本教材的内容包括空间解析几何、向量代数、多元微积分、微积方程、无穷级数等

本教材的内容包括：空间解析几何、向量代数、多元微积分、微积方程、无穷级数等.

第一章向量代数与空间解析几何

1.空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系.

7T

即以右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以2角度转向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴

的正向.

空间窗角坐标系

空间直角坐标系共有八个卦限

1—1

空间的点4*有序数组(xj,z)

特殊点的表示：。(0.0,0)

坐标轴上的点尸(国0.0),。(0,乂0)・K(0.0.z)，

坐标面上的点,B(0,y,z),C(x,0,z).

两个分量为零:点在坐标轴上.

设Mj(x2.y3.z3),为空间两点,

由勾股定理，得

两点间的距离公式।

|I=-xj+5-乃)'+(Z1一的下

特别.点M(xj,z)，与庾点0(0,0,。)的距离为

|OM|=JV+V+Z」

例1

在Z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.

解：设该点为M(0,0,z),

由题设|MA|=|MB|,

即

7(-4-0)J+a-0)J+(7-z)3

=J(3-0)、(5-0)2+(-2-z)2

解得z=1,即所求点为〃(0.0.y)

例2求证以a(4,3,1)、M式7,1,2)、M(5,2,3)三点为顶点的三格形是一个等腰三角形.

解：

3aaa

|AflAfJ|=(7-4)+(l-3)4-(2-1)=14.

=(5-7)'+(2-l)a+(3-2)a=6.

aJa

=(4-5)+(3-2)+(l-3)=6,

•••附2〃3kM3M3原始论成立.

2.向量代数

一、向量的概念

1.向量：既有大小，又有方向的量，称为向量(或矢量).

2.向量的几何表示法

用一条有方向的线段来表示向量.

以线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.

以A为起点，B为烙点的向堂，记为刀或］.

向裁方的大做向量的模.记为画或印

特别：嘿为1的间量称为国位向篁.

模为。的向量称为零向量.记为G，它的方向可以看作是任意的.

3.自由向量

自由向量：只有大小、方向，而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.

4.向量相等

若向里商与5大小相等且方向怕同.即通过平移可以使它们重合.称万马5相等.记作

五二b.

5.向量平行（或共线）

如果两个向邕I与3的方向相同或相反，称为平行.记为不〃可

6.向量共面

当把若干个向量的起点放在一起时，若它们的终点和公共起点在一个平面上，则称这些向量共面.

7.两向量的夹角

万将它们平移,使得始点重台,则许N408（0404彳）称为向篁方与向量®

/S

的夹角，记为（瓦5）或（b,a）.

0-0a^b方1司相同,

»平行，allb

6=与，方向相反J

0=-方与5垂直，a±b

2

特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在o与p之间任意取值.

二、向量的线性运算

向量的加法

（1）平行四边形法则

b

向量加法的运算规律:

（1）交换律：

(a+b}+c=a+(b+c]

多个向量相加：

吊+5a+•••+/

从跖的起点开始,首尾相接，指向4的终点.

例如，

向量的减法：

(1)负向量：与名模相同而方向相反的向量，称为不的负向量，记作-I

a-b=a+(-6)

将瓦，之一平移，便起点重台，由3的终点向I的理点作一向重，即为万-5.

向量与数的乘法

定义设之为实数.

规定：向量占与数a的乘积法为一个向量.

模：|la|=|A||a|

当AO时，商与a同向：

当AO时，财与万反向；

当AO时，历=6它的方向可以是任意的.

⑴结合律：A(^S)=X^=(^«)5

⑵分配律：

“+〃*=加+R

以(万+苫)=石+法

定理

设1*6,则5〃1。存在位移实数k,使5=切

向空的单位化，

设］工6,则-L万表示与方方向相同的单位向堂.

1«1

例1试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边，且其长度等于第三边的一半.

如图所示，设D,E分别为AB,AC的中点，则

茄=；冠，冠」而，

22

所以瓦=冠-近

=^（AC-~AB）=^BC,

所以而〃交,且画二1网.

设/石三两两不平行，ga+&+c=O,则不，瓦不构成一个三角形.

例2设立方体三边为瓦不,亍，A,B.C.D,E,F为各边中点，

证明।冠，①，而构成三角形.

通=60+0

EF=hc-b).

4

AB+CD+EF=C,即杓成三角形.

向量的投影

过点A作轴u的垂直平面，交点A'即为点A在轴u上的投影.

