八年级数学下册专题11 一次函数几何压轴训练（解析版）

专题11一次函数几何压轴训练1．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．（1）求线段OC的长；（2）当DE＝EF时，求点D的坐标；（3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值．【答案】（1）OC＝4.8；（2）；（3）．【解答】解：（1）∵直线分别交x轴，y轴于点B，A，∴当x＝0，则y＝0，故A（0，6）；当y＝0，则x＝8，故B（8，0）；∴，∵OC⊥AB，∴，即OA×OB＝OC×AB，∴6×8＝10×OC，∴OC＝4.8；（2）依题意，设点D的坐标为（0，a），∵过点D作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．且，∴当y＝a，则，解得，∴，即；过点C作CH⊥OB，由（1）知OC＝4.8，OB＝8∴根据等面积法，得，∴，则C（2.88，3.84），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（2.88，3.84）代入y＝kx，解得，∴直线OC的解析式为，则点，∴，∵DE＝EF，∴，解得，∴；（3）如图：在OB上取点H，OH＝AC，连接MH，∵C（2.88，3.84），A（0，6），B（8，0），∠AOB＝90°，∴AB＝10，∵直线l过点C，∴D（0，3.84），∴AD＝6﹣3.84＝2.16，∴，∵OM＝CN，∠ACN＝∠HOM，AC＝OH，∴△ACN≌△HOM（AAS），∴AN＝HM，OH＝AC＝3.6∵要求线段AN+AM的最小值，∴要求出HM+AM最小值，则点A，M，H三点共线时，则有最小值，此时最小值＝．2．（2023秋•和平县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx+与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C（2，0）．（1）求直线AB和AC的表达式．（2）点P是y轴上一点，当PA+PC最小时，求点P的坐标．（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．【答案】见解析．【解答】解：（1）把B（﹣3，0）代入y＝kx+，∴﹣3k+＝0，∴k＝，∴直线AB的函数表达式为：y＝x+，把点C（2，0）代入y＝﹣2x+b，∴﹣4+b＝0，∴b＝4，∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣2x+4；（2）作A关于y轴的对称点A′，连接A′C与y轴的交点即为P点，如图：当﹣2x+4＝x+时，解得x＝1，将x＝1，代入y＝﹣2x+4，解得：y＝2．所以A的坐标为：A（1，2）作A关于y轴的对称点A′，则A′坐标为：A′（﹣1，2），∵A′（﹣1，2），C（2，0）；∴设A′C所在直线解析式为：y＝mx+n，将A′，C代入得：，解得：，即解析式为：y＝﹣x+，令x＝0，y＝，即P点坐标为：P（0，）．（3）△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：①当∠EDF＝90°时，如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE＝＝135°，∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°，过点A作AG⊥BC于G，∴AG＝DG＝2，∵OG＝1，∴OD＝1，∴D（﹣1，0）；②当∠ADE＝90°时，如图所示：由图可知：BC＝OB+OG＝4，AF＝2，F（1，0），OG＝1，由对折得，AE＝AB＝2，BD＝DE，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣2，设DF＝a，BD＝4﹣a，则DE＝4﹣a，由勾股定理可知：DF2+EF2＝DE2，a2+＝（4﹣a）2，解得：a＝﹣1，∴BD＝4﹣（﹣1）＝5﹣，∴OD＝OB﹣BD＝3﹣（5﹣）＝﹣2，∵D在x轴负半轴，∴D（2﹣，0）．综上所述：D点坐标为：（﹣1，0）或（2﹣，0）．3．（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直线l2的函数表达式；（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．【答案】（1）y＝2x﹣4；（2）点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（3）△BCF是等腰直角三角形，理由见解析．【解答】解：（1）y＝x+2，令y＝0，则0＝x+2得，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∴OA＝4，∵OA＝2OB，∴OB＝2，∴B（2，0），设直线l2的函数表达式为：y＝kx+b，将D（0，﹣4）、B（2，0）分别代入y＝kx+b得：，解得，∴直线l2的函数表达式为：y＝2x﹣4；（2）∵点C是直线l1和l2的交点，∴，解得，∴C（4，4），∵A（﹣4，0），B（2，0），∴AB＝6．∴△ABC的面积为：×AB×yC＝×6×4＝12，∵S△ABC＝2S△BCE，∴S△BCE＝6，设E（m，0），∴S△BCE＝×4×|m﹣2|＝6，∴m＝﹣1或5，∴点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（3）△BCF是等腰直角三角形，理由如下：设直线l1：y＝x+2与y轴相交于点N，过点C作CM∥x轴，∴∠MCA＝∠CAO，CM⊥y轴，N（0，2），∵∠ACF＝2∠CAO，∴∠MCA＝∠MCF＝∠CAO，∵A（﹣4，0），C（4，4），∴OA＝MC＝4，∵∠CMF＝AON，∴△AON≌△CMF（ASA），∴MF＝ON＝2，∴F（0，6），∴CF2＝42+（6﹣4）2＝20，CB2＝42+（4﹣2）2＝20，FB2＝22+62＝40，∴CF2+CB2＝FB2，CF＝CB，∴△BCF是等腰直角三角形．4．（2023秋•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．（1）求线段AC的长；（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）9；（2）S＝×3×|6﹣t|＝|6﹣t|，t＞0且t≠6；（3）t的值为或5．