江苏输容市2024-2025学年高三数学上学期10月月考试题含解析

Page22一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】先求共轭复数，再求模即可.【详解】，则，即；故选：B.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解对数不等式求出集合，再求出集合，最终依据交集、并集的定义计算即可.【详解】由，得，解得，所以，又，所以，.

故选：C3.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用指数与对数的互换表示出，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．【详解】由题可得，即．原式．故选：．4.在中，“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据与的推出关系推断.【详解】若，则，则，所以，所以充分性成立；若，即，因为，所以或，所以或，即或，所以必要性不成立.故“”是“”的充分非必要条件.故选：A5.设，为正实数，若，则的最小值是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】分析】由，令，，即可得到，则，利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为，为正实数，且，令，，则，则，当且仅当，即，时取等号.故选：D．6.棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相像比的平方，化简求出结果．【详解】设棱台的高为与截得它的棱锥的高，作出草图，如下图所示：由相像关系可得，，所以，则即，可得.故选：B．【点睛】本题考查棱台的结构特征，计算实力，是基础题．7.如图是一个近似扇形的鱼塘，其中，弧长为（）.为便利投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥，其中，.已知时，，则廊桥的长度大约为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆心角，取中点，连接，可得，结合题目给定数据即可求解.【详解】取中点，连接，由题，设圆心角，，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查扇形中的圆心角半径弧长之间的关系，考查图形中的基本运算，平面几何相关学问及数形结合思想的应用.8.已知函数及其导函数的定义域均为，且满意，，，若，则（）A. B. C.88 D.90【答案】B【解析】【分析】依据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由得，①，则关于直线对称.另外②，则关于点对称.所以，所以，所以是周期为的周期函数.，，则，由②，令，得.所以，由②，令，得；所以，由①，令，得；令，得.由②，令，得；令，得，则，；，，以此类推，是周期为的周期函数.所以.故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如，则关于直线对称；如，则关于直线对称；如，则关于点对称；如，则关于点对称.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A. B.“”是“”的充分条件C.若,则 D.若,则【答案】CD【解析】【分析】关于选项A,由随意,只需取一反例即可,取时不成立即可解除;关于选项B,当时不能推出;关于选项C,因为,对不等式左右两边分别乘以,即可证明;关于选项D,不等式有同向可加性,将两边同时同时乘以-1,即可证明,再取倒数即可.【详解】解:关于选项A,当时,,不满意,故选项A错误;关于选项B,当时,,不满意题意,故选项B错误;关于选项C,,同时乘以可得,在两边同时乘以,可得,综上:成立,故选项C正确;关于选项D,,两式相加可得:,则有成立,故选项D正确.故选:CD10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.函数的图像关于点中心对称B.函数的图像关于直线对称C.函数在上单调递减D.函数的图像向右平移个单位可得函数的图像【答案】AB【解析】【分析】依据函数图象求得解析式，再依据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别推断各个选项.【详解】由图象得函数最小值为，故，，故，，故函数，又函数过点，故，解得，又，即，故，对称中心：，解得，对称中心为，当时，对称中心为，故A选项正确；对称轴：，解得，当时，，故B选项正确；的单调递减区间：，解得，又，故C选项不正确；函数图像上全部的点向右平移个单位，得到函数，故D选项不正确；故选：AB.11.在中，，，则下列推断正确的是（）A.的周长有最大值为21B.的平分线长的最大值为C.若，则边上的中线长为D.若，则该三角形有两解【答案】ABD【解析】【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出，从而得到周长的最大值；B选项，作出帮助线，表达出，由基本不等式求出的最值；C选项，由三角恒等变换求出，由正弦定理求出，再在中，由余弦定理求出答案；D选项，推断出，得到三角形解的个数.【详解】A选项，，故，变形得到，解得，当且仅当时，等号成立，故的周长有最大值为，A正确；B选项，如图，为三角形的角平分线，故，过点作⊥于点，⊥于点，则，设，则，，又，所以，解得，由A选项可知，又，故，，当且仅当时，等号成立，所以，则，故的平分线长的最大值为，B正确；C选项，若，则，故，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，解得，故边上的中线长为，C错误；D选项，若，则，而，则该三角形有两解，D正确.故选：ABD12.已知分别是函数和的零点，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点和关于点对称，依据可推断A、B选项；结合反函数的性质可以推断C选项；利用特别值的思路得到的范围即可推断D选项.