空间一向量在轴上的投影

已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为A',B'那么轴u上的有向线段A'B'的值，称为

向量在轴u上的投影.

向量荏在轴上的投影记为

UPrjtAB=48'

关于向量的投影定理（1）

何篁底在轴U的投影等于向番的模秉以轴巧同篁的夹角的余弦I

Prj,AB=\AB\cot<p

Prj„AB=PrjtAB

=\AB\c<ys（p

证

二壬三n二f

p[/

定理1的说明：

（1）OSgvg,投影为正:

（2）投影为负।

（3）<P=?，投影为零:

2

（4）相等向量在同一轴上投影相等；

关于向量的投影定理（2）

两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.

（可推广到有限多个）

向量的坐标

1.起点在原点的向量（向径）0M

设点加(xj,z)以分别表示沿X,y,工轴正向的单位向量.称为基本单位向篁.

产=商=画+商+两

=0A+0B+0C

-万+或+”,

称05、而、反分别是就在x轴,y轴,［轴上的分向里.而x,y.工，分别是

砺在三坐标轨上的投掰,称为丽的坐标.

衢记为尸一".y.z),此称为何里丁0M的坐标表示式.

2.起点不在原点〃的任一向量

a=

嫣“1(0先z>ME6,z?)

以二工E分别表示沿xj.z轴正向的单位间置.

向量在x轴上的投能

向重在,轴上的投整

向量在2轴上的投普

%=-X",=乃-M勺=2厂2|MM=（与-砧『+5-力），+七-Z］）E

按基本单位向量的坐标分解式：

可必=(与-与)1+5-M)J+(马—zjE

在三个坐标轴上的分向翼a/,aj.atk.

向量的坐标।at,%，ar

同篁的坐标表达式।a=(ar.aj

/必=(x3-xv%-yx,z2-zj

恃珠地，OM=(x.y,2}

利用坐标作向量的线性运算

a-{at,af.a,),b=(^r.bf,bj.

a+b=(at+bx.\+b>.0t+“

=(4+4)；+(,++(a,+4)E

a-b-(ag-bt,a9-bf,0t.4)

=(ag-bt)r+(af-b^j+(a,-b,)k

4a=(4aJC,Aa,.Aa,)

=(4a,)f+(M,)，+(乜)E

两向量平行的充要条件：

设万=(a*,a,,a.),b={bt,bf,bt),且工为需取,

已知it“S="=灰

即a*m彻,a,=屈y,at=

于是

/〃3—2=生=3

b,b,bt

即对应的坐标成比例.

注：在上式中规定，若某个分母为零，则相应的分子也为零.

例3

AM

设点4x］，x，z>3（与//）.在线段上求一点X,使缁=4Sw-1）.（定

MB

比分点)

Z

8

M

A--------/

x

解：设M(x,yz)为直线上的点.

~AM=[x-^.y-yx.z-zi)

MB={X2-X,y2-y,z3-z}

由题意知：AM=AMB

{x-x^y-y^z-Zj)=l{xa-x,^-y.z3-z)x-xt=4(xa-x)=x=

y-yi=^-y)=>:*：学

_Z]+“Z2

z-z=Z-Z)=>z

1A(3--i+T-

X[+X与乂+1>>2Z|+AZj

我的坐标为（•)

1+41+41+4

特别,4=1,得线段d的中点

4+勺乂+34+2〉

2'2'2

向量的模的坐标表示

设向量F={X,J,Z)

作0M=6=6+万+z£.

由勾股定理知，

|尸|=|西|=，/+4+/,

此即向量模的坐标表示.

方向角与方向余弦

非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.一般用a⑶y表示

设产=0M={x,乂z},0<ar^/r.0M尸4”.OSyW”.

由图分析可知

x=|F|cosa

y=|尸|cos产

z=|rloos,

方向余弦通常用来表示向量的方向.

Ir|=J/2+y2+z，

向量方向余弦的坐标表示式

当|尸I=y/x，+y[+Z-HO时

x

cosOL=',

次+y+z，

y

COSB=J..

a+y+z」

z

cos/s-.---

VP+y+d

方向余弦的特征

cos2a+cosa4+cos3x=1

特殊地：单位向量的方向余弦为

00=­=(CO$(2:,COSACOSX).

同

例4

已知两点M1(2.2.点)和q2a3.0).计即]量亚防的模，方向余茏和方向角.

解，

Z7X={TL-伪

模：|瓦历卜+=2,

10

1

方向余江icosa=2一2

G2nn3n

方向1角：a-—,foi--,y=—

334

例5

已知两点为(4.0.5)和30.1.3).求方向和屈一致的重位向量.

