高考数学一轮总复习：第二章 函数与基本初等函数

高考数学一轮总复习：第二章函数与基本初等函数第1课时函数及其表示1．下列表格中的x与y能构成函数的是()答案C解析A中0既是非负数又是非正数；B中0又是偶数；D中自然数也是整数，也是有理数．2．下列图像中不能作为函数图像的是()答案B解析B项中的图像与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B.3．如图所示，对应关系f是从A到B的函数的是()答案D解析A到B的函数为对于A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D项表示A到B的函数．4．下列函数中，与函数y＝x相同的是()A．y＝(eq\r(x))2 B．y＝eq\r(3,x3)C．y＝eq\r(x2) D．y＝eq\f(x2,x)答案B解析A中，y＝(eq\r(x))2＝x(x≥0)与函数y＝x(x∈R)对应关系相同，但定义域不同，故A错；C中，函数y＝eq\r(x2)＝|x|(x∈R)与函数y＝x(x∈R)的对应关系不同，故C错；D中，函数y＝eq\f(x2,x)＝x(x≠0)与函数y＝x(x∈R)的定义域不同，故D错；B中，函数y＝eq\r(3,x3)＝x(x∈R)与函数y＝x(x∈R)对应关系相同，定义域也相同，故B正确．5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,－x，x>1，))若f(x)＝2，则x等于()A．log32 B．－2C．log32或－2 D．2答案A解析当x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；当x>1时，－x＝2，∴x＝－2(舍去)．∴x＝log32.6．已知函数f(x)对任意实数x满足f(2x－1)＝2x2，若f(m)＝2，则m＝()A．1 B．0C．1或－3 D．3或－1答案C解析本题考查函数的概念与解析式的求解．令2x－1＝t可得x＝eq\f(1,2)(t＋1)，故f(t)＝2×eq\f(1,4)×(t＋1)2＝eq\f(1,2)(t＋1)2，故f(m)＝eq\f(1,2)(m＋1)2＝2，故m＝1或m＝－3.7．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若f(f(eq\f(5,6)))＝4，则b＝()A．1 B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)答案D解析f(eq\f(5,6))＝3×eq\f(5,6)－b＝eq\f(5,2)－b，当eq\f(5,2)－b≥1，即b≤eq\f(3,2)时，f(eq\f(5,2)－b)＝2eq\f(5,2)－b，即2eq\f(5,2)－b＝4＝22，得到eq\f(5,2)－b＝2，即b＝eq\f(1,2)；当eq\f(5,2)－b<1，即b>eq\f(3,2)时，f(eq\f(5,2)－b)＝eq\f(15,2)－3b－b＝eq\f(15,2)－4b，即eq\f(15,2)－4b＝4，得到b＝eq\f(7,8)<eq\f(3,2)，舍去．综上，b＝eq\f(1,2)，故选D.8．定义函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则不等式(x＋1)f(x)>2的解集是________．答案{x|x<－3或x>1}解析①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x＝0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．所以不等式(x＋1)f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．9．已知f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，则f(3)＝______．答案11解析∵f(x－eq\f(1,x))＝(x－eq\f(1,x))2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11.10．已知f(2x＋1)＝x2－3x，则f(x)＝________．答案eq\f(1,4)x2－2x＋eq\f(7,4)解析令2x＋1＝t，则x＝eq\f(t－1,2)，f(t)＝(eq\f(t－1,2))2－3×eq\f(t－1,2)＝eq\f(t2－2t＋1,4)－eq\f(3t－3,2)＝eq\f(t2－8t＋7,4)，所以f(x)＝eq\f(1,4)x2－2x＋eq\f(7,4).11．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)231x123g(x)321则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．答案1，212．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．答案－3解析∵f(1)＝2>0，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2<0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.13．已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－（x－1）2，x>0，))使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．