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，y＝3，∴B（0，3），把y＝0代入y＝﹣x+3，x＝3，∴A（3，0），∴AO＝3，∵CO＝2AO，∴CO＝6，∴C（﹣6，0）；∴AC＝6+3＝9；（2）∵C（﹣6，0），动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，∴CP＝t，∴P（﹣6+t，0），∴OP＝|6﹣t|，∴S＝×3×|6﹣t|＝|6﹣t|，t＞0且t≠6；（3）存在点D，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，理由如下：如图1，当∠PBD＝90°时，过点B作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于G点，过点P作PH⊥GH交于H点，∵∠PBD＝90°，∴∠DBG+∠PBH＝90°，∵∠GBD+∠BDG＝90°，∴∠PBH＝∠BDG，∵BD＝BP，∴△BDG≌△PGH（AAS），∴GB＝PH＝3，GD＝BH＝t﹣6，∴D（﹣3，9﹣t），设直线BC的解析式为y＝kx+3，∴﹣6k+3＝0，解得k＝，∴直线BC的解析式为y＝x+3，∴9﹣t＝﹣+3，解得t＝；如图2，当∠PBD＝90°时，过点D作DM⊥x轴交于M点，同理可得△PDM≌△BPO（AAS），∴DM＝OP＝6﹣t，MP＝OB＝3，∴D（t﹣9，6﹣t），∴6﹣t＝（t﹣9）+3，解得t＝5；综上所述：t的值为或5．5．（2023秋•金牛区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，S△AOB＝4，点C（3，m）是直线AB上一点，在直线AB左侧过点C的直线交y轴于点D，交x轴于点E．（1）求m和b的值；（2）当∠ACD＝45°时，求直线CD的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CM⊥x轴，在直线AC上一点P，直线CD上一点Q，直线CM上一点H，当四边形AHQP为菱形时，求P点的坐标．【答案】（1）m的值为2，b的值为﹣4；（2）直线CD的解析式为y＝x+1；（3）P点的坐标为（，3﹣3）或（，﹣3﹣3）．【解答】解：（1）∵直线y＝2x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴B（0，b），A（﹣，0），∵S△AOB＝OA•OB＝4，∴×（﹣）×（﹣b）＝4，解得b＝﹣4或4（舍去），∴b的值为﹣4，∴直线y＝2x+b＝2x﹣4，∵点C（3，m）是直线AB上一点，∴m＝2×3﹣4＝2，∴m的值为2；（2）∵b的值为﹣4，m的值为2，∴B（0，﹣4），A（2，0），C（3，2），过点A作AM⊥CD于M，过点M作MR⊥x轴于R，过点C作CT⊥MR于T，设M（m，n），∴∠ARM＝∠MTC＝90°，∠AMC＝90°，∵∠ACD＝45°，∠AMR+∠MAR＝∠AMR+∠CMT＝90°，∴∠ACD＝∠CAM＝45°，∠MAR＝∠CMT，∴AM＝MC，∴△AMR≌△MCT（AAS），∴AR＝MT＝2﹣m＝2﹣n，MR＝CT＝n＝3﹣m，∴n＝，m＝，∴M（，），设直线CD的解析式为y＝rx+t，∴，解得，∴直线CD的解析式为y＝x+1；（3）如图2，设P（p，2p﹣4），∵A（2，0），CM⊥x轴，直线CM上一点H，∴点H的横坐标为3，∵四边形AHQP为菱形，∴Q（p+1，p+），H（3，p），AP＝AH，∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2＝（3﹣2）2+（p）2，解得p＝或，∴P点的坐标为（，3﹣3）或（，﹣3﹣3）．6．（2023秋•咸阳期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，8）．（1）求该一次函数的表达式；（2）点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）在该一次函数的图象上存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全等；点P的坐标为（6，16）或（4.8，14.4）．【解答】解：（1）把A（﹣6，0），B（0，8）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为：；（2）在该一次函数的图象上存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全等，理由如下：∵A（﹣6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴，当△AOB≌△PCB时，如图1所示：∵△AOB≌△PCB，∴∠BCP＝∠AOB＝90°，PC＝OA＝6，BC＝OB＝8，∴OC＝OB+BC＝8+8＝16，∴此时点P的坐标为：（6，16）；当△AOB≌△CPB时，过点P作PQ⊥y轴，如图2所示：∵△AOB≌△CPB，∴PB＝OB＝8，PC＝OA＝6，BC＝10，∠CPB＝90°，∵S△PBC＝BC×PQ＝PC×PB，∴PQ＝＝＝4.8，把x＝4.8代入得：y＝×4.8+8＝14.4，∴此时点P的坐标为：（4.8，14.4）；综上分析可知，点P的坐标为：（6，16）或（4.8，14.4）．7．（2023秋•历城区期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（3，0），B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D．（1）分别求直线AB和BD的函数表达式．（2）在线段BD上是否存在点E，使△ABE的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直线AB解析式：y＝﹣x+b且过点A（3，0），∴﹣3+b＝0，∴b＝3，∴y＝﹣x+3，∴B（0，3），由已知得点D为（6，0），设直线BD为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BD的解析式为；（2）存在．理由如下：∵S△BOD＝OB•OD＝×3×6＝9，S△AOB＝OA•OB＝×3×3＝，∴S△ADE＝S△BOD﹣S△AOB﹣S△ABE＝9﹣﹣＝3，又∵S△ADE＝AD•yE＝yE，∴yE＝2，将y＝2代入，得x＝2，∴点E为（2，2）；（3）K点的位置不发生变化．理由如下：如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA＝m，∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，∴∠OPB＝∠PQC，∵PB＝PQ，∴△BOP≌△PCQ（AAS），∴BO＝PC＝3，OP＝CQ＝3+m，∴AC＝3+m＝QC，∴∠QAC＝∠OAK＝45°，∴OA＝OK＝3，∴K（0，﹣3）．8．（2023秋•江门期末）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足+（a﹣4）2＝0．（1）a＝4，b＝﹣4；（2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．【答案】（1）4，﹣4；（2）P（0，﹣1）；（3）4．【解答】解：（1）∵+（a﹣4）2＝0，且≥0，（a﹣4）2≥0，∴a+b＝0，a﹣4＝0，∴a＝4，b＝﹣4．