直线与平面垂直高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

5.1直线与平面垂直第六章立体几何初步认识1.探求新知观察1

在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与底面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系，都给我们直观的认识到直线与平面垂直.观察2

如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC.随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？ABCB′C′α1.探求新知直线AB与其影子BC所在直线始终保持垂直1.探求新知观察3

如图示，将一本书打开直立在桌面上，观察书脊AB与桌面的位置关系，以及书脊与每页书和桌面的交线的位置关系，你能发现什么？通过对以上现象的观察与分析，可得直线与平面垂直的定义和性质.书脊AB与桌面垂直，书脊AB与每页书和桌面的交线垂直.2.线面垂直的定义的运用思想：线面垂直→线线垂直

判定性质

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．若将这一结论推广到空间，那么过一点垂直于已知平面的直线有几条呢？答：有且只有一条.BAα垂线段

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。思考：探究二：如何证明线面垂直?实验：如图，准备一块三角形的纸片ABC，过ΔABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触).思考：①折痕AD与桌面垂直吗？

②如何翻折才能使折痕AD与桌面肯定垂直?请同学展示一下．

观察上图折痕垂直于桌面的特征，折痕满足了什么条件才使得他与桌面垂直？折痕与桌面内的两条相交直线都垂直．当AD⊥BC时，折痕AD与桌面垂直.

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．作用：判定直线与平面垂直．线面垂直线线垂直思想：3.直线与平面垂直判定定理定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？线不在多，相交即可判定定理定义又又证明：在平面内取两条相交直线

如图，已知,求证例1求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。O结论：两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直.2.思考,下列说法正确吗？为什么？（1）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面.（

）（2）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面.（

）（3）过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直.（

）（4）过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.（

）（5）垂直于同一条直线的两直线平行.（

）（6）垂直于同一个平面的两直线平行.（

）（7）两异面直线能垂直于同一平面.（)3.思考：

如图，直四棱柱

（侧棱与底面垂直的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形

满足什么条件时，？(只能添加一个合适的条件)解:底面ABCD可以是菱形,正方形,或者是对角线相互垂直的任意四边形．3

.如图,

垂直于圆

所在平面,

是圆的直径,

是圆周上一点,那么图中有几个直角三角形?证明：(1)证明：(2)证明：(1)证明：(2)

如图，一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角θ，叫做这条直线和这个平面的夹角.

直线与平面的夹角

直线与平面的夹角实际上就是直线与直线在平面内的射影的夹角.

当直线与平面垂直时，它与平面的夹角为90°，当直线与平面平行时，它与平面的夹角为0°，所以，直线与平面的夹角的范围为[0°,90°].

直线与平面的夹角是直线与平面内任意一条直线的夹角的最小角.求直线与平面的夹角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角转化为平面角，过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算；(2)定角：证明某平面角就是斜线与平面的夹角；(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.例1．在正三棱锥P－ABC中，AB＝3，PA＝2，则直线PA与平面ABC所成角的大小为()A．30°

B．45°C．60°

D．75°A

例2

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角.解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，BDCA1B1C1D1AO∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，∴BC1⊥平面A1DCB1.∴A1O是A1B在平面A1DCB1内的射影.∴∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角.∴A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.∴BO=A1B，∠BA1O=30°.在Rt△A1BO中，

A1B=a，BO=a.AD

6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PD，CD的中点．(1)求证：EF∥平面PAC；(2)求证：EF⊥BD.(3)已知正方形ABCD的边长为2，PA＝1，求：①异面直线AD，PC所成角的余弦值；②直线CP与平面PAD所成角的正弦值．

5.2平面与平面垂直的性质第六章立体几何初步认识过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC.

