2024新高考数学基础知识梳理与课本优题目巩固-模块13-空间向量

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块13-空间向量模块十三:空间向量1、空间向量的有关概念1.与平面向量一样,在空间中,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.2.空间向量的长度(模):空间向量的大小叫做向量的长度或模,如图,其模记为a或AB.3.空间向量的表示方法(1)即利用黑体a,手写用a;(2)空间向量1)用有向线段表示.也可用有向线段表示,有向线段的长度2)用字母a,1)长度为0的向量叫做零向量,记为0.2)模为1的向量称为单位向量.3)方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间中,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。4)与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为−a.类似实数a的相反数为−2、空间向量的线性运算1.空间向量的加减法及数乘运算:空间任意两个向量都可以平○向量加法模的性质a−b≤当a,b同向时,右等号成立;当a,b反向时,左等号成立;当移到同一平面内,成为同一平面内的向量.如图1,已知空间向量a,b,我们可以把它们移到同一平面α内,以任意点O为起点,作向量图1图2图31)a+3)当λ>0时,λa与向量a的方向相同;当λ<0时,λa与向量a的方向相反,长度是a的长度的○温馨提示证明平面向量加法的结合律时三个向量在同一个平面内,证明空间向量加法的结合律时三个向量不在同一个平面内.2.空间向量线性运算满足以下运算律与实数加法交换律类似.交换律:a+结合律:a+分配律:λ+μa与实数乘法分配律类似.3、共线向量与共面向量○温馨提示1.零向量和任一空间向量是共线向量.2.共线向量不具有传递性,如a//b,b//c,但a//c不一定成立,因为当共线向量一定共面，共面向量不一定共线.4、空间向量数量积●易错易混易将向量的夹角⟨a,b图(a)中,∠AOB图(b)中,∠AOB=1.共线向量1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量称为共线向量(或平行向量).2)共线向量定理:对任意两个空间向量a,bb≠0,a//b的充要条件是存在实数λ,使1)定义:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对1.空间向量的夹角两个向量的夹角是唯一的,且⟨a,b⟩=⟨b,a⟩.1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点2)夹角的范围:空间任意两个向量的夹角的取值范围是0≤⟨a,b⟩≤π.当⟨a,b1)定义:已知两个非零向量a,b,则abcos⟨a,b⟩叫做向量a,2)几何意义:数量积a⋅b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos⟨a,b⟩的乘积,或b的长度b3.向量数量积的性质两非零向量才有垂直关系。1)由a⋅a=a2可得向量自身的数量积就是其模的平方.2)a3)两个非零向量a,b的夹角可由a=4)对于任意向量a,b,总有a⋅4.向量数量积的运算律数乘结合律:λa交换律:a⋅分配律:a⋅【拓展】由定义得a⋅bc=abcosζa,b>)1.由a⋅b=2.向量数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律,但不适合乘法结合律,即a⋅bc不一定等于ab⋅c.这是因为a⋅3.空间向量没有除法运算.对于两个非零向量a,b及实数c,由a⋅b=5、空间向量基本定理(1)空间向量基本定理如果三个向量a,b,○归纳总结1.空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底,因此空间的基底有无穷多个.2.空间的基底是不共面向量,故都不是0.3.基底选定后,空间中的任何向量均可由基底唯一表示.存在唯一的有序实数组x,y,证明设向量a,O作OA=a,OB=b,OC=c,OP=p,过点P作直线PP′平行于OC交平面OAB于点P′,在平面OAB内,过P′作直线如果p=xa由此可知,如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p∣p=xa(2)正交分解如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i且都是单位向量.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,都可以分解为三个向量xi,yj,6、空间向量及其运算的坐标表示（右手直角坐标系）(1)空间直角坐标系类似地,在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}(图1.3-2).以点O为原点,分别以i,j,图1.3-2原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135∘(或(2)空间向量的坐标表示一般地,如果空间向量的基底e1,e2,e3中,e1,p其中x,y,(3)空间向量的坐标运算设a与平面向量运算的坐标表示一样,我们有:aaλa当b≠0时,aacos⟨(4)空间向量的夹角与距离公式1.夹角公式设非零向量a=x=2.