故答案为：4，﹣4；（2）∵a＝4，b＝﹣4，则OA＝OB＝4．∵AH⊥BC于H，∴∠OAP+∠OPA＝∠BPH+∠OBC＝90°，∴∠OAP＝∠OBC，在△OAP与△OBC中，，∴△OAP≌△OBC（ASA），∴OP＝OC＝1，则P（0，﹣1）；（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变．S△BDM﹣S△ADN＝4．连接OD，则OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，∠OAD＝45°∴OD＝AD，∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA，在△ODM与△ADN中，，∴△ODM≌△ADN（ASA），∴S△ODM＝S△ADN，∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO•BO＝××4×4＝4．9．（2023秋•简阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+8分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）点D为直线AB上一点，且∠DCA＝∠DAC，求直线CD的解析式；（3）若点Q是x轴上一点，连接BQ，将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴上时，求点Q的坐标．【答案】（1）C（﹣，0）；（2）直线CD的解析式为y＝x+；（3）点Q的坐标为（，0）或（﹣24，0）．【解答】解：（1）设C（﹣m，0），m＞0，∵直线AB：y＝﹣x+8分别交x轴、y轴于点A，B，∴A（6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝10，BC＝，AC＝m+6，∴S△ABC＝AB•BC＝AC•OB，∴10×＝8（m+6），解得m＝，∴C（﹣，0）；（2）过点D作DE⊥x轴于E，∵∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∴AE＝CE，∵A（6，0），C（﹣，0），∴E（﹣，0），∵点D为直线AB上一点，∴D（﹣，），设直线CD的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线CD的解析式为y＝x+；（3）设点Q的坐标为（q，0）．将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴负半轴上时，设点A落在y轴负半轴的点A′处，如图所示：根据折叠的性质可得：QA＝QA′，AB＝A′B＝10，B（0，8），∴A′（0，﹣2），∴QA′＝2，在Rt△OA′Q中，A′Q2＝OA′2+OQ2，∴（6﹣q）2＝22+q2，解得q＝，∴点Q的坐标为（，0）；将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y轴正半轴上时，设点A落在y轴正半轴的点A′处，如图所示：′根据折叠的性质可得：QA＝QA′，A′B＝AB＝10，B（0，8），∴A′（0，18），∴QA′＝QA＝6﹣q，在Rt△OA′Q中，A′Q2＝OA′2+OQ2，∴（6﹣q）2＝182+q2，解得q＝﹣24，∴点Q的坐标为（﹣24，0）；综上，点Q的坐标为（，0）或（﹣24，0）．10．（2023秋•天桥区期末）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）请写出点A坐标（﹣6，0），点B坐标（0，3），直线BC的函数解析式y＝﹣x+3；；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．【答案】（1）A（﹣6，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）①（，3﹣）或（﹣，3+）；②（﹣，）或（，）．【解答】解：（1）对于y＝x+3，由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵点C与点A关于y轴对称．∴C（6，0）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；故答案为：A（﹣6，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），过点B作BD⊥PQ与点D，则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，故点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）；②如图2，当点M在y轴的左侧时，∵点C与点A关于y轴对称，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°，∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，设M（x，0），则P（x，x+3），∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，∴P（﹣，），如图2，当点M在y轴的右侧时，同理可得P（，），综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．11．（2023秋•万州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，若点M是直线AC上的一动点，当S△ABM＝2S△AOC时，求点M的坐标；（3）将直线AB向右平移3个单位长度得到直线l，若点E为平移后直线l上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点，AE为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x+2；（2）M（2，4）或（﹣6，﹣4）；（3）存在，点F的坐标为：（，）或（﹣，）或（2，0）．【解答】解：（1）由直线AB的表达式知，点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，4），∵C是BO中点，∴C（0，2），设直线AC的表达式为：y＝kx+2，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣2k+2，解得：k＝1，∴直线AC的解析式：y＝x+2；（2）∵S△AOC＝×2×2＝2，且C是OB中点，∴S△ABM＝2S△AOC＝4，S△ABC＝×2×2＝2，设M（x，x+2），①当M在C点右侧，∵S△ABM＝S△ABC+S△BCM，∴4＝2+×2×x，∴x＝2，∴M（2，4）；②当M在点C左侧，S△BCM＝S△ABC+S△ABM，∴×2×（﹣x）＝2+4，∴x＝﹣6，∴M（﹣6，﹣4），∴M（2，4）或（﹣6，﹣4）；（3）存在，理由：由题意得，直线l的表达式为：y＝2（x﹣3）+4＝2x﹣2，设点E（m，2m﹣2）、点F（s，t），当AF为对角线时，由中点坐标公式和AC＝AE得：，解得：或，即点F（，）或（2，0）；当AC为对角线时，由中点坐标公式和AE＝AF得：，解得：，即点F（﹣，），综上，点F的坐标为：（，）或（﹣，）或（2，0）．