监

AB=(3.L-2)|而|=733+13+(-2)3=拒.

AB_131-21

0不，^4J

3.数量积与向量积

数量积

引例，设力声作用于功体上，拗体有一段位曲,求功的表示式.

解：由物理知，与位移平行的分力作功，与位移垂直的分力不作功.于是

W^\P\cosS\S\cos0

定义

向重万与石的数重积为&'・（其中。为W与不的夹角）

s5=\s\\51co$0

f

h

V\S\co%0=Pfi五J万Ico$6=Pfjta.

，

a5=|f|Prj,a=|a|PrjJ

结论：两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.

数量积也称为“点积”、“内积”.

数量积符合下列运算规律：

（1）交换律।sS-8s,

（2）线律：（＜y+9?=a2f+5*.

（3）若X为数：（孙石=汀（M）=405）

关于数量积的说明:

（1）（>=|万p,即|司=3<1.

litV8=o,Aaa=|a||5|cos^=|a|a.

（2）35=0=万，6

证।=•.»E=OJOJ5|NO,

/•cos0=0,9=?,即方J.S

U•/a上瓦/.0=^-.*.cos0=0,

S5^\a\\S|cos^=0.

例1利用向量证明三角形的余弦定理

c2=a2+b2-2abcos0

证：

由于^=a-b,

|c|2=c-c=（左一5）•（万一5）

=aa+bb-2a-b

二|引,+|彳『一2修1151cos6,

1=『+/-以

2scosQ

例2

证明三角不等式m+6区修|+

证1

a6=|a||6|cos^^|a||6|,

|万+]?=（1+5）（1+5）

=东+25万+户

引开+2|制片+|仃

=（田+内尸,

所以|5+i|<|a|+|i|.

数量积的坐标表达式

J

设a=aj+afJ+agk,b=+bfj+bgk

ab-(a/+aJ+a/).0ri*+b,j+病)

vfXj±£,rj=7r=^r=o,

M=lJl=l曰=L

".；F-F=JJ=£JF=1.

=1

ab=|a||6|cos^=>cos^=—~~=",

I第b|

M”-L地+引”总

M+a；+dJW+E+b：

一两向富夹角余弦的坐标表示式

由此可知两向量垂直的充要条件为

a±b=。也+。必+a也=0

例3

已知a={2,-l,3},b=[3,l,4),求⑴万彳：(2)Pa-a2^.

解：

(1)a6=2x3+(-l)xl+3x4=17

户=3：+P+42=26

b2a-a3b=26(2,-1,3)-14(3,1,4)={10,-40,22)

例4

已知三点H(1.1,1)、A(2.2.1)和B(2.1»2).求NATO.

解，作向曼说，MB.NATO就是向量近与近的夹角..

道=(1,1,0),而=[1,0,1),

MAMB=1•1+1•CW1=1

网=应眄=反

.,MAMB1I

••COSZ.AKB=：一]-j-।=-l=一，

闻卜丁|002

••cosAKB=—.

3

例5

已知1=6={1,-2,2b求(1)ab,(2)万马，的夹角I占在信上的投影.

解।

(1)F=11+1(-2)+(-4)2=-9

a也+a也+。也1

+a「+a>氏：+bj+42&

.3开

••ofi=----

(3)a5=|6|Prj,a

二Prjta=s-3.

161

例6证明向量5与向维(万Q万垂直.

[(乙eo£-(£<*)a]s

=[02百七-(，口?力

=(f6)(5?-ac]

=0

[(a冰-(S

向量积

先研究物体转动时产生的力矩

设0为一根杠杆L的支点，有一力F作用于这杠杆上P点处.力声与历的夹角为仇力了

对支点0的力矩是一向量而,它的模

Im=1厘II司

=|0P||#|sin5

〃的方向：垂直于场与声所在的平面，指向使刀.声与应涓足右手规则.

定义

向量1与5的向量积5=1x1规定为

1）大小：万的横仔|=|引|5|sin6（其中8为a与&的天角）

2）方向t了的方向同时垂直干＜5和，.即垂直于3,5所决定的平面，和万*彳成右手系.

向富积也称为“叉积”、"外积”.

tc=ax.b

b

e

a

注：(1)向量积的模的几何意义.

\axb\^a.b为邻边的平行四边形的面积

(2)占x»=G当且仅当万〃彳.

(3)5x5=0

向量积符合下列运算规律：

(1)反交换律।axi=-^xa

(2)分出律।(^+T)xf=jxf+^xf.