距离公式在空间直角坐标系中,已知Ax1,B两点间的距离dAB7、空间向量的应用(1)空间中点、直线、平面的向量表示如图1.4-1,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v//用向量表示直线l,就是要利用点A和直线l的方向向图1.4-2量表示直线上的任意一点.如图1.4-2,a是直线l的方向向量,在直线l上取AB=a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数tAP进一步地,如图1.4-3,取定空间中的任意一点O,可图1.4-3以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP(1)将AB=OP(2)(1)式和(2)式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.你能证明这个结论吗?我们知道,平面α可以由α内两条相交直线确定.如图1.4-4,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对OP这样,点O与向量a,b不仅可以确定平面α,还可以具体表示出图1.4-4图1.4-5进一步地,如图1.4-5,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使OP(3)你能证明这个结论吗?我们把(3)式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可(2)平面的法向量如图1.4-6,直线l⊥α.取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量(normalvector).给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合图1.4-6如果另有一条直线m⊥α,在直线m上任取向量b,(3)空间直线、平面位置关系判定如图1.4-8,设u1,ul图1.4-8图1.4-9图1.4-10类似地,如图1.4-9,设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄l如图1.4-10,设n1,nα一般地,直线与直线垂直,就是两直线的方向向量垂直;直线与平面垂直,就是直线的方向向量与平面的法向量平行;平面与平面垂直,就是两平面的法向量垂直.如图1.4-13(1),设直线l1,ll图1.4-13如图1.4-13(2),设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔如图1.4-13(3),设平面α,β的法向量分别为n2α(4)利用空间向量研究空间距离与夹角(1)空间中的距离如图1.4-16,向量AP在直线l上的投影向量为AQ,则图1.4-16△APQ是直角三角形.因为A,P都是定点,所以AP,AP与u的夹角∠PAQ都是确定的.于是可求AQ.再利用勾股定理,可以求出点设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量在Rt△APQPQ如图1.4-17,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量PQ类似地,请同学们研究如何求两个平行平面的距离.(2)空间中的夹角一般地,两条异面直线所成的角,可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说,若异面直线l1,l2所成的角为cos类似地,直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图1.4-20,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin图1.4-20图1.4-21如图1.4-21,平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90∘的二面角称为平面α与平面β类似于两条异面直线所成的角,若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面cos三垂线定理如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.【课本优质习题汇总】新人教A版选择性必修一P93.如图,在平行六面体ABCD−A′B′(1)AA′⋅AB;(2)(第2题)(第3题)(第4题)4.如图,线段AB,BD在平面α内,BD⊥AB,新人教A版选择性必修一P94.如图,已知四面体ABCD的所有棱长都等于a,(第4题)棱AB,(1)AB⋅AC;(2)AD⋅(4)EF⋅BC;(5)FG⋅新人教A版选择性必修一P106.如图,已知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱(第6题)新人教A版选择性必修一P109.如图,在四面体OABC中,OA⊥BC,(第9题)(第10题)10.如图,在四面体OABC中,OA=OB,CA=CB,新人教A版选择性必修一P141.已知四面体OABC,OB=新人教A版选择性必修一P156.如图,平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD(第6题)新人教A版选择性必修一P157.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1(第7题)DD1,BD的中点,点G在(1)求证:EF⊥(2)求EF与C18.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等,求证:这个四面体相对的棱两两垂直.新人教A版选择性必修一P352.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1(1)求点A1到直线B(2)求直线FC1到直线(3)求点A1到平面A(4)求直线FC1到平面(第2题)新人教A版选择性必修一P384.如图,△ABC和△DBC(第4题)=∠DBC(1)直线AD与直线BC所成角的大小;(2)直线AD与平面BCD所成角的大小;(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.新人教A版选择性必修一P411.如图,二面角α−l−β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱l.若(第1题)(第2题)2.如图,在三棱雉A−BCD中,AB=AC=新人教A版选择性必修一P4413.如图,已知正方体ABCD−A1B1C1D1(第13题)(第14题)(第15题)14.如图,正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,M是棱A15.如图,已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,Q为B新人教A版选择性必修一P4417.在空间直角坐标系中,已知向量u=a(1)若直线l经过点P0,且以u为方向向量,P是直线l上的任意一点,求证:x(2)若平面α经过点P0,且以u为法向量,P是平面α内的任意一点,求证:a18.在如图所示的试验装置中,两个正方形框架ABCD,(第18题)都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN(1)求MN的长;(2)a为何值时,MN的长最小?(3)当MN的长最小时,求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值.新人教A版选择性必修一P488.如图,在棱长为1的正方体ABCD−A1B1(1)求证:EF⊥(2)求EF与CG所成角的余弦值;(3)求CE的长.(第8题)(第9题)9.如图,在直三棱柱ABC−A1B1(1)求BN的长;(2)求cosB(3)求证:A1新人教A版选择性必修一P4810.如图,在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA′(第10题)(第11题)(第12题)11.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1(1)求证:A1C⊥(2)当AB=4,AD=12.如图,在四棱雉S−ABCD中,底面ABCD满足AB⊥AD,(1)求四棱雉S−(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.新人教A版选择性必修一P4913.如图,把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角,E,(第13题)F分别为AD,BC的中点,O是原正方形ABCD的中心,求折纸后14.在正四棱雉S−ABCD中,O为顶点S在底面内的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD.求直线新人教A版选择性必修一P4916.如图,在棱长为a的正方体OABC−O′A′B′(1)求证:A′(2)当三棱雉B′−BEF的体积取得最大值时,求平面B(第16题)(第17题)17.如图,两条异面直线a,b所成的角为θ,在直线a,b上分别取点A′,E和点A,F如果a,a是否成立,并说明等号何时成立.(6)已知a=4,向量e为单位向量,⟨a,e(4)已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′(1)AC′=(5)已知直三棱柱ABC−A1B1新人教B版选择性必修一P28(3)已知空间直角坐标系中,平行六面体ABCD−A1B1C1D1新人教B版选择性必修一P29(2)已知A,B,C是空间中不共线的三点,O是空间中任意一点,求证:P在平面ABC内的充要条件是,存在满足OP新人教B版选择性必修一P54(第3题)(2)已知正三棱雉S-ABC的所有棱长都为1,求其侧面与底面所成角的余弦值.(3)如图,已知AB是圆的直径,且AB=4,PA垂直于圆所在的平面,且PA=新人教B版选择性必修一P60(第5题)(5)如图所示,已知Rt△ACB在平面α内,D是斜边AB的中点,OC⊥α,且O到平面α的距离为12 cm,AC新人教B版选择性必修一P60(4)已知正四面体ABCD的棱长都为1,点M,N分别是AB,CD的中点,求(5)如图所示,已知四棱雉E−ABCD中,ABCD90∘,BE(1)求点B到平面CDE的距离;(2)求二面角A−(第5题)新人教B版选择性必修一P63(4)已知三棱雉S−ABC中,SA⊥底面ABC,∠ABC=90∘,SA=AB=4,新人教B版选择性必修一P668.已知O为坐标原点,OABC是四面体,A0,3,5,B2,2,0,9.如图所示,已知三个平面AOB,BOC,AOC相交于点O,且∠AOB=(第9题)新人教B版选择性必修一P6610.如图所示,三棱雉A−BCD中,平面ABC与平面DBC互相垂直,且AB=(第10题)(1)AD所在直线和平面BCD所成角的大小;(2)AD所在直线与直线BC所成角的大小;(3)二面角A−11.已知A∈α,直线AB与平面α所成的角为30∘,直线AC与平面α所成的角为60∘,AB=12.已知AB垂直于平面α,垂足为点B,且AO与α相交于点O,∠AOB=60∘,射线OC在α内,且∠BOC新人教B版选择性必修一P674.如图所示,已知四棱雉P−ABCD中,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面(第4题)新人教B版选择性必修一P675.