12．（2022秋•盐都区期末）如图，直线AB：y＝x+b分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为（−4，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝4：3．（1）求直线BC的函数表达式；（2）在x轴上方是否存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等．若存在，画出△ABD，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P是y轴上的一点，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折，当点B的对应点B′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线CP的函数表达式．【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）点D的坐标为（﹣7，4）或（﹣4，7）；（3）y＝﹣x+或y＝2x﹣6．【解答】解：（1）∵直线AB：y＝x+b过点A（﹣4，0），∴0＝﹣4+b，∴b＝4．当x＝0时，y＝x+b＝b＝4，∴点B的坐标为（0，4），即OB＝4．∵OB：OC＝4：3，∴OC＝3．∵点C在x轴正半轴，∴点C的坐标为（3，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0），将B（0，4）、C（3，0）代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+4；（2）分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑（如图1）：①当△BAD≌△ABC时，∵OA＝OB＝4，∴∠BAC＝45°．∵△BAD≌△ABC，∴∠ABD＝∠BAC＝45°，BD＝AC＝7，∴BD∥AC，∴点D的坐标为（﹣7，4）；②当△ABD≌△ABC时，∠BAD＝∠BAC＝45°，AD＝AC＝7，∴∠DAC＝90°，∴点D的坐标为（﹣4，7）．综上所述，点D的坐标为（﹣7，4）或（﹣4，7）；（3）依照题意画出图形，如图2所示．由翻折得，PB＝PB′，B′C＝BC，∵OB＝4，OC＝3，∴B′C＝BC＝＝5，∴OB′＝5﹣3＝2或OB′＝5+3＝8，∴设OP＝x，则PB＝PB′＝4﹣x或4+x．在Rt△POB′中，∠POB′＝90°，∴OP2+OB′2＝PB′2，即x2+22＝（4﹣x）2或x2+82＝（4+x）2，解得：x＝或x＝6，∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣6），设直线CP的函数表达式为y＝mx+n，∴或，解得或，∴直线CP的函数表达式为y＝﹣x+或y＝2x﹣6．13．（2023春•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l1交于点D（2，m）．（1）求直线l2的解析式；（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．【答案】（1）y＝x+2；（2）（﹣2，7）；（3）（2，0）或（2，6）或（﹣2，4）．【解答】解：（1）∵当x＝2时，y＝﹣2+5＝3＝m，∴D（2，3）．设直线l2的解析式为y＝kx+b，由题意得：，解得：．∴直线l2的解析式为y＝x+2．（2）∵EF⊥x轴，∴G，E的横坐标相同．设G（n，﹣n+5），则E（n，n+2）．∵E为线段BC上一个动点，∴﹣n+5＞0，n+2＞0，∴FG＝﹣n+5，FE＝n+2．∴EG＝FG﹣FE＝﹣n+3＝6．解得：n＝﹣2．∴G（﹣2，7）．（3）如图，当四边形AHCD为平行四边形时，令x＝0，则y＝，∴C（0，2）．∵CH∥AD，∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2．令x＝0，则y＝﹣1×0+5＝5，∴A（0，5）．∵AH∥CD，∴直线AH的解析式为：y＝x+5．∴．解得：．∴H（﹣2，4）．如图，当四边形AHDC为平行四边形时，∵DH∥AC，∴直线DH的解析式为x＝2，∵AH∥DC，∴直线AH的解析式为y＝x+5，∴当x＝2时，y＝×2+5＝6，∴H（2，6）．当四边形ADHC为平行四边形时，如图，∵DH∥AC，∴直线DH的解析式为x＝2，∵CH∥AD，∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2，当x＝2时，y＝﹣2+2＝0，∴H（2，0）．综上，存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为：（2，0）或（2，6）或（﹣2，4）．14．（2022春•潮阳区期末）如图，直线y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B，（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；（3）点D是x轴上一点，∠BAO＝2∠DBO，求点D的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）对于直线y＝x﹣3，令x＝0，得到y＝﹣3，∴B（0，﹣3）．令y＝0，得到x＝4，∴点A为（4，0），点B为（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5．（2）设OC＝x，则BC＝BO+OC＝x+3，即AC＝BC＝x+3，在Rt△AOC中，∵AC2＝OC2+AO2，∴x2+42＝（x+3）2，∴x＝，∴点C坐标为（0，）．（3）如图，当点D在x轴的负半轴上时，∵∠BAO＝2∠DBO，∴∠ABD＝∠DBO+∠ABO＝∠BAO+90°﹣∠BAO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣∠DBO＝∠ADB，∴AD＝AB＝5，∴OD＝5﹣4＝1，∴D（﹣1，0），根据对称性可知，当点D在x轴的正半轴上时，D′（1，0）．综上所述，满足条件的点D坐标为（﹣1，0）或（1，0）．15．（2023春•武穴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，求点F的坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，∴令y＝0，则3x﹣6＝0，∴x＝2，∴D（2，0）；（2）如图1，∵直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，∴令y＝0．