数学选择性必修第一册3数学选择性必修第一册21-数学选择性必修第一册2

§2空间向量与向量运算

(1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.

最新课标(2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.

(3)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.

2.1从平面向量到空间向量

2.2空间向量的运算

第1课时空间向量的加减法空间向量的数乘运算

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［教材要点］

要点一空间向量的有关概念

定义在空间，把具有________和_______的量叫作空间向量.

长度向量的_______叫作向量的长度或________.

①几何表示法：空间向量用_______表示.

表示法②字母表示法：若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作说，

其模记为⑷或1屈1.

状元随笔空间向量在空间中是可以任意平移的，这是向量与有向线段的本质区别.

要点二几类特殊向量

相等向量方向________且模—_____的向量

自由向量与向量的起点_______的向量

相反向量方向________且模—_____的向量

零向量模为0的向量,记为0

共线向量

两条有向线段所在的直线____一__或_________时的两个向量

(平行向量)

共面向量平行于同一平面的向量

状元随笔空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概

念都与平面向量相同，因此可以进行类比学习.

要点三空间向量的加减与数乘运算

运算法则(或几何意义)运算律

名(1)交换律：

a+b=__________；

加法

三角形法则(2)结合律：

a+b

(a+b)+c=

平行四边形法则

减法

a—b=a+(—b)

a-bz2ar

数乘⑴La=________；

Xa（2）当2>0时，M的方向与a(i+4)a=2a+4a；

的方向________;当2<0时，

痴的方向与a的方向

________；当2=0时，〃=0

状元随笔1.当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向

量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即

AoA］+AiA2+A2A3H-----FAn-2An-l+An-iA»=AoAn.

2.对空间向量数乘运算的理解：

（1）实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如海无意义.

（2）任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大（当内

>1时），也可以缩小（当囚<1时）；可以不改变向量的方向（当人>0时），也可以改变向量的

方向（当九<0时）.

（3）注意实数与向量的乘积的特殊情况：当入=0时，"=0；当？two时，若9=0,则xa=

0.

（4）①由于向量b可平移到同一个平面内，故了±1）,Xa,九b,九能b）也都在这个平面内，

而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律.

②根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立.

要点四共线向量基本定理

空间两个向量a,仇6X0）共线的充要条件是.

［基础自测］

1.思考辨析（正确的画“J”，错误的画“X”）

（1）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.（）

（2）空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致.（）

（3）空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算.（）

（4）在四边形ABC3中，一定有屈+而=同.（）

2.如图，已知平行六面体ABCD—A山Ci。”在下列选项中，与而相等的向量是（）

A.ABB.A\C\

C.BAD.A4i

3.［多选题旧知空间向量通，BC,CD,AD,则下列结论正确的是（）

A.AB=BC+CDB.AB-DC+BC=AD

C.AB=AB+BC+CDD.BC=BD-DC

4.在三棱锥4-BCZ）中，若是正三角形，E为其中心，则通+［前一|尻一而化

简的结果为.

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题型一有关空间向量概念的理解

例1(1)［多选题］下列说法中正确的是()

A.若⑷=依，则a,/＞的长度相同，方向相同或相反

B.若向量。是向量分的相反向量，贝1］|。|=向

C.空间向量的减法满足结合律

D.若空间向量机，n,p满足机=","=p,则m=p

(2)如图所示，在平行六面体ABC。一A5C。中，顶点连接的向量中，与向量而相等的

向量有;与向量取于相反的向量有.(要求写出所有适合条件的向量)

方祓粗的

解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点

(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.

(2)注意点：注意一些特殊向量的特性.

①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了

共线向量不具备传递性.

②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.

③两个向量模相等，不一定是相等向量：反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，

方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.

跟踪训练1下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是()

A.零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等

B.零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等

C.零向量的长度为0,单位向量不一定是相等向量

D.零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同

题型二空间向量的运算

例2⑴侈选题］如图，在长方体中，下列各式运算结果为瓯*的是()

A.AJDJ—A1A—ABB.BC+BB1一D1C1

C.AD—AB—DD1D.B】Di—AiA+DD1

(2)如图所示，在平行六面体A8CD-A山IGDI中，设AAi=a,AB=b,X5=c,M,N,

P分别是BC,CQi的中点，试用a,b,c表示以下各向量:

①和②中；③加+殖.

结合数乘向量、三角形法则及平行四边形法则求解.

状元随笔和空间向量的线性运算相关的结论.

(1)位置向量：AB=而-0A.

(2)在平行六面体ABCD—AiBiGDi中，有AG=屈+而+AA卜

(3)若G为4ABC的重心，则就+前+而=0.

(4)若O为空间中任意一点，则

①点P是线段AB中点的充要条件是而=，(OA+OB)；

②若G为4ABC的重心，则前=[(OA+OB+OC).

方法胆fri)

进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过

作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个

三角形或平行四边形中.

跟踪训练2如图，已知空间四边形OABC,M,N分别是边OA,BC的中点，点G在

MN上,且MG=2GM设加=a,而=8,0C=c,试用a,b,c表示向量玩.

题型三共线向量定理的应用

例3(1)设ei，e2是空间两个不共线的向量，已知的=ei+&e2,前=5ei+4e?,DC=-

ei-2e2,且A,B,。三点共线，实数.

(2)如图所示，已知空间四边形A8CO,E,，分别是边AB,的中点，F,G分别是边

CB,8上的点，且序=|而，而=|丽.求证：四边形EFGH是梯形.