如图所示,在三棱雉P−ABC中,△PAB(1)证明:AB⊥(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC(第5题)新人教B版选择性必修一P686.如图所示,四棱雉S−ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱(第6题)(1)求证:AC⊥(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC.若存在,求SE: (一)直线与直线的方程1、直线的倾斜角与斜率 锐角直角钝角零角▪直线的倾斜角图形○温馨提示1.直线都存在唯一的倾斜角,但不一定存在斜率,倾斜角为90∘2.直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量,斜率侧重于代数角度,倾斜角侧重于几何角度.3.由直线的斜率k的范围求倾斜角α的范围时,要注意α的取值范围,即0∘≤α<90∘或模块十四：直线与圆的方程1直线的倾斜角强调“两个方向”:x轴的正向，直线向上的1.直线的倾斜角的定义方向;直线相对于x轴正向的倾斜程度.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0∘.直线的倾斜角α的取值范围为02.直线的倾斜角的意义1)直线的倾斜角体现了直线相对于x轴正向的倾斜程度.2)在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角.3)如图所示,倾斜角相同,未必表示同一条直线.2直线的斜率一条直线有唯一的倾斜角,但一个倾斜1.直线的斜率角可以对应无数条直线.倾斜角不是90∘的直线,它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k表示,即k=tanα,02.直线的斜率公式P1x1,y注:“/”表示“逐渐增大”.○直线的方向向量图示P1P2向向量.若直线l1,l当l11、直线的方程○温馨提示截距不是距离,它可以是正数,可以是负数,也可以是零.如图,直线l1,l2,4直线的方向向量**直线P1P2上的向量P直线P1P2P1当直线P1P2与x轴不垂直时,x1≠x2,此时向量1x2−x1P1P2也是直线P15两直线平行和垂直的判定设两条不重合的直线l1,l-1)l1//l2)l11直线的方程分完备性.纯粹性.如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.2直线方程的几种形式纵截距.1.截距:直线l与y轴交点0,b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距;直线l与x轴交点a,0的横坐标a叫做直线2.直线方程的几种形式当斜率k不存在时,直线垂直于x轴.<方程形式常数的意义适用范围点斜式yx1,y直线不垂直于x轴斜截式yk是斜率,b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴○一般式方程的特殊形式1.当A=0时,直线斜率为0.2.当B=0时,x=−CA,表示与x轴垂直的直线;当B≠03.当C=0时,直线过原点.当a=○温馨提示若两条直线的斜率都不存在,则两条直线平行(或重合);若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则两条直线垂直.续表方程形式常数的意义适用范围两点式yx1,直线不垂直于x轴,y轴截距式xa,b分别是直线在x轴,直线不垂直于x轴,y轴,且不过原点一般式AxA,B分别为x,y的系数,C为常数,平面直角坐标系内的直线都适用3.几种特殊位置的直线方程斜率为0.(1)x轴:y=0;(2)y轴:x=0;(3)垂直于y轴的直线:y=b;(4)垂直于斜截式一般式方程l1:l1:相交kA1B2−A垂直kA1A2+B平行k1=A1B2−A2B重合k1=A1=λA23、直线的交点坐标与距离公式○温馨提示1.当两直线有交点时,两直线方程组成的方程组的解就是交点坐标.2.l1与l2相交的条件是A1B2○温馨提示1.当P1P2平行于x轴时,P1P2=x22.点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离(这是从运动观点来看的).3.若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般式,再利用公式求距离.4.点到直线的距离公式适用于任何情况,当点P在直线l上时,它到直线l的距离为0.5.点Px1)点P到x轴的距离d=y2)点P到y轴的距离d=x3)点P到直线y=a的距离d4)点P到直线x=b的距离1两条直线的交点设两直线l1:A1x方程组一组无数组无解直线l1和l一个无数个零个直线l1和l相交重合平行2距离公式whichP1和P1.两点间的距离公式 P平面内两点P1x1,y1,P2x22.点到直线的距离公式注意公式中的绝对值.点Px0,y0两条平行直线Ax+By+C1例两条平行直线l1:x解析因为l1//l2,所以所以直线l2的方程为−2x+因此这两条平行直线之间的距离d=答案23平面内的中点坐标公式with若Ax1,y1,Bx2(二)圆与圆的方程1、圆的方程1圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).定位条件→圆心,定形条件→半径.2圆的方程with圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.1.