(3)卷人为折(&0乂5=彳><(45)=40x6).

例7

(a+i)x(5-b)

=5x5+6x5-5xfc-bx6

=-2S^b.

向量积的坐标表达式

设a=aj+ayj+ajt.b=bj+次

ax6=(ari+a,j+a/)x@j+b,j+btk)

vfxf=JxJ=£x£=(J,

vrxj=£,Jx£=F,£xf=J.

JKI=-Jc,Exj=-f,rx^=-y.

=(a/,_*)T+(砧a-a也)J+g,-afbt)k

axi

=(a/-*>+(*-a也)；+(*一**

向量积还可用三阶行列式表示

axb=%afat

4%bt

例8

求与乙=3T-2/+4E,5=r+j-2E邠垂直的康位向邕.

解，

———

rjk

c=axb=3-24=10J+5£.

11-2

•••修|=Jl『+5'=",

例9

在顶点为A(1,-1,2)、8(5,-6,2)和51,3,5)的三角形中,求AC边上的高BD.

B

ADC

解：

/={0,4,3)说=[4,一5,0)

111

ijk

|而x画=043=15『+12]-16万，

4-50

三角形ABC的面积为

^=-i|^CxZ5|=^V152+122+(-16)2=y,

国|=附+3?=5,S=g|而||粉|

251

-=-5\BD\\BD\=5.

例10设向量小,月,「两两垂直，符合右手规则,且|历|=4,|«|=2.|p|=3,计苴

p.

解，

|京X斤|=|用||月|sin(机制=4x2x1=8

依遁童知丽x五与p同向

5=(用x月.广)=0

(fh'nff)p=|)9tx，|”18s6=8-3=24

向量的混合积

定义

设已知三个向量方方了，砂量QX&七称为这三个向重的混合积,记为何

设彳=+aj+atk.b-b/+bj+bji,c=cj+c,，+c/.

444

[abc]-(axb)c=btbyb,=＞混合积的坐标衰达式

关于混合积的说明：

(1)向量混合积的几何意义：

向量的混合积【3,口是这样的一个数，它的绝对值表示以向量瓦为棱的平行六面体的

体积.

⑵[万后引=(3x6)?s(Ax?)5=(?x5)i

<3)HfBJSasbsc共面u=[]彳用=o

已知空间内不在一平面上的四点4(占J],/)、3(勺,必/2)、C(X3，M，Z3)、£)(勺,北,zj,

求四面体的体积.

Vi由立体几何知，四面体的体积等于以向重项、而、石为横的平行大面体的体枳的

六分之一.

V=^-\[ABACAb]\

6

V而=(马・再，%一M，22-21)

9=K-孙乂f.Z.-Zy)

1々fy3-yiz「Z]

r=-absXj-Xj为一乂Zy-Zy

0

Lf乂一%为一马

例12

判别H2,-L-D、8aL2）、5-134）、。（3,0,2）四点是否共面?

VI,只要判别三个向量君.而、屈是否共而即可.

^=(-1,2.3),ZC=(-3.4,5).^5=(11.3).

例13

已知［看m］=2,计算［©+5）X（5+订］0+中.

解：

［（＜f+f）x（J+?）］（f+a）

=[IxS+Hx?'+6x^4-6xf)].(f+a)

=©xS)c+(dxQ七+6c+(Sx<)6+0xE)(r+(^x?)d+Un+(6x刁a

=(jx^)r+o+Cr+o+o+o+OJ+((TX^)(r

=2((Txb)七=2(戒]=4

4.空间中的曲面和曲线

曲面方程

空间中的曲线方程

空间曲线在坐标面下的投影

曲面方程的概念

曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等.

曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.

曲面方程的定义：

如果S与三元方程F（x,y,z）=。有下述关系:

（1）曲面S上任一点的坐标*刷区方程，

（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程，

那么，方程尸（％乂2）=0就叫做曲面5的方程，而曲面S就叫做方程的图形.

以下给出几例常见的曲面.

ffl1津立球心在点临(即处.4)、为Rn醺面方程.

M.设“(xj.z)是球面上任一名，

HISfiBW|MM0hR

所求方程为(x—而)'+0*-^o)3+(z-^),=2?3

特睬外轴心在原点时方程为/+/+/=相

例2求马庾点。及MQ,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程.

1?|设是曲面上任一点，

根据题含有

\M0\_1

证玩了万，

正+八/1

3J

>/(X-2)^O-3)+(2-4)-2,

所求方程为(x+|)2+8+1)，+(z+g)2=F

例3已知41,2,3),5(2,-1.4),求栽段46的垂直平分面的方程.