∴x+2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），由（1）知，D（2，0），∴AD＝4，联立直线l1，l2的解析式得，，解得，，∴C（4，6），∴S△ACD＝AD•|yC|＝×4×6＝12，∵S△ACE＝S△ACD，∴S△ACE＝12，直线l1与y轴的交点记作点B，∴B（0，2），设点E（0，m），∴BE＝|m﹣2|，∴S△ACE＝BE•|xC﹣xA|＝|m﹣2|×|4+2|＝3|m﹣2|＝12，∴m＝﹣2或m＝6，∴点E（0，﹣2）或（0，6）；（3）如图2，①当点F在直线l1上方时，∵以A、P、F为顶点的三角形与△APD全等，∴Ⅰ、当△APF'≌△APD时，连接DF'，BD，由（2）知，B（0，2），由（1）知，A（﹣2，0），D（2，0），∴OB＝OA＝OD，∴∠ABO＝∠DBO＝45°，∴∠ABD＝90°，∴DB⊥l1，∵△APF'≌△APD，∴PF'＝PD，AF'＝AD，∴直线l1是线段DF'的垂直平分线，∴点D，F'关于直线l1对称，∴DF'⊥l1，∴DF'过点B，且点B是DF'的中点，∴F'（﹣2，4），Ⅱ、当△PAF≌△APD时，∴PF＝AD，∠APF＝∠PAD，∴PF∥AD，∵点D（2，0），A（﹣2，0），∴点D向左平移4个单位，∴点P向左平移4个单位得，F（1﹣4，3），∴F（﹣3，3），②当点F在直线l1下方时，∵△PAF''≌△APD，由①Ⅱ知，△PAF≌△APD，∴△PAF≌△PAF''，∴AF＝AF''，PF＝PF''，∴点F与点F'关于直线l1对称，∴FF''⊥l1，∵DF'⊥l1，∴FF''∥DF'，而点F'（﹣2，4）先向左平移一个单位，再向下平移一个单位，∴D（2，0），向左平移1个单位，再向下平移一个单位得F''（2﹣1，0﹣1），∴F''（1，﹣1），当点F与点P重合时，符合题意，即F（2，0），即：点F的坐标为（﹣3，3）或（﹣2，4）或（1，﹣1）或（2，0）．16．（2023春•淅川县期末）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．①求点C和点D的坐标；②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）①点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1）；②存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）或（5，）．【解答】解：（1）将A（6，0），B（0，3）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+3；（2）①∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE．在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS），∴OC＝DE，BO＝CE＝3．设OC＝DE＝m，则点D的坐标为（m+3，m），∵点D在直线AB上，∴m＝﹣（m+3）+3，∴m＝1，∴点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1）；②存在，设点Q的坐标为（n，﹣n+3）．分两种情况考虑，当CD为边时，∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，∴0﹣n＝4﹣1或n﹣0＝4﹣1，∴n＝﹣3或n＝3，∴点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）；当CD为对角线时，∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，∴n+0＝1+4，∴n＝5，∴点Q″的坐标为（5，）．综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）或（5，）．17．（2023春•拜泉县期末）综合与探究．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为B（2a，a）．（1）A（0，4），C（8，0）．（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）．（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（0，4），（8，0）；（2）y＝2x﹣6；（3）存在，N的坐标为（3，﹣5）或（﹣3，0）．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，B（2a，a）∴OA＝BC＝a，AB＝OC＝2a，则，∴a＝4，则2a＝8，∴A（0，4），C（8，0），故答案为：（0，4），（8，0）；（2）连接AD，CE，∵矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，∴DE是AC的垂直平分线，AF＝CF，AB∥OC，则∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，∴AD＝CD，AE＝CE，△EAF≌△DCF（AAS），∴AE＝CD，则四边形ADCE是菱形，∴AD＝CD＝AE＝CE，设OD＝x，则AD＝CD＝8﹣x，在Rt△AOD中：AD2＝OA2+OD2，即（8﹣x）2＝x2+16，解得：x＝3，∴OD＝3，CD＝AE＝5，∴D（3，0），E（5，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b，将D、E坐标代入得：，解得：，∴直线DE的解析式为y＝2x﹣6．（3）设M（0，m），∵OA＝4，OD＝3，∴，①当AM＝AD时，即|4﹣m|＝5，解得：m＝﹣1（m＝9时，点N在x轴上方，舍去）∴M（0，﹣1），由中点坐标可得：，得，即：N（3，﹣5）；②当DM＝AD时，，解得：m＝﹣4（m＝4时，点M与点A重合，舍去），∴M（0，﹣4），由中点坐标可得：，得，即：N（﹣3，0）；③当MA＝MD时，MA＝DM＝|4﹣m|，由勾股定理可得：DM2＝OM2+OD2，即（4﹣m）2＝m2+32，解得：，此时点N在x轴上方，故不符合题意，综上，当N的坐标为（3，﹣5）或（﹣3，0）时，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形．18．（2023春•唐县期末）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．【答案】（1）证明过程见解析；（2）（5，2）；（2）（6，0）．