状元随笔证明四边形EFGH为梯形，必须证明两点：①圆〃而，|丽|W|记|；

②F不在EH上，否则E,F,G,H四点可能共线.

方法技佃

1.证明(或判断)A,B,。三点共线，只需证明存在实数九使屈=人前即可.也可用“对

空间任意一点。，有而=r6X+(l—。充”来证明三点共线.证明三点共线时，关键是利用

向量的线性运算将相关向量线性表示.

2.证明两直线平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运

算并结合共线向量定理证明向量共线，再利用两向量不在同一条直线上得到线线平行.

说明：对于空间的线面平行、面面平行的证明问题，可根据判定定理将其转化为证明线

线平行，然后利用共线向量定理进行证明.

跟踪训练3已知非零向量a、b,且屈=a+2b,BC=-5a+6Z>,丽=7a—2b,贝U一定

共线的三点是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

易错辨析错把向量与平面平行认为线面平行

例4已知48,C。是异面直线，CDua,AB//a,M,N分别是AC,8。的中点.证

明：MN//a.

证明：因为C£)ua,AB//a,且AB,CO是异面直线，所以在平面a内存在向量a,b

使得的=a,CD=/>,且两个向量不共线.

由M,N分别是AC,8。的中点，得丽=：(MA+AB+BN+MC+CD+DN)=|(AB+CD)

=9（a+b）.

所以MH,a,h共面，

所以〃代〃6（或即\上”.

若MNua,

则AB,CD必在平面a内，

这与已知AB,CD是异面直线矛盾.故MN〃a.

【易错警示】

易错原因纠错心得

线面平行要求直线必须在平面外，而在利用

本题易由而=；（”+。）直接得到MN〃a.忽略

向量证明线面平行时，需要说明对应的直线

对MNua这种情况的讨论.和平面之间的位置关系.

［课堂十分钟］

1.下列说法正确的是（）

A.如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等

B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小

C.向量模的大小与方向有关

D.向量的模可以比较大小

2.在平行六面体ABC£M|BiG。中，下列四对向量：

①元与函；②斌与西；③硕与于；④福与瓦其中互为相反向量的有〃对,

则n等于（）

A.1B.2

C.3D.4

3.在四边形ABCC中，若的=次，Ji|AC|=|BD|,则四边形ABC。为（）

A.菱形B.矩形

C.正方形D.不确定

4.在平行六面体ABCO—AIiGDi中，M为4G与的交点.若第=a,AD=Z»,

A4=c，则下列向量中与丽相等的是（）

A.--<z+-Z>+cB.-a+-6+c

2222

C.--a--b-\-cD.-a--ft+c

2222

5.在六棱柱中，化简瓦匕一乐+标+丽+并在图中标出

化简结果的向量.

第1课时空间向量的加减法空间向量的数乘运算

新知初探•课前预习

要点一

大小方向大小模有向线段

要点二

相同相等无关相反相等平行重合

要点三

b+aQ+S+C)\X\\a\相同相反

要点四

存在唯一的实数2,使得。

［基础自测］

1.⑴J(2)V(3)X(4)X

2.解析：与而相等的向量是BiA「

答案：C

3.答案：BC

4.解析：

延长£)E交边8c于点F,则有屈+：资=屈，|玩+诟=云5+丽=扉,故魂+：阮一

-DE-AD=O.

2

答案：0

题型探究•课堂解透

例1解析：(1)|。|=步|,说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b——a,

故⑷=|旬，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；根据相等向量的定义

知D正确.故选BD.

(2)根据相等向量的定义知，与向量而相等的向量有丽CC7,DD7,与向量丽相反的

向量有由*,BA,CD,CD7.

答案：(1)BD(2)BB7,CC7,DD7BW,BA,CD,C7^.

跟踪训练1解析：因为零向量的方向是任意的，且长度为0,两个单位向量的模相等，

但方向不一定相同，故选C.

答案：C

例2解析：(1)A中，耳目一中一通=再一靠=瓯；

B中，BC+BB7-D1C1'=BC7+CiD^BD7；

c中，AD-AB-DD7=BD-W=BD-W=B7D*BD^；

D中，瓦瓦一中+西=寿+宿+西=西+宿力西.故选AB.

(2)①：点P是GA的中点，AP=AA7++|AB=a+c+i/>,

A1DI+D^P=AA7+AD

②•.,点N是BC的中点，/.AJV=AA7+AB+BN=-/iA7+AB+iAD=-a+b+^c,

③•点M是AAi的中点，MP+NC^=MA7+AiD；+D7P+NC+CC7=|a+c+|z>+jc

+a=-a+-6+-c.

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答案：(1)AB(2)见解析

跟踪训练2解析：OG=OM+MG

=iOA+-MN

23

=iOA+|(MA+AB+BN)

=—OA+—(-OA+OB-OA+-BC)

=i0A+|[OB-1OA+i(OC-OB)]

=-0A+-OB+-OC=-a+-b+-c.

633633

例3解析：(1)AD=AB+BC+CD=(ei+履2)+(5«1+4e2)+(ei+2。2)=7g+(Z+6)C2.

设AD=ZAB,则7ei+(k+6)e2=%(ei+ke2),

所以L/tlu，解得％=i.

(入k=k+6

(2)证明：•••£,H分别是边AB,AQ的中点，.\AE=|AB,AH=|AD.

则郁=AH-靠=萍_［丽="前