备战高考数学一轮复习讲义微专题14　空间几何体的内切球

微专题14空间几何体的内切球柱体与其内切球例1如图，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．(例1)(1)求两球半径之和；【解答】如图，球心O1和O2在AC上，过O1，O2分别作AD，BC的垂线，垂足为E，F，设O1的半径为r，O2的半径为R.由AB＝1，AC＝eq\r(,3)，得AO1＝eq\r(,3)r，CO2＝eq\r(,3)R，所以r＋R＋eq\r(,3)(r＋R)＝eq\r(,3)，所以R＋r＝eq\f(\r(,3),\r(,3)＋1)＝eq\f(3－\r(,3),2).(例1)(2)当两球的半径分别为多少时，两球体积之和最小？【解答】设两球体积之和为V，则V＝eq\f(4,3)π(R3＋r3)＝eq\f(4,3)π(r＋R)(R2－Rr＋r2)＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(,3),2)[(R＋r)2－3rR]＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(,3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(,3),2)))2－3R\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(,3),2)－R))))＝eq\f(4,3)πeq\f(3－\r(,3),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3R2－\f(33－\r(,3),2)R＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(,3),2)))2))，当R＝eq\f(3－\r(,3),4)时，V有最小值，故当R＝r＝eq\f(3－\r(,3),4)时，两球体积之和最小．变式在直三棱柱A1B1C1－ABC中，已知A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积之比为(A)A.eq\f(29,4) B.eq\f(19,2)C.eq\f(29,2) D.29解析：如图，连接AC1.由底面三角形的三边长知，底面三角形为直角三角形，内切球的半径r＝eq\f(AA1,2)＝1，分别取AC，A1C1的中点D，E，则外接球的球心是DE的中点O.由A1C1＝5，AA1＝2，得AC1＝eq\r(,29)，所以外接球的半径R＝OA＝eq\f(\r(,29),2)，所以eq\f(S外,S内)＝eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(29,4).(变式)锥体与其内切球例2(2022·连云港预测)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAB是等边三角形，侧面PAB⊥底面ABCD，AB＝2eq\r(3)，若四棱锥P－ABCD存在内切球，则内切球的体积为eq\f(4π,3)，此时四棱锥P－ABCD的体积为8eq\r(3).解析：如图，取AB的中点M，CD的中点N，连接PM，PN，MN.由△PAB是正三角形，得PM⊥AB，又底面ABCD是矩形，所以MN⊥AB.而平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊂平面PAB，MN⊂平面ABCD，因此PM⊥平面ABCD，MN⊥平面PAB.又AD∥MN∥BC，则AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，所以AD⊥PA，BC⊥PB.因为PM∩MN＝M，PM，MN⊂平面PMN，所以AB⊥平面PMN.又PN⊂平面PMN，所以AB⊥PN，而AB∥CD，则CD⊥PN，显然△PAD≌△PBC，由球的对称性及四棱锥P－ABCD的特征知，平面PMN截四棱锥P－ABCD的内切球O得截面大圆，此圆是Rt△PMN的内切圆，分别切MN，PM于点E，F，且四边形OEMF为正方形．令AD＝x，而PM＝3，PN＝eq\r(x2＋9)，则内切球的半径r＝ME＝eq\f(1,2)(x＋3－eq\r(x2＋9))．四棱锥P－ABCD的表面积为S＝S△PAB＋2S△PAD＋S矩形ABCD＋S△PCD＝3eq\r(3)＋4eq\r(3)x＋eq\r(3)·eq\r(x2＋9)，由VP－ABCD＝eq\f(1,3)rS＝eq\f(1,3)S矩形ABCD·PM，得eq\f(1,2)(x＋3－eq\r(x2＋9))·eq\r(3)(3＋4x＋eq\r(x2＋9))＝2eq\r(3)x·3，整理得6x·(3＋4x＋eq\r(x2＋9))＝12x·(x＋3＋eq\r(x2＋9))，即2x－3＝eq\r(x2＋9)，解得x＝4，因此，r＝1，所以内切球的体积V＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4π,3)，四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝8eq\r(3).(例2)变式1已知正三棱锥的高为1，底面边长为2eq\r(6)，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，求此球的表面积与体积．【解答】如图，球O是正三棱锥P－ABC的内切球，点O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R，PH是正三棱锥的高，即PH＝1.设E是BC边的中点，H在AE上．因为△ABC的边长为2eq\r(,6)，所以HE＝eq\f(\r(,3),6)×2eq\r(,6)＝eq\r(,2)，所以PE＝eq\r(,3)，于是S△PAB＝S△PAC＝S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PE＝3eq\r(,2)，S△ABC＝eq\f(\r(,3),4)×(2eq\r(,6))2＝6eq\r(,3).由等体积法知，VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC＋VO－ABC，所以eq\f(1,3)×6eq\r(3)×1＝eq\f(1,3)×3eq\r(2)×R×3＋eq\f(1,3)×6eq\r(3)×R，解得R＝eq\f(2\r(3),2\r(3)＋3\r(,2))＝eq\r(6)－2，所以S球＝4πR2＝4π(eq\r(6)－2)2＝8(5－2eq\r(6))π，V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(eq\r(6)－2)3.(变式1)变式2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝eq\r(,2)m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是eq\f(1,2)(2－eq\r(,2))m.(变式2)解析：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD，PD⊥DC.又PD＝m，PA＝PC＝eq\r(,2)m，则△PAD和△PCD都是直角边长为m的等腰直角三角形，所以S△PAD＝S△PCD＝eq\f(1,2)m2.由题易知△PAB和△PBC也为直角三角形，所以S△PAB＝S△PBC＝eq\f(1,2)·eq\r(,2)m·m＝eq\f(1,2)·eq\r(,2)m2.当所放球的半径最大时，此球为内切球，设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即eq\f(1,3)×m2×m＝eq\f(1,3)m2R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)m2R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(,2)m2×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(,2)m2×R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)m2R，解得R＝eq\f(1,2)(2－eq\r(,2))m，所以此球的最大半径是eq\f(1,2)(2－eq\r(,2))m.1.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系．2.球的内切问题(等体积法)．例如：如图，在四棱锥P－ABCD中，内切球为球O，求球O的半径r.方法如下：VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PBC＋VO－PCD＋VO－PAD＋VO－PAB，即V