(1)若PA=PB=PC，则点O是△ABC的____心.(2)若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的____点.(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，垂足都为P，则点是△ABC的____心.BCPAO•BCPAO•BCPAO•DFE外中垂下面我们研究直线与平面α垂直的性质，即探究在直线a与平面α垂直的条件下能推出哪些结论.性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m.性质2：若a⊥α，b⊥α，则a//b.(性质定理)性质3：若a⊥α，c

α，且c⊥a，则c//α.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行.性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.αβ

直线与平面垂直的性质2.探求新知像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义.那么，该如何定义呢？要研究平面与平面互相垂直，那就需要先引入两个平面所成的角(二面角)的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.接下来我们就来看看二面角及相关概念是如何定义的？资料一:沙发资料二:室内一景资料三:水库一角.这些角有何特点，该如何表示呢？二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．记为：二面角α--β或者二面角α-AB-βl

lAB

AB

二面角的概念：

思考：书本展开时形成的“角度”的大小如何来确定？用什么来衡量？思考1:如图,能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度？lαβOAB思考2:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被

二面角α-l-β唯一确定？思考3:这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？lαβOAB思考4:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平

面角下个定义吗？OAB二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

二面角的范围[0°,180°]注意：二面角的平面角的三个特征:1.点在棱上2.线在面内3.与棱垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角OAB∠AOB=90°

l1.求二面角大小的步骤：(1)作—作出平面角；(2)证—明所作的角满足定义，即为所求二面角证的平面角；(3)求—将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小.简称为“一作二证三求”.2.作出二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点O，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA，OB.如图所示，∠AOB为二面角α-­a­-β的平面角．方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点A作另一个平面的垂线AE，过垂足E作棱的垂线交棱于点F，连接点A与垂足F，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．

如图所示，∠AFE为二面角A-­BC-­D的平面角．【提醒】二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作为平面角的顶点．

二面角的平面角是用来度量二面角的大小，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。上图是正方体ABCD-A’B’C’D’,

二面角度数为45°BACDA’B’C’D’O2.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，找出二面角C′-BD-C的平面角，并求其正切值.二面角C′-BD-A的平面角呢？3．如图，点P在二面角α－AB－β的棱AB上，分别在α，β内引射线PM，PN，截得PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的平面角的大小为()A．45°

B．60°C．90°

D．120°C

如果两个平面相交,且其所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相互垂直.画法：记作：

两平面互相垂直

平面与平面垂直的性质观察右图的长方体：αβ平面α⊥平面β,α∩β＝b,，a⊥b，这时，a⊥βab问：一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内,AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？α

β

MNABC证明：

在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β的平面角∵平面α⊥平面β∴∠ABC＝90°即AB⊥BC又AB⊥MN∴AB⊥α

α

β

a定理(平面与平面垂直的性质定理)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l面面垂直

线面垂直；例1.如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。BOPAC例2：四棱锥P－ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点求证：AE⊥平面PCD；3．(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的有()A．在线段AD上存在一点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P－BC－A的大小为45°D．BD⊥平面PACABC

5.2平面与平面垂直的判定第六章立体几何初步认识如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？可以用铅垂线判断所在直线是否与地面垂直。找二面角的平面角说明该平面角是直角1、定义法除了定义之外，还有什么办法吗?（线面垂直

面面垂直）2、判定定理

一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.线面垂直面面垂直线线垂直αβlA平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.符号表示：证明：ABDCE例1已知：如右图,正方体ABCD-A'B'C'D'.求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'.∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，∴AA'⊥平面ABCD.又BD

平面ABCD，∴AA'⊥BD.

又AC⊥BD，AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，又BD

平面A'BD，∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.BDCA′B′C′D′A证明：

2.已知：如右图,

AB是⊙O的直径,

PA垂直于⊙O所在的平面,

C是圆周上不同于A,

B的任意一点.求证：平面PAC⊥平面PBC.∵点C是圆周上不同于A,B的任意一点，AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，即BC⊥AC.又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC.又∵BC

平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在的平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC

α，∴PA

⊥BC.PABOC

4.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.

5.如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF