等比数列教学案

等比数列教学案

第2课时等比数列的性质

知能目标解读

1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.

2.理解等比数列的性质及应用.

3.掌握等比数列的性质并能综合运用.

重点难点点拨

重点：等比数列性质的运用.

难点：等比数列与等差数列的综合应用.

学习方法指导

1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成

一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数,

则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都

是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比

数列.

2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先

后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们

不妨设从等比数列｛an｝中依次取出的数为ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…，则===—

=qm（q为原等比数列的公比），所以此数列成等比数列.

3.如果数列｛an｝是等比数列，公比为q,c是不等于零的常数，那么数列｛can｝

仍是等比数列，且公比仍为q；?｛an｝?也是等比，且公比为q.我们可以设数列｛an｝

的公比为q,且满足=口,则==q,所以数列｛can｝仍是等比数列，公比为q.同理，可

证｛an｝也是等比数列，公比为q.

4.在等比数列｛an｝中,若m+n=t+s且m,n,t,sGN+则aman=atas.理由如下：因

为aman=a1qm-1a1qn-

=a21qm+n-2,atas=alqt-la1qs-l=a21qt+s-2,又因为m+n=t+s,所以

m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首

末两端相等的两项之积等于首末两项之积.

5.若｛an｝,｛bn｝均为等比数列,公比分别为ql,q2,则

(1)｛anbn｝仍为等比数列，且公比为qlq2.

(2)｛｝仍为等比数列，且公比为.

理由如下:(1)=qlq2,所以｛anbn｝仍为等比数列,且公比为qlq2；(2)

一,

所以(｝仍为等比数列，且公比为.

知能自主梳理

1.等比数列的项与序号的关系

(1)两项关系

通项公式的推广：

an=am(田、n£N+).

(2)多项关系

项的运算性质

若m+n=p+q(m、n、p、q£N+),

贝ijaman二.

特别地，若m+n=2p(m、n、p£N+),

则aman=.

2.等比数列的项的对称性

有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有

中间项则等于中间项的平方），即alan=a2=ak=a2（n为正奇数）.

［答案］1.qn-mapaqa2p

2.an-1an-k+

思路方法技巧

命题方向运用等比数列性质an=amqn-m（m、nGN+）解题

［例门在等比数列｛an｝中,若a2=2,a6=162,求alO.

［分析］解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q,再求alO.

［解析］解法一：设公比为q,由题意得

alq=2al=al=-

，解得，或.

alq5=162q=3q=-

.•.al0=alq9=X39=13122或al0=alq9=-X（-3）9=13122.

解法二：Va6=a2q4,

q4===81,

二a10=a6q4=162X81=13122.

解法三：在等比数列中，由a26=a2al0得

alO===13122.

［说明］比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求

解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数

列的问题时，要注意等比数列性质的应用.

变式应用1已知数列｛an｝是各项为正的等比数列，且qNl,试比较al+a8与

a4+a5的大小.

［解析］解法一：由已知条件al>0,q>0,且qWl,这时

(al+a8)-(a4+a5)=al(l+q7-q3-q4)=al(l-q3)(l-q4)

=al(l-q)2(l+q+q2)(l+q+q2+q3)>0,

显然，al+a8>a4+a5.

解法二：利用等比数列的性质求解.

由于(al+a8)-(a4+a5)=(al-a4)-(a5-a8)

=al(l-q3)-a5(l-q3)=(l-q3)(al-a5).

当01时，此正数等比数列单调递增，l-q3与al-a5同为负数，

:(al+a8)-(a4+a5)恒正.

Aal+a8>a4+a5.

命题方向运用等比数列性质aman=apaq(m,n,p,qEN+,且m+n=p+q)解题

［例2］在等比数列｛an｝中，已知a7al2=5,则a8a9例0all=(

)

A.10

B.25

C.50

D.

［分析］已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用

等比数列的性质会大大简化运算过程.

［答案］B

［解析］解法一：Va7al2=a8all=a9a10=5,a8a9alOal1=52=25.

解法二：由已知得alq6alqll=a21ql7=5,

a8a9a10all=alq7alq8alq9a1q10=a41q34=(a21ql7)2=25.