圆的标准方程圆心为Ca,b,半径为r的圆的标准方程是x−a圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程是x2○温馨提示形如x21.圆的一般方程的特点:把常数项移到右边,得x+D22+3)D2+E2−4F>0.1)当D2+E2−1)A=2)B=0;2)当D23)DA2+EA2−1.圆心在原点:x2○圆的标准方程可用来解决下列问题(1)已知圆心和半径求圆的方程的问题;(2)已知圆心及圆上一点求圆的方程的问题(圆心与圆上一点间的距离即半径).2.过原点:x−3.圆心在x轴上:x−4.圆心在y轴上:x25.与x轴相切:x−6.与y轴相切:x−7.与x,y轴都相切:8.圆心在x轴上且过原点:x−9.圆心在y轴上且过原点:x24点与圆的位置关系1.如图所示,点M与圆C有三种位置关系:点在圆上,点在圆内,点在圆外.○温馨提示2.圆C的标准方程为x−a21.几何法判断点与圆的位置为rr>0;圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F2.在实际比较中,一般先计算位置关系几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上MCxx点在圆内IMCI<r<td=""><td>x0−axx点在圆外MCxxd2=x0−2、直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系○温馨提示当直线与圆相交时,有两个公共点;当直线与圆相切时,只有一个公共点;当直线与圆相离时,没有公共点位置关系及图示二元二次方程组解的情况下，如果你的无解仅有一组解有两组不同的解消元后得到的一元二次方程根的情况无实数根Δ有两个相等的实数根Δ有两个不相等的实数根Δ圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系ddd直线与圆的位置关系，很少用代数法,绝大多数转化为圆心到直线的距离.2圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系有五种,分别是相交、外离、外切、内切和内从几何角度考虑,方法简单,是判断直线与圆的位置关系的常用方法。含.外离和内含统称为相离,外切和内切统称为相切.2.圆与圆的位置关系的判断方法1)利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法):设两圆x−a12+y−位置关系关系式公共点个数公切线条数外离d04外切d13相交r22位置关系关系式公共点公切线条数内切-d11内含000外离内切2)利用两圆的交点进行判断(代数法):○温馨提示用代数法得到方程组无解设由两圆的方程组成的方程组为x2一个圆的圆心坐标代入另一个此方程组得:代数法就是转化为研究与0的关系.圆的方程中,通过判断此圆心在有两组不同的实数解⇔两圆相交;另一圆的圆内还是圆外,从而得有两组相同的实数解⇔两圆相切;到两圆确切的位置关系.无实数解两圆相离.○6、阿氏圆:给定两定点A、B,动点P满足AP=以AB中点为原点,建立如图直角坐标系,记定点A−t则:PA由AP=λBP,可得:变形可得:x显然,2λtλ2−12若AB=a,AP【课本优质习题汇总】新人教A版选择性必修一P588.经过点P0,−1作直线l,若直线l与连接A1,−2,10.已知四边形ABCD的四个顶点是A2,2新人教A版选择性必修一P677.求经过点P210.求直线Ax+(1)与两条坐标轴都相交;(2)只与x轴相交;(3)只与y轴相交;(4)是x轴所在的直线;(5)是y轴所在的直线.11.设点P0x0A新人教A版选择性必修一P6812.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置.试求直线l的斜率.13.一条光线从点P6,4射出,与x轴相交于点Q新人教A版选择性必修一P793.如图,已知直线l1:x−(第3题)上任取一点A,在l2上任取一点B,连接AB,取AB的靠近点A的三等分点C,过点C作l1的平行线l3.求l新人教A版选择性必修一P798.▫ABCD的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是6x+8y−3=0与6x+8y+59.三条直线ax+2y+8=10.已知△ABC的顶点A5,1,边AB上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0,边11.在x轴上求一点P,使以A1,216.已知λ为任意实数,当λ变化时,方程3x表示什么图形?图形有何特点?17.已知0<(1)求证:x2(2)说明上述不等式的几何意义.新人教A版选择性必修一P884.圆C的圆心在x轴上,并且过A−1,1和5.已知圆的一条直径的端点分别是Axx7.已知等腰三角形ABC的一个顶点为A4,2,底边的一个端点为B新人教A版选择性必修一P898.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.9.已知动点M与两个定点O0,0,A10.在平面直角坐标系中,如果点P的坐标x,x其中θ为参数.证明:点P的轨迹是圆心为a,b,半径为例4一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km处,港口位于小岛中心正北新人教A版选择性必修一P952.某圆拱桥的水面跨度20 m,拱高4 m.现有一船,宽以上高3 m4.求圆心在直线3x−y=0上,与x轴相切,且被直线x−y=6.正方形ABCD的边长为a,在边BC上取线段BE=a3,在边DC的延长线上取CF=a2.试证明:直线AE与7.求经过点M2,−2以及圆x8.求圆心在直线x−y−4=10.求经过点M3,−1于点N1