【解答】（1）证明：∵在△ABE和△ECD中，，∴△ABE≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，在Rt△EDC中，∠C＝90°，∴∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠AEB+∠DEC＝90°．∵∠AEB+∠DEC+∠AED＝180°，∴∠AED＝90°．∴△AED是等腰直角三角形；（2）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图2，则∠AHC＝90°．∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．在△AOB和△CHA中，，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴AO＝CH，OB＝HA，∵A（2，0），B（0，3），∴AO＝2，OB＝3，∴AO＝CH＝2，OB＝HA＝3，∴OH＝OA+AH＝5，∴点C的坐标为（5，2）；（3）解：如图3，过点B作BE⊥AB，交AD于点E，过点E作EF⊥OD，交OD于点F，把x＝0代入y＝﹣2x+2中，得y＝2，∴点A的坐标为（0，2），∴OA＝2，把y＝0代入y＝﹣2x+2，得﹣2x+2＝0，解得x＝1，∴点B的坐标为（1，0），∴OB＝1，∵AO⊥OB，EF⊥BD，∴∠AOB＝∠BFE＝90°，∵AB⊥BE，∴∠ABE＝90°，∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∠ABO+∠EBF＝90°，又∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠EBF，在△AOB和△BFE中，，∴△AOB≌△BFE（AAS），∴BF＝OA＝2，EF＝OB＝1，∴OF＝3，∴点E的坐标为（3，1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，由题意可得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，令y＝0，解得x＝6，∴D（6，0）．19．（2023春•新罗区期末）数形结合作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子|a﹣b|表示．研一研：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足（a﹣6）2+|b﹣4|＝0．（1）直接写出以下点的坐标：A（6，0），B（0，4）．（2）若点P、点Q分别是y轴正半轴（不与B点重合）、x轴负半轴上的动点，过Q作QC∥AB，连接PQ．已知∠BAO＝34°，请探索∠BPQ与∠PQC之间的数量关系，并说明理由．（3）已知点D（3，2）是线段AB的中点，若点H为y轴上一点，且，求S△AHD＝S△AOB，求点H的坐标．【答案】（1）6，4；（2）∠BPQ+∠PQC＝236°，理由见解答过程；（3）H（0，）或（0，﹣）．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|b﹣4|＝0，∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，解得a＝6，b＝4，故答案为：6，4；（2）∠BPQ+∠PQC＝236°，理由如下：设QC交y轴于点M，∵∠BAO＝34°，∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝56°，∵QC∥AB，∴∠PMQ＝∠ABO＝56°，∵∠BPQ＝∠PQM+∠PMQ＝（180°﹣∠PQC）+∠PMQ＝236°﹣∠PQC，即∠BPQ+∠PQC＝236°；（3）设H（0，m），过D点作DN⊥y轴于N，∵D（3，2），A（6，0），B（0，4），∴OB＝4，ON＝2，OA＝6，DN＝3，∵S△AHD＝S△AOB＝××4×6＝8，∴S△ABH﹣S△BHD＝8，即BH•OA﹣BH•DN＝8，∴BH＝16÷（OA﹣DN）＝16÷（6﹣3）＝，∴m＝＝或m＝4﹣，即H（0，）或（0，﹣）．20．（2023春•红安县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+8分别交x轴，y轴于点A，B，点A（8，0）．直线l2：经过线段AB的中点Q，分别交x轴，y轴于点C，D．（1）请直接写出k的值；（2）请求出直线l2的解析式；（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作PE∥y轴交l1，l2于点E，F；当EF＝2EP时，求t的值．【答案】（1）k＝﹣1；（2）y＝x+2；（3）t＝20，或t＝；【解答】解：（1）∵A（8，0）过直线l1：y＝kx+8，∴0＝k×8+8，解得：k＝﹣1，∴k＝﹣1；（2）∵l1：y＝﹣x+8分别交x轴，y轴于点A，B，∴B（0，8），∵AB的中点Q，A（8，0），∴Q（）即Q（4，4），∵l2：y＝x+b过Q点，∴4＝×4+b，解得：b＝2，∴l2：y＝x+2；（3）∵P（t，0）为x轴上一动点，过点P作PE∥y轴交l1：y＝﹣x+8，l2：y＝x+2于点E，F；∴E（t，﹣t+8），F（t，t+2），∴EF＝＝，EP＝，当EF＝2EP时，＝2，解得：t＝20，或t＝；21．（2023春•樊城区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线y2＝kx交于P（2，1），且PO＝PA．（1）求点A的坐标；（2）求函数y1，y2的解析式；（3）点D为直线y1＝ax+b上一动点，其横坐标为t（t＜2），DF⊥x轴于点F，交y2＝kx于点E，且DF＝2EF，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线y＝mx+n将四边形OBDE分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2．若≤2，直接写出m的取值范围．【答案】（1）A（4，0）．（2），．（3）或（﹣4，4）．（4）．【解答】解：（1）如图，过点P作PQ⊥OA于Q，∵PO＝PA，PQ⊥OA，P（2，1），∴OQ＝QA＝2，∴OA＝4，点A（4，0）．（2）把P（2，1）代入y＝kx中，得2k＝1，解得，则，把A（4，0），P（2，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴．（3）∵点D的横坐标为t，分别代入y1，y2中，得，，∴，，F（t，0），∵DE＝2EF，∴|﹣|＝2||，当时，解得，∴，当时，解得t＝﹣4，∴D（﹣4，4）．（4）由（3）可得：，，，在中，令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），∵直线y＝mx+n过点P（2，1），∴1＝2m+n，即n＝1﹣2m，∴y＝mx+1﹣2m，如图，设直线y＝mx+1﹣2m与y轴交于点Q，与直线DE交于点R，令x＝0，则y＝1﹣2m，∴Q（0，1﹣2m），令，则，∴，∴，BQ＝2﹣（1﹣2m）＝1+2m，∵过点P的直线y＝mx+n将四边形OBDE分为两部分，且，∴四边形BDRQ的面积为四边形OBDE的或，∵，，∴或，解得或，∴m的范围是．