答案[－4，2]解析由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,\f(1,2)x＋1≥－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,－（x－1）2≥－1，))解得－4≤x≤0或0<x≤2，故x的取值范围是[－4，2]．14．具有性质：f(eq\f(1,x))＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y＝x－eq\f(1,x)；②y＝x＋eq\f(1,x)；③y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，0<x<1，,0，x＝1，,－\f(1,x)，x>1.))其中满足“倒负”变换的函数是________．答案①③解析对于①，f(x)＝x－eq\f(1,x)，f(eq\f(1,x))＝eq\f(1,x)－x＝－f(x)，满足；对于②，f(eq\f(1,x))＝eq\f(1,x)＋x＝f(x)，不满足；对于③，f(eq\f(1,x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<\f(1,x)<1，,0，\f(1,x)＝1，,－x，\f(1,x)>1，))即f(eq\f(1,x))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x>1，,0，x＝1，,－x，0<x<1.))故f(eq\f(1,x))＝－f(x)，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.15．已知函数f(x)对任意的x∈R，f(x＋1001)＝eq\f(2,\r(f（x）)＋1)，已知f(16)＝1，则f(2018)＝________．答案1解析f(2018)＝f(1017＋1001)＝eq\f(2,\r(f（1017）)＋1)，又f(1017)＝f(16＋1001)＝eq\f(2,\r(f（16）)＋1)＝1，∴f(2018)＝eq\f(2,1＋1)＝1.16．一个圆柱形容器的底面直径为dcm，高度为hcm，现以Scm3/s的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y(cm)与注入时间t(s)的函数关系式及定义域．答案y＝eq\f(4S,πd2)·t，t∈[0，eq\f(πhd2,4S)]解析依题意，容器内溶液每秒升高eq\f(4S,πd2)cm.于是y＝eq\f(4S,πd2)·t.又注满容器所需时间h÷(eq\f(4S,πd2))＝eq\f(πhd2,4S)(秒)，故函数的定义域是t∈[0，eq\f(πhd2,4S)]．17．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，求c和A的值．答案60，16解析因为组装第A件产品用时15分钟，所以eq\f(c,\r(A))＝15①，所以必有4<A，且eq\f(c,\r(4))＝eq\f(c,2)＝30②，联立①②解得c＝60，A＝16.18．已知函数f(x)＝x·|x|－2x.(1)求函数f(x)＝0时x的值；(2)画出y＝f(x)的图像，并结合图像写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．答案(1)－2，0，2(2)(－1，1)解析(1)由f(x)＝0可解得x＝0，x＝±2，所以函数f(x)＝0时x的值为－2，0，2.(2)f(x)＝x|x|－2x，即f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))图像如图所示．由图像可得实数m∈(－1，1)．第2课时函数的定义域与值域1．函数y＝eq\f(lg（x＋1）,x－1)的定义域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)答案C解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x－1≠0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－1，,x≠1，))选C.2．下列函数中，与函数y＝eq\f(1,\r(3,x))定义域相同的函数为()A．y＝eq\f(1,sinx) B．y＝eq\f(lnx,x)C．y＝xex D．y＝eq\f(sinx,x)答案D解析因为y＝eq\f(1,\r(3,x))的定义域为{x|x≠0}，而y＝eq\f(1,sinx)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，y＝eq\f(lnx,x)的定义域为{x|x>0}，y＝xex的定义域为R，y＝eq\f(sinx,x)的定义域为{x|x≠0}，故D项正确．3．函数y＝eq\r(（\f(1,4)）－x－3·2x－4)的定义域为()A．[2，＋∞) B．(－∞，2]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案A解析由题意得(eq\f(1,4))－x－3·2x－4≥0，即22x－3·2x－4≥0.∴(2x－4)(2x＋1)≥0，解得x≥2.故选A.4．函数f(x)＝eq\f(\r(－x2－3x＋4),lg（x＋1）)的定义域为()A．(－1，0)∪(0，1] B．(－1，1]C．(－4，－1] D．