【详解】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；由反函数的性质可得，因为单调递增，，所以，所以，故C错；当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为，所以，所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.集合的真子集的个数是___________.【答案】31【解析】【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子集个数.【详解】共5个元素，则真子集的个数是.故答案为：3114.已知二次函数．甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：y的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a的范围为________．【答案】【解析】【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.【详解】若甲正确，则且，即，则；若乙正确，则且，即，则；若丙正确，则二次函数的对称轴方程，可得；因为只有一个同学的论述为假命题，所以只能乙的论述错误，故.故答案为：15.已知，则___________．【答案】【解析】【分析】依据的关系，即可平方得，结合同角关系以及二倍角公式即可求解.【详解】由平方得，结合得，所以，由于，所以,所以，故答案为：16.已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为__________.【答案】2【解析】【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.【详解】设是图像上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得，，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为，所以.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）求时，函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先依据降幂公式以及帮助角公式化简三角函数，令即可得出答案；（2）由得，由此即可求出答案．【详解】解：；（1）令，得，所以函数的单调递增区间为；（2）由得，∴，从而函数值域为．【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题．18已知函数.（1）若为偶函数，求的值；（2）若函数在上有2个不同的零点，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由函数为偶函数，得到，进而得出，即可求得实数的值；（2）令，整理得，依据函数在上有2个不同的零点，得到，，结合定义域，即可求解.【详解】（1）由题意，函数为偶函数，则，即.整理得，所以.（2）因为函数，令，可得，整理得，即，由函数在上有2个不同的零点，所以，，且，，解得或，所以的取值范围为.19.在数列中，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，然后当时，由已知式子可得，和已知式子相减化简可求得，再验证，即可求得通项公式，（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求得【小问1详解】当时，，当时，则，得，两式相减得，，所以，因为满意上式，所以【小问2详解】由（1）得，所以所以，所以，所以20.如图，四棱锥中，是等边三角形，，．（1）证明：；（2）若，，求点A到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点O，连接，结合题意和三角形全等得到，利用线面垂直的判定得到平面，再利用线面垂直的性质即可得证；（2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和所在直线的方向向量，利用空间向量的方法即可求解.【小问1详解】如图，连接，交于点O，连接，由，可得，所以，又，所以，所以，即O为中点，在等腰中，可得，在等腰中，，又，平面，所以平面，又平面，所以．【小问2详解】由（1）可得，，又，所以，由于为正三棱锥，点P在底面的垂足确定在上，设垂足为M，依据正三棱锥的性质可得，如图，过点作的平行线，以的平行线所在直线为轴，以所在直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系．可得，又，（或）设平面的法向量，可得不妨令，可得，所以，故所以点A到平面的距离为．21.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求证：.（2）求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明；(2)结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解.【小问1详解】在中，由及正弦定理得：又∵，∴即，∵，∴.∵，∴，【小问2详解】得：得，∴，∴，由题意，及正弦定理得：∵，∴，即故的取值范围为方法二：由正弦定理得：∵，∴，由（1）得：，故由（1）得：得，∴，∴，∴，即，故的取值范围为22.已知函数．（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）证明：当时，在上有且仅有一个零点．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将问题转化为在上恒成立，即在上恒成立；令，利用导数可求得，由此可得的范围；（2）当时，由可知，将问题转化为证明在上有且仅有一个零点，利用导数可说明在上单调递增，结合零点存在定理可说明在上有且仅有一个零点，由此得到结论.【详解】（1）由题意得：，若在上单调递减，则在上