解：设Af(vz)是所求平面上任一点.

根据题意有

\MA\^\MB\,

J(x-l)J+(y-2)2+(2-3)2

々dy+a+u+D,

化而得所求方程2x-6y+2z-7=0.

例4方程z=(x-1)2+(>-2)2-1的图形是怎样的?

解：根据题通育7

用平面z=c去形融：(x-D'+3-2)2=l+c(CN-D

当平面z=c上下移动时，得到一系列同

圆心在(12c),半役为而7

半径随C的增大而噌大.

图形上不封顶，下封底.

以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题:

(1)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.

(讨论旋转曲面)

(2)己知坐标间的关系式，研究曲面形状.

(讨论柱面、二次曲面)

空间中的曲线方程

空间曲线的一般方程

空间曲线C可看作空间两曲面的交线.

F(x,y,2)=0

G(x,j,z)=O

空间曲线的一般方程

特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.

0y

X

例5方叫；芯：二衰动样的期

解Ix2+/=］表示圆柱面,

2x+3y+3z=6表示平面，

xa+/=1

2x+3y+3z=6

交线为椭圆.

例6方程姐《〃”2表示怎样的蹴?

(x-’+y=?圆岫，

交蛀如图.

x=x(l)

,y=火。空间曲线的参数方程

Z-z(f)

当给定1=4时,就得到曲线上的一个点(AJi.zj,随蓍卷数的变化可得刎曲线上的全筋点.

例7

如果空间一点M在圆柱面/+/=。上以角速度0绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行

于z轴的正方向上升(其中0、v邰是常数)，那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其

奏裁方程.

解，

取时间r为参数,动点从A点出发，经过I时间,运动制“点

Af在杪面的投影AT(xj,0)

x=acosa

x=asin<a

z=v/

螺旋线的参数方程还可以写为

x=aco$e

<1y=asin8(0=Q>t.b=—■)

螺旋线的重要性质，

上升的高度与转近的角度成正比.

即夕稣一>综+<1,z:b0o—>i6{)+ba,

a=2”，蝶距：h=2bn

空间曲线在坐标面上的投影

F(莅乂z)=0

设空间曲线的一般方程;

,G(xj,z)=O

涓去受重z后毒，H(xj)=O

四关于MX的投影柱面

投影柱面的特征：

以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.

如图:投影曲线的研究过程.

空间曲线在xqy面上的投影曲线

H(x,川=0

《

z=0

类似她：可定义空间曲线在其他坐标面上的投能

乂"面上的投影曲统，

'心2)=0

x=0

XOZ而上的投影曲线，

在坐标面上的投能.

解,⑴消费上后得

在刘沙面上的投影为，

7=0

（2）因海线在平面z=:上,

2

所以在MZ面上的投影极段.

1

z=­

2.|x

y=0

（3）同理在中面上的投矍也秘段.

1

Z=­

2,|7

x=0

例9

求抛物面V+?=x与平面x+2y-z=0的载统在三个坐标面上的投影鳗方程.

解।乾线方程为

1y2+，=x

x+2»-z=0

如图.

⑴消去z得投影厂+5八4…=0,

z=0

..a./+5z'_2xz_4x=0

(2)消去,得投昆《

>=0

⑶消去X得投*F+'+2'-z=0

x=0

补充：空间立体或曲面在坐标面上的投影.

例10

设f立体,由上半Ma2=斤7=P■和Z=欣2+丁)罐面所困成求它在切面上

胡投彩.

解：

半球面和链面的交线为

CZ=j4_/_y'

z=业/+/).

涓去2得投影柱面入2+丁2=1

则交援C在叼面上胡投影为，*+'=1一个明，

2=0

，所求立体在叼面上胡投影为X3+y’工1.

小结

空间曲线的一般方程、参数方程.

x=XO

尸(X,»2)=O

(7=XO

G(xj,z)=0

z=z(f)

空间曲线在坐标面上的投影.

月(3)=0f/?Cy,z)=or(x,z)=o

z=0x=0A=0

5.空间中的平面与直线

5.1、平面方程

1.平面的点法式方程

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线［包量.

法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量.

已知平面的法线向重为方={A,且过点”(x,y,z),求平面方程.

BtC):c:

斛，设平面上的任一怠为M(x,y,z)

M0MM=0

AfoAf=(x-^,7-^0,z-z0)

..J4(x-x0)+^(j-j*0)+C(z-z0)=0

这是平面的点法式方程

例1

求过点A(2,-3,o)且以方=(L-2.3)为法向的平面方程.