［说明］在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照

常规解法，往往是建立al,q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等

比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.

变式应用2在等比数列用n｝中,各项均为正数，J.a6al0+a3a5=41,a4a8=5,

求a4+a8.

［解析］Va6a10=a28,a3a5=a24,a28+a24=41.

又a4a8=5,an>0,

二a4+a8===.

探索延拓创新

命题方向等比数列性质的综合应用

［例3］试判断能否构成一个等比数列｛an｝,使其满足下列三个条件：

①al+a6=l1；②a3a4=:③至少存在一个自然数m,使am-l,am,am+l+依次成等

差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.

［分析1由①②条件确定等比数列｛an｝的通项公式，再验证是否符合条件③.

［解析］假设能够构造出符合条件①②的等比数列｛an｝,不妨设数列｛an｝的

公比为q,由条件①②及ala6=a3a4,得

al+a6=l1

al=al=

，解得，或

ala6=a6=a6=.

al=al=

从而，或.

q=2q=

故所求数列的通项为an=2n-l或an=26-n.

对于an=2nT,若存在题设要求的m,则

2am=am-l+(am+l+)，得

2(2m-1)=

2m-2+2m+，得

2m+8=0,即2m=-8,故符合条件的m不存在.

对于an=26-n,若存在题设要求的m,同理有

26-m-8=0,即26-m=8,/.m=3.

综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通项为an二26-n.

［说明］求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.

变式应用3在等差数列｛an｝中，公差dW0,a2是al与a4的等比中项，已知

数列al,a3,akl,ak2,…,akn,...成等比数列，求数歹U｛kn｝的通项kn.

［解析］由题意得a22=ala4,

即(al+d)2=al(al+3d),

又d^O,Aal=d.

an=nd.

又al,a3,ak1,ak2,...,akn,....成等比数列，

・••该数列的公比为q===3.

akn=al3n+l.

又akn=knd,/.kn=3n+l.

所以数列｛kn｝的通项为kn=3n+l.

名师辨误做答

［例4］四个实数成等比数列，且前三项之积为1,后三项之和为1,求这

个等比数列的公比.

［误解］设这四个数为aq-3,aq-l,aq,aq3,由题意得

a3q-3=l,①

aq-l+aq+aq3=l.②

由①得a=q,把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2=或q2二-(舍去)，

故所求的公比为.

［辨析］上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2,则公比为正数，

但题设并无此条件，因此导致结果有误.

［正解］设四个数依次为a,aq,aq2,aq3,由题意得

(aq)3=1,

①

aq+aq2+aq3=l.②

由①得a=q-l,把a=q-l代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q=或q=-，故所

求公比为或-.

课堂巩固训练

一、选择题

1.在等比数列｛an｝中，若a6=6,a9=9,则a3等于(

)

A.4

B.

C.

D.3?

［答案］A?

［解析］解法一：•.,a6=a3q3,

Aa3q3=6.?

a9=a6q3,

q3==.

Aa3==6X=4.

解法二：由等比数列的性质，得

a26=a3a9,

36=9a3,/.a3=4.

2.在等比数列｛an｝中，a4+a5=10,a6+a7=20,则a8+a9等于(

)

A.90

B.30

C.70

D.

［答案］D

［解析］Vq2==2,?

a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.

3.如果数列｛an｝是等比数列，那么(

)?

A.数列｛a2n｝是等比数列

B.数列｛2an｝是等比数列

C.数列｛Igan｝是等比数列

D.数列｛nan｝是等比数列

［答案］A

［解析］数列｛a2n｝是等比数列，公比为q2,故选A.

二、填空题

4.若a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为.？

［答案］1?

2b=a+c,

［解析］由题意知

b2=ac,

解得a=b=c,/.q=l.

5.在等比数列｛an｝中，公比q=2,a5=6,则a8二.？

［答案］

［解析］a8=a5q8-5=6X23=48.

三、解答题

6.已知｛an｝为等比数列,且ala9=64,a3+a7=20,求all.?

［解析］・・・｛an｝为等比数列，？

/.ala9=a3a7=64,又a3+a7=20,?

Aa3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.？

/.a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?

当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20,?