22．（2023春•松北区期末）如图，直线y＝x+10交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝kx+b过点A，交y轴于点C，且C为线段OB的中点．（i）求k、b的值；（2）点P为线段AC延长线上一点，连接PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点D在线段AO的延长线上，连接CD、PD，且，点E在AD上，且∠DPE＝45°，过点C作CF∥PE，交x轴于点F，若AF＝DE，求P点的坐标．【答案】（1），b＝5（2）S＝t+25；（3）P（4，7）．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝10，∴B（0，10），∴OB＝10，∵C为线段OB的中点，∴C（0，5），当y＝0时，x＝﹣10，∴A（﹣10，0），将点A、C代入y＝kx+b，∴，解得；（2）∵BC＝5，∴S△PAB＝×BC×（xP﹣xA）＝×（t+10）＝t+25，∴S＝t+25；（3）过点A作AM∥PD，延长CF与AM交于点M，∵CF∥PE，∴∠PED＝∠CFD，∵∠AFM＝∠CFD，∴∠AFM＝∠PED，∵AM∥PD，∴∠FAM＝∠PDE，∵AF＝ED，∴△PED≌△MFA（ASA），∴∠M＝∠EPD＝45°，过点D作PN⊥CP交于点N，设∠APE＝α，∵CF∥PE，∴∠ACF＝α，∵，∴∠CDN＝∠CDP，∴ND是∠CDP的角平分线，∴CD＝DP，∴∠PCD＝45°+α，∴∠ACD＝135°﹣α，∵∠CAM＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，∴∠ACD＝∠CAM，∵AC＝AC，∠ACD＝∠CAM，AM＝CD，∴△AMC≌△CDA（SAS），∴∠CDA＝∠M＝45°，∴CO＝DO＝5，∴D（5，0），设P（m，m+5），∴PD＝＝5，解得m＝0（舍）或m＝4，∴P（4，7）．23．（2023春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点．直线交线段AB于点C（1，m），且S△AOB＝2S△BOC．（1）求b的值；（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）b＝4；（2）存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形，点E的坐标为（﹣2，3）或（2，4）．【解答】解：（1）将点C（1，m）代入y＝x+得，m＝×1+＝2，∴点C（1，2），把点C（1，2）代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2+b，∴b＝4；（2）设点D（0，m），∵直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点，b＝4．∴A（2，0），B（0，4），①当AB为矩形的边时，如图1，∵四边形ABED是矩形，∴∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，AD2+AB2＝BD2，∴m2+22+22+42＝（4﹣m）2，解得m＝﹣1，∴点D（0，﹣1），∵A（2，0），B（0，4），∴点E的坐标为（﹣2，3）；②当AB为矩形的对角线时，如图2，∵四边形ADBE是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴m2+22+（4﹣m）2＝22+42，解得m＝0或4（舍去），∴点D（0，0），∵A（2，0），B（0，4），∴点E的坐标为（2，4）；综上，存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形，点E的坐标为（﹣2，3）或（2，4）．24．（2023春•台江区期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为直线AB上的一个动点，过点P分别作PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，如图所示．（1）若点P为线段AB的中点，求OP的长；（2）若四边形PEOF为正方形时，求点P的坐标；（3）点P在AB上运动过程中，EF的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．【答案】（1）OP的长为；（2）P（12，12）或（﹣，）；（3）P在AB上运动过程中，EF的长有最小值，EF的长最小值为．【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，3），∵点P为线段AB的中点，∴P（﹣2，），∴OP＝＝，∴OP的长为；（2）设P（m，m+3），∴PE＝|m|，PF＝|m+3|，∵∠PFO＝∠PEO＝∠EOF＝90°，∴PE＝PF时，四边形PEOF为正方形，∴|m|＝|m+3|，即m＝m+3或﹣m＝m+3，解得m＝12或m＝﹣，经检验，m＝12，m＝﹣均符合题意，∴P（12，12）或（﹣，）；（3）点P在AB上运动过程中，EF的长有最小值，理由如下：连接OP，如图：∵∠PFO＝∠PEO＝∠EOF＝90°，∴四边形PEOF为矩形，∴EF＝OP，∴当OP最小时，EF最小，此时OP⊥AB，∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝＝5，∵2S△AOB＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝＝，∴EF的长最小值为．25．（2023春•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣3），与直线CD交于点A（m，3）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝2x﹣3；（2）点E的坐标为（5，1）或（1，5）；（3）存在，点Q的坐标为（﹣，），（9，6）或（，﹣﹣3）．