解；由平面的煮法式

(x-2)-2(y+3)+3i=O.

代简得所求平面方程为

x-2y+3x-8=O.

例2

求过三点A(1,O,-1)NB(2,l,2)和1)的平面方程.

解：冠而=(-21.2).

取«=

»J*

113=(-1-8,3).

-212

所求平面方程为，

-(x-l)-8(y-0)+3(z+l)=0

化衙得

x+ey-3x-4=O.

一般,若三点Ai(xt,y“zj(1=1,2,3)不在一直线上，则这三点确定一张平面，其方程为(混合积)

xfy-yxz-Zy

与-X]乃-y]2,一4=0

凹一必Z3-Z1

xyz1

立公不为J。.

M八Z)1

S乃为1

这称为平面的三点式方程.

例3

求过点(1,1,1),且垂直于平面x-y+z=7和3x+2yT2z+5=0的平面方程.

解：两平面的法向分别为

—小月=02-12)

所以所求平面的法向量为

r1k

方=瓦＞＜用=1-11=(10.15,5)//(2.3.1).

32-12

所求平面方程为

2(x-1)+3(y-1)+(z-1)=0

化简得

2x+3y+z-6=0.

2.平面的一般方程

前面看到,平面可用三元一次方程表示；反之，任一三元一次方程

Ax+By+Cz+D=0(*)

当A,B,C不全为零时,表示一张平面，

它的法向为方=1AB.C}(*)称为平面的一般方程.

Ax+By+Cz+D=0(*)

平面一般方程的几种特殊情况:

(1)D=0,平面通过坐标原点；

(2)A=0,D=0,平面通过x轴；

D/0,平面平行于x轴；

类似地可讨论B=0,C=0情形.

(3)A=B=C=0,平面平行xoy坐标面；

类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形.

例4

求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.

解：由于平面过x轴，所以A=D=0.

设所求平面的方程为By+Cz=0,

又点(4,-3,-1)在平面上，所以，

-3B-C=0,C=-3B,

所求平面方程为By-3Bz=0,

显然B#0,所以所求平面方程为

y-3z=0.

例5

设平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)(其中a#0,b#0,cWO),求

此平面方程.

解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=O,

aA-\-D=0,

将三点坐标代入得,bB+D=0.

cC+D=0.

代人即穆所求方程为

三+七+三=1平面的需距式方程

/%

用上睡包薇距工轴上藏鹿

例6

求平面6x+y+4z-5=0与三个坐标面所围四面体的体积.

解：把平面方程化为截距式

XV.2«

-----+-+------=1,

5/655/4

155125

夕=—-J—=,

664144

3.两平面的夹角

定义

两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.（通常取锐角）

rij^x+B^+CfZ+Dt=0,

naax+Bj+w+A=o.

万i=(4&G)»

按照两向量夹角余弦公式有

一一“-144+当空C6I

0+8：+C；+J+C2’

-两平面天角余充公式

两平而位置特征1

(I)n,in,u=司4+及4+cjc3=0.

⑵rv皿un勺=鲁=?

例7

求两平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角.

解：两平面的法向分别为

%=(L-L2),«J=(2,1,1).

nxn2=3,I1=1n,|=A/6,

cI瓦瓦I1八K

cos0-[[0]=一=&--

同闻23

例8判断下列各组平面的位置关系：

(1)JI＞：2x-3y+r-4=O,%;：5x-*6y+8x-l=0.

晒^=(2,-34).«2=(5.6.8),

=0./.Mt±«।

(2)2x-y+z-l=0,-4x+2y-2x-l=O.

解.^={2-LD,吊={-42,-2)

=2=zl=_L,两平面平行

—42—2

,/ji(i,i,o)en,M(i,i,o)«n#

两平面平行怛不重合.

(2)2x-y-z+l=0,-4x+2y+2z-2=0.

%鬲=(2-LD,&={-4.2,-2)

,.•2=二1=二1,两平面平行

-422

*."M(-1,-1,0)WfliN(-1,-1,0)cn,

所以两平面重合.

例9

一平面通过两点)11(1,1,1)和K2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.

解；所求平面的法向里为

元=%%乂网

iJk

=-10-2=(2,-t.-1).

111

所以平面方程为：2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0

化简得：2x-y-z=0

例10

过点(2,-3,-1)且与平面x+2y-3z+4=0平行的平面方程.

