

长方体或正方体的体积还可以这样计算：V=S•H2

(5-2)X6=54(坡)

【试金石】

没有涂上红色的小正方体有:

例1一个正方体的棱长5厘米，表面涂满了红漆，4它切成棱长为1厘

3

(5-2)=27(块)

【智力加油站】

焊接后的长方体铁盒的长为30-5X2=20厘米，高为5厘米，已知铁盒容

积是1500立方厘米可以先求出铁盒的宽，再求原来长方形铁皮的面积。

【针对性训练】

【解答】

一个正方体的棱长4分米，表面涂满了红漆，4它切成棱长为1分米

长方体铁盒的宽为：

的小正方体若干块，问：在这些小正方体中，三面涂有红漆的有多少块？两面

15004-(30-5X2)+=15厘米

涂红色有多少块？一面涂有红色的有多少块？没有涂上红色有多少块？

原来长方形铁皮的面积为：

【试金石】

30X(15+5X2)=750(平方厘米)

例2把一块长30厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边长为5厘米的正

答：原来长方形铁皮的面积是750平方厘米。

方形，在焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是1500立方厘米。

【智力加油站】

求原来长方形铁皮的面积。

【分析】

根据题意可以画出下图：

【针对性训练】

把一块长方形铁皮，长为20厘米，宽为16厘米。现在把它的四角分别减

去边长为2厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容

积是多少立方厘米？

【试金石】

例3一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成4片，每片又锯

有锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块（如右图），这60块长方体的成5长条，每条有锯成6小块，共得到大大小小的长方体120块，这120块长

表面积的和是多少平方米？方体的表面积的和是多少平方米？

【分析】【试金石】

原来的正方体有6个面，每个面的面积都是IX1=1（平方米），无论后例4一个棱长为4厘米的正方形，如果分别在它的前、后、左、右、

来锯成多少块，这6个面的总面积总是被计入后来小木块的表面积。再考虑到上、下各面的中心位置挖去一个棱长为1厘米的小正方形，做成一个积木，这

每锯一刀就会增加两个面，每个面的面积都是1平方米，现在一共锯了2+3=4=9个积木的表面积和体积是多少？

（刀）,一共增加2X9=18平方米。【分析】

【解答】因为大正方形的棱长为4厘米，挖去的小正方形的棱长为1厘米，因此，

每锯一刀，就会增加两个1平方米的表面，即：大正方形没有挖通。从而每挖去一个小正方体，大正方体的表面积将比原来增

1X1X2=2（平方米）加“小洞”内的4个（1X1）的正方形面积。这个积木的体积等于大正方体的

现在一共锯了：2+3+4=9（刀）体积减去6个小正方体的体积。

因此，这大大小小的60块长方体的表面积的的和为：【解答】

1X1X6+2X9=24（1）积木的表面积为：

答：这60块长方体表面积的和为24平方米。4X4X6+1X1X4X6=120（平方米）

【智力加油站】（2）积木的体积为：4X4X4-（1X1X1）X6=58（立方厘米）

答：这个积木的表面积是120平方厘米，体积是50立方厘米。

【智力加油站】

【针对性训练】【针对性训练】

一个棱长为10厘米的正方形，如果分别在它的前、后、左、右、上、下3X3X0.04=0.36立方米,

各面的中心位置挖去一个棱长为2厘米的小正方形，做成一个积木，这个积木

2X2X0.11=0.44立方米.

的表面积和体积是多少？

0.36+0.44=0.8立方米.

【试金石】0.8+16=1■米=5厘米.

例5有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是4米、3米、2

【智力加油站】

米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个容器的水面分别生高了4

厘米和11厘米。如果将这两堆铁块都沉没在大水池中，大水池的水面将升高

多少厘米？

【分析】

【针对性训练】

水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积，沉入中、小水池

有甲、乙、丙三个正方形水容器，它们的内边长分别是8分米、6分米、4

中的碎石的体积分别是：

分米，把两堆铁块分别沉没在甲、丙水容器的水中，两个容器的水面分别升高

3X3X0.04=0.36立方米，

了1分米和2分米。如果将这两堆铁块都沉没在乙容器中，乙容器的水面将升

2X2X0.11=0.44立方米

高多少分米？

它们的和是：

【试金石】

0.36+0.44=0.8立方米

例6一个长、宽和高分别为21厘米、15厘米和12厘米的长方体现

把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米，而大

从它的上面可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一

水池的底面面积是4X4=16平方米。所以，大水池的水面升高：0.8+16=0.05

个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体

米=5厘米。

积是多少立方厘米？

【解答】

【分析】

根据长方体的长、宽和高分别为21厘米、15厘米和12厘米的条件，可知

第一次切下尽可能大的正方体的棱长是12厘米，其体积是12X12X12=1728少立方厘米？

(立方厘米)。【智能提速训练营】(黄皮书77)

这时剩余立方的底面形状如右图(1),其高是12厘米。这样，第二次切1.一个长方体棱长和是72厘米，长是宽的3倍，宽是高的2倍，它的表面

下尽可能大的正方体的棱长是9厘米，其体积是9X9X9=729(立方厘米)积是多少？体积是多少？

这时剩余立方分割成两种：底面形状应是右图(2),其高是12厘米；底2.一个正方体的表面涂满了红色，然后切成大小相同的27个小正方体。⑴

面形状(3),其高是3厘米。这样，第三次切下尽可能大的正方体的棱长是6三个面有红色的有几个？⑵二个面有红色的有几个？⑶一个面有红色的

厘米，其体积是6X6X6=216(立方厘米)。有几个？⑷六个面都没有红色的有几个？

【解答】3.一个长方体，它的表面积是94平方厘米，底面积是20平方厘米，底面

21X15X12-(123+93+63)周长是18厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？

=3780-(1727+729+216)4.一块长方形铁皮，长38厘米，宽31厘米。现在把它的四角分别剪去边

=3780-2673长为3厘米的正方形，然后焊成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的容

=1107(立方厘米)积是多少升？

答：剩下的体积是1107立方厘米。5.一个正方体的木块，表面积是96平方厘米，如果把它锯成体积相等的8

【智力加油站】个小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？

6.一个长方体水箱，长30厘米，宽42厘米，水箱里装满了水，并有一个

长21厘米，宽15厘米的小正方体完全浸没在水中，当把水中小长方体

【针对性训练】取出后，水面下降1厘米。小长方体高多少厘米？

一个长、宽和高分别为10厘米、20厘米和20厘米的长方体现从它的上7.一个长方体如果长增加5厘米，则体积增加150立方厘米；如果宽增加4

面可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方厘米，则体积增加160立方厘米；如果高增加3