【解答】解：（1）∵点A（m，3）在直线y＝﹣x+6上，∴﹣m+6＝3解得m＝3，∴点A的坐标为（3，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣3；（2）设点E的坐标为（a，﹣a+6），∵EF∥y轴，点F在直线y＝2x﹣3上，∴点F的坐标为（a，2a﹣3），∴EF＝|﹣a+6﹣（2a﹣3）|＝|﹣3a+9|，∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC，∴EF＝OC，∵直线y＝﹣x+6与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，6），∴OC＝6，即|﹣3a+9|＝6，解得：a＝5或a＝1，∴点E的坐标为（5，1）或（1，5）；（3）如图2，当BC为对角线时，PQ是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，∵B（0，﹣3），C（0，6），∴点P的纵坐标为，将y＝代入y＝﹣x+6中，得﹣x+6＝，∴x＝，∴P（，），∴Q（﹣，）；如图3，当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），∴BQ的中点坐标为（，），代入直线y＝﹣x+6中，得﹣+6＝①，∵CQ＝CB，∴m2+（n﹣6）2＝（6+3）2②，联立①②得，（舍）或，∴Q（9，6）；如图4，当PB是对角线时，PC＝BC＝9，设P（c，﹣c+6），∴c2+（﹣c+6﹣6）2＝81，∴c＝﹣（舍）或c＝，∴P（，6﹣），∴Q（，﹣﹣3），综上，存在，点Q的坐标为（﹣，），（9，6）或（，﹣﹣3）．26．（2022秋•新都区期末）如图所示，直线l1：y＝x﹣1与y轴交于点A，直线l2：y＝﹣2x﹣4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A，C的坐标；（2）点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC＝S△ABC且异于点A的点P的坐标；（3）点D（2，0）为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出|DQ﹣BQ|的最大值．【答案】（1）点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）（﹣2，﹣3）；（3）|DQ﹣BQ|的最大值为．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x﹣1，令x＝0，y＝﹣1，∴点A的坐标为（0，﹣1），联立直线l1：y＝x﹣1与直线l2：y＝﹣2x﹣4得，解得，∴点C的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）如图，直线l1：y＝x﹣1，令y＝0，0＝x﹣1，∴x＝1，∴点M的坐标（1，0），直线l2：y＝﹣2x﹣4，令y＝0，0＝﹣2x﹣4，∴x＝﹣2，∴点B的坐标（﹣2，0），∴BM＝3，∴S△ABC＝S△MBC﹣S△ABM＝×3×2﹣××3×1＝，∵S△PBC＝S△ABC，∴S△PBC＝S△MBP﹣S△CBM＝×3×|yP|﹣××3×2＝，∴|yP|＝3，∵点P在直线l1上运动，∴x﹣1＝±3，解得x＝﹣2或4（舍去），∴满足条件S△PBC＝S△ABC且异于点A的点P的坐标为（﹣2，﹣3）；（3）如图，作点B关于直线l1的对称点B′，连接B′D并延长交直线l1于Q，∴BQ＝B′Q，BE＝B′E，CE⊥BB′．∴∠B′EB＝90°，设直线l1交x轴于E，∵直线l1：y＝x﹣1，令y＝0，则x＝1，∴点E的坐标为（1，0），∵点B的坐标（﹣2，0），∴BE＝B′E＝3，∴点B′的坐标（1，﹣3），∴|DQ﹣BQ|的最大值为|DQ﹣B′Q|＝B′D．∵点D（2，0），∴B′D＝＝，∴|DQ﹣BQ|的最大值为．27．（2022秋•金华期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．（1）直线l1的表达式为y＝﹣x+1，点D的坐标为（2，）；（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标．【答案】（1）y＝﹣x+1，（2，）；（2）S＝1﹣2m；（3）点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），∴0＝4k+1．∴k＝﹣．∴直线l1：y＝﹣x+1，把x＝2代入y＝﹣x+1得y＝，∴点D的坐标为（2，），故答案为：y＝﹣x+1；（2，）；（2）由得：．∴D（2，）．∵P（2，m），∴PD＝|m﹣|．∴S＝×|4﹣0|•PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．当m＜时，S＝1﹣2m；（3）当S△ABP＝3时，2m﹣1＝3，解得m＝2，∴点P（2，2），∵E（2，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°，如图2，∠PBC＝90°，BP＝BC，过点C作CF⊥x轴于点F，∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBF＝∠PBE＝45°，在△CBF与△PBE中，，∴△CBF≌△PBE（AAS）．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2．∴OF＝OB+BF＝4+2＝6．∴C（6，2）；如图3，△PBC是等腰直角三角形，∴PE＝CE，∴C（2，﹣2），∴以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，点C的坐标是（6，2）或（2，﹣2）．当1﹣2m＝3时，m＝﹣1，可得P（2，﹣1），同法可得C（3，2）或（5，﹣2）．综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，﹣2）或（3，2）或（5，﹣2）．28．（2021秋•新都区校级期末）如图，已知直线y＝x﹣2分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，在x轴上找一点P，当PE+PD的值最小时，求出△APE的面积；（3）如图2，若k＝﹣2，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠OBM+∠OBC＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）B（0，﹣2），A（2，0）；（2）当PE+PD的值最小时，P（，0），△APE的面积为；（3）存在，点M的坐标为（，0）或（﹣，0）．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣2，∴B（0，﹣2），令y＝0，则x＝2，∴A（2，0）；（2）∵点E是线段OB的中点，B（0，﹣2），∴E（0，﹣1），如图，过F点作FW⊥y轴交于点W，∵OG⊥AE，∴∠AOF+∠OAE＝90°，∵∠AOE+∠EOF＝90°，∴∠OAE＝∠EOF，∵OF＝AE，∠AOE＝∠OWF，∴△AOE≌△OWF（AAS）∴OE＝FW＝1，OA＝OW＝2，∴F（1，﹣2），作E点关于x轴的对称点E'，连接E'D交x轴于点P，∴EP＝E'P，∴PE+PD＝PE'+PD≥E'D，当E'、D、P三点共线时，PE+PD的值最小，∵E（0，﹣1），∴E'（0，1），∵F（1，﹣2）在直线OG上，∴k＝﹣2，∴y＝﹣2x，，联立，∴x＝，∴D（，﹣），设直线E'D的解析式为y＝k'x+b，∴，∴，∴y＝﹣x+1，