Al+q4=5,Aq4=4.?

当a3=16时,a3+a7=a3(l+q4)=20,

.\l+q4=,q4=.?

/.all=alql0=a3q8=64或1.

课后强化作业

一、选择题

1.在等比数列｛an｝中,a4=6,a8=18,则al2二(

)

A.24

B.30

C.54

D.108?

［答案］C?

［解析］Va8=a4q4,.*.q4===3,

/.al2=a8q4=54.

2.在等比数列｛an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,则a6+a7的值为(

)

A.124

B.128

C.130

D.1

［答案］B?

［解析］,/a2+a3=2,a4+a5=16,?

又a4+a5=(a2+a3)q2,

Aq2=8.?

/.a6+a7=(a4+a5)q2=16X8=128.

3.已知｛an｝为等比数列,且an〉O,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于(

)

A.5

B.10

C.15

D.20?

［答案］A?

［解析］a32=a2a4,a52=a4a6,?

a32+2a3a5+a52=25,

(a3+a5)2=25,?

XVan>0,/.a3+a5=5.

4.在正项等比数列｛an｝中，al和al9为方程x2T0x+16=0的两根，则

a8al0al2等于(

)

A.16

B.32

C.64

D.256?

［答案］C?

［解析］由已知，得alal9=16,?

又a1a19=a8a12=a102,

/.a8a12=a102=16,又an>0,?

Aal0=4,

/.a8al0al2=al03=64.

5.已知等比数列｛an｝的公比为正数，且a3a9等a25,列=1,则al=(

)?

A.

B.

C.

D.2?

［答案］B?

［解析］'/a3a9=a26,又；a3a9=2a25,?

?.a26=2a25,/.()2=2,?

/.q2=2,Vq>0,.,.q=.

又a2=l,.*.al===.

6.在等比数列｛an｝中,an>an+l,且a7ali=6,a4+al4=5,则等于(

)

A.

B.

C.

D.

［答案］A

a7all=a4al4=

［解析］•・,

a4+al4=

a4=3a4=

解得或.

a14=2al4=

又,.•an>an+l,.•.a4=3,al4=2.

・•.二二.

7.已知等比数列｛an｝中，有a3ali=4a7,数列｛bn｝是等差数列，且b7=a7,

则b5+b9等于(

)

A.2

B.4

C.8

D.

［答案］c

［解析］Va3all=a72=4a7,：a7#0,

；.a7=4,；加7=4,

：｛bn｝为等差数列,b5+b9=2b7=8.

8.已知00,且a2=l+al,a4=9+a3,则a5-a4等于.

［答案］

［解析］由题意，得a2-al=l,a4-a3=(a2-al)q2=9,

；.q2=9,又an>0,.,.q=3.?

故a5-a4=(a4-a3)q=9X3=27.

10.已知等比数列｛an｝的公比q=-，则等于.

［答案］-

［解析］=

==-3.

11.（2012株州高二期末）等比数列｛an｝中，an〉0,且a5a6=9,则

log3a2+log3a9二.

［答案］

［解析］'."an>0,Iog3a2+log3a9=log3a2a

=log3a5a6=log39=log332=2.

12.（2011广东文，11）已知｛an｝是递增等比数列，a2=2,a4-a3=4,则此数列

的公比q=.

［答案］2?

［解析］本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解

得.

解析：a4-a3=a2q2-a2q=4,?

因为因=2,所以q2-q-2=0,解得q=—1,或q=2.

因为an为递增数列，所以q=2.

三、解答题

13.在等比数列｛an｝中，已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数，求alO.

［解析］Va4a7=a3a8=-512,

a3+a8=124a3=-4a3=l

・・・，解得或.

a3a8=-512a8=128a8=一

又公比为整数，

a3=-4,a8=128,q=-2.

Aal0=a3q7=(-4)X(-2)7=512.

14.设｛an｝是各项均为正数的等比数列，bn=log2an,若

b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比数列的通项公式an.?

［解析］由bl+b2+b3=3,?

得log2(ala2a3)=3,

・・ala2a3=23=8,

Va22=ala3,・・.a2=2,又blb2b3=-3,

设等比数列｛an