解：设所求方程为x+2y-3z+D=0

将(2,-3,-1)带入得D=7,

二所求方程为x+2y-3z+7=0.

4.点到平面的距离

设Po(Xo,yo,Zo)是平面Ax+By-Cz+D=o外一点，求P。到平面的距离.

在平面上取一点Pi（xuYZ则有显然有|百丹川=d|万|,

而々舄后=｛勺■再Jo-M.Zo-Z]）（A.B,C）

=力（勺一为）+8（仙一升）+C（2O-ZJ

=Axo+By0+Cz0-（Ax1+By1+%）

=做+极+%+D・

|超方|=d|万I，

福方=岳+觇+&o+£）・

而同=5+62+3,

...d_血±%

〃、用+二

-点到平面距篱公式

如,点（1,1,1）到平面2x-3y+i-4=0的距落为

|2-3+1-4|4

<74+9+1~~]\A

小结

，点法式方整

平面的方程'一兼方程

.藏隹式方程

（熟记平面的几种特殊位置的方程）

两平面的夹角.（注意两平面的位置关系）

点到平面的距离公式.

5.2、直线方程

1.空间直线的一般方程

定义空间直线可看成两个不平行平面的交线.

X

口―4入+81y+Cj?+£)]=0

n34x+%y+Gz+Z)j=0

‘4++(?(?+q=o

、4入+5^+%+劣=o

-空1间直线的一般方程

2.空间直线的点向式方程与参数方程

方向向量的定义：

如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量.

K：(xc,ys,3),Jl(x,y,z)

M)4[={x-K.z-Zo)

X-/_z_z°

mnp

-直娃的点向式方程(或对称式方程)

X=x0

注1若JFO,理解为，y-为z-z。，

.-n-~1

此时直线与X轴垂直：

若》=n=0,理解为「=",

7-y»

此时直线与xOy面垂直.

令Xf」一4

直纱的勘

方向向量的余弦称为直线的方向余弦.

x=XQ+ml

,尸=%+血一亶线的爹数方程

7=/0+pt

例11

求过两点A(xi,yi,zi)、B(x2,yz,z2)的直线方程.

解：方向向量为

AB={x2-xuy2-ylrz^-zx},

所以所求直统方程为

x-Ay-二1z-马

\一七yi-y\zi-z\

-直挂的两点式方程

例12

一直线过点(2,-3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.

解：

因为直线和y轴垂直相交，所以交点为B(0,-3,0)

取6=助={2・0,41

所求直妓方程

x-2_1y+3_z-4

204

例13将直线一般式化为对称方程及参数方程:

x+y+z+1=0

2x-y+3z+4=0

解：先在直虹找一点：

,fy+z+2=0

令x=l,<...

-y+攵+6=0

即直的1点(1,0.-2),

x+y+z+1=0

、2x-_y+3z+4=0

即直蛀过点(1,0.-2).

再求方向向量：

1

两F®的?»j=(I.L1),«2=(2,-1,3),

二亘疾的方向向量为9=月={4,-L-3},

二直找的对称方程为二=2■=—.

4-1-3

x=1+4/

参数方程为，＞=-f

3.两直线的夹角

定义

两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角.(通常取锐角)

$2

直妓L,,口=匕叁=工

g均Pl

_y-y3_z-z3

£L线Lt■

用1匕Pa

c。蚁心=7＞冷+华+"?」_i

JW+1+pj飙2+“j+内

-丙直维法角公式

两直线的位置关系:

(2)Li«LLcU=

(2)LiZ^La^^—^-=—=—,

啊!尸2

例如，mtUiG={L-4,0).直统LI^=(0,0,1),

VSy2)=0,Sy±S,,即Li±La.

例14

田标—x7-1z+1q,x-3/2y-22+3帖金一

东两直线Lt-="——=——和Ui-----=--=——的央语.

32-2102

|3x1+2x0-2x2|

cos/=

/.0=arccos

4.直线与平面的夹角

定义

直线和它在平面上的投影直线的夹角”称为直线与平面的夹角.

二二=2=3-),

mnp

FLAx+By^j+p=O,ff=(A.B.C).

⑸八加》万(翁八=畀夕

sin^=cos(—~^)=|C0*(^+I

.IAm+Bn+CpI

sin^=)；~

>4+炉+C，加+/+/

-直线与平面的夹角公式

直妓与平面的位黄关系，

ARC

(2)L」flun—=—=—.

Mnp

(2)LWflunA»*Bn*Cp=O

例15判定下列各组直线与平面的关系：

(1)1：9=士=三和口：4x-2y-2z=3.

-2-73

解，L的方向向重S=(-2.-7.3)

n的法向量声=(4,-2,-2)

§方=o.所以L与n平行.

又点艮(-3,-4,0)在直接L上，但不在平面上,

所以L马口平行,但不堇合.

xvz

(2)L：—=-^—=—和n?6x-4y-14i=8.

3-27

解；L的方向向攀X=(3.-27)

n的法向量―.14)

所以1.与n垂直.

(3)L:=二三=二和n：xf=3.

3IY

解।L的方向向黛B={3.1.Y)

n的法向重用=(LU)

?方=°，所以L与口平行.

又L上的点昆(2,-2,3)箭是平面方程，

所以L与n重合.

例16

设亶线L,匕1=上=m・平面ILK-尸2H=3,求直线与平面的夹角.

2-12

解।»=(1,-1,2),1=(2,-1,2),

.小付引77

闭I局瓜布阴

7、~

:.卞=arcsin—为所求夹角.

例17

求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线方程.

例18

求过点(-3,2,5)且与平面x-4z=3和2x-y-5z=l平行的直线方程.

解：方向向量

?=(1,0,-4)X(2,-1,-5)=(-4,-3-I),

二所求亶线方程为色=匕2=—.

431

例19

来过点A(2,1,3)且与亶妓：凹=匕1=£垂亶相交的直栽方程.

32-1

解।过点A且与宜娃L垂直的平面n，

3(x-2)+2(y-l)-(x-3)=O

即3x+2y-z-5=O

再求直统L与平面n的交点(垂足)，

X二女—1

3

，y=2/+1,代入n的方程，14t-6=0,t=-,

垂足为

所求直线为过点A.B的直线:

x-2y-\2-3

2/13

721r3

^X-2=7-1=Z-3

2-1

5.平面束方程

设两张平面

IIi：Aix+Biy+Ciz+Di=O

II2：A2x+B2y+C2z+D2=0

相交于直线L,则过L的平面束可表示为

注：缺少平面U2(为什么？).

例20

2x-y+z=2

求经过直喊，C。和点P(L-2,2)的平面方程.

x-2_y-3z=l

解：设平面方程为2x-y+z-2+A(x-2y-3z-l)=0,由于点P(1,-2,2)在该平面上，代入得入=2,

由此得到所求平面方程为

2x-y+z-2+2(x-2y-3z-l)=0

即4x-5y-5z-4=0

比较：

求这点(3,b-2)且通过直线T二二的平面方程.

521

醉：因为平面过点A(3,1,-2)，且过亶线上一点B(4,-3.0)，故平面平行于荏，且平行

于直线的方向向重二={5.21},

所以其法向为

»JE

»=Li5xi=1-42={-8,9,22)

521

由点法式得所求平面的方程为

-8(x-3)+9(y-1)+22(z+2)=0

即8x-9y-22z-59=0

例21

x+2y-z=6

求出直线4/且垂直于平面C2下广0的平面方程.

x-2y+z=0

解:设平面方程为程-y+z-2+入(x-2y-3z-l)=0,

即(1+入)x+2(1-X)y+(入-1)z-6=0

由于所求平面与平面x+2y+z=0垂直，所以{1+入，2-2入，X-1}•{1,2,1)=0

即1+入+2(2-2X)+X-1=0,解得入二2,

由此得到所求平面方程为

3x-2y+z-6=0

例22

求直妓在他，，…。上的投影直线的方程.

解：只5?求出过L且与其垂直的平面即可.

方法It先求L的方向向里：

5=(U-l)x(l-l.l}a{0-2-2),

x的法向京={LU),

过L且与刀垂直的平面心的法向为

W=^xF=(0,2,-2},

且L过点(0,1,0),

•••K,的方程为(2(y-D-2x)=0,

即y-x~l=0.

...所求投影直线即为平面K与X;的交战

x+y+z=0

4

y-z-l=0

方法2：设过直线L的平面束方程为

(x+y-2-l)+l(x->»+2+l)=0,

即(1+X)«♦(1-X)y+(_l+X)x*(-l*X)=0,

欲使它与平面*F=0垂宜，

只要{i+xj-x,-i+x)•(i,i,i)=on'r

...过L且与x垂直的平面L的方程为

2y-2z-2=0,或y-z-l=0,

以下同方法1.

例23

x+5y+z=0-JT

求过直线L：,,且与平面r4y8r*42=0组成2角的平面方程.

x-z+4=04

解：过已知理线的平面