(－4，0)∪(0，1]答案A解析要使函数f(x)有意义，应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－3x＋4≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得－1<x<0或0<x≤1，故选A.5．若函数y＝f(x)的定义域是[1，2019]，则函数g(x)＝eq\f(f（x＋1）,lgx)的定义域是()A．(0，2018] B．(0，1)∪(1，2018]C．(1，2019] D．[－1，1)∪(1，2018]答案B解析使函数g(x)有意义的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x＋1≤2019，,x>0且x≠1，))解得0<x<1或1<x≤2018.故函数g(x)的定义域为(0，1)∪(1，2018]．故选B.6．若对函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)作x＝h(t)的代换，则总不改变函数f(x)的值域的代换是()A．h(t)＝10t B．h(t)＝t2C．h(t)＝sint D．h(t)＝log2t答案D解析∵log2t∈R，故选D.7．函数y＝1＋x－eq\r(1－2x)的值域为()A．(－∞，eq\f(3,2)) B．(－∞，eq\f(3,2)]C．(eq\f(3,2)，＋∞) D．[eq\f(3,2)，＋∞)答案B解析设eq\r(1－2x)＝t，则t≥0，x＝eq\f(1－t2,2)，所以y＝1＋eq\f(1－t2,2)－t＝eq\f(1,2)(－t2－2t＋3)＝－eq\f(1,2)(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤eq\f(3,2).所以函数y＝1＋x－eq\r(1－2x)的值域为(－∞，eq\f(3,2)]，故选B.8．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－eq\f(25,4)，－4]，则实数m的取值范围是()A．(0，4] B．[－eq\f(25,4)，－4]C．[eq\f(3,2)，3] D．[eq\f(3,2)，＋∞)答案C解析函数y＝x2－3x－4的图像如图所示．因为y＝(x－eq\f(3,2))2－eq\f(25,4)≥－eq\f(25,4)，由图可知，m的取值从对称轴的横坐标eq\f(3,2)开始，一直到点(0，－4)关于对称轴对称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m的取值范围是[eq\f(3,2)，3]．9．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x≤0），,\f(1,x)（x>0）.))其中定义域与值域相同的函数的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析①y＝3－x的定义域和值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为(eq\f(1,2)，＋∞)，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x≤0），,\f(1,x)（x>0）))的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B.10．函数y＝2eq\s\up6(\f(1－x,1＋x))的值域为________．答案{y|y>0且y≠eq\f(1,2)}解析∵u＝eq\f(1－x,1＋x)＝－1＋eq\f(2,1＋x)≠－1，∴y≠eq\f(1,2).又y>0，∴值域为{y|y>0且y≠eq\f(1,2)}．11．函数y＝eq\f(10x＋10－x,10x－10－x)的值域为________．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)．解析由y＝eq\f(10x＋10－x,10x－10－x)，得eq\f(y＋1,y－1)＝102x.∵102x>0，∴eq\f(y＋1,y－1)>0.∴y<－1或y>1.即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．12．函数y＝eq\f(x,x2＋x＋1)(x>0)的值域是________．答案(0，eq\f(1,3)]解析由y＝eq\f(x,x2＋x＋1)(x>0)，得0<y＝eq\f(x,x2＋x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋1)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋1)＝eq\f(1,3)，因此该函数的值域是(0，eq\f(1,3)]．13．函数y＝x4＋x2＋1的值域是________；y＝x4－x2＋1的值域是________．答案[1，＋∞)；eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))14．函数f(x)＝ax＋eq\r(ax＋2)的值域为________．答案(eq\r(2)，＋∞)解析令t＝eq\r(ax＋2)，则t>eq\r(2)且t2＝ax＋2，∴ax＝t2－2，∴原函数等价于y＝g(t)＝t2－2＋t＝(t＋eq\f(1,2))2－eq\f(9,4)，函数的对称轴为t＝－eq\f(1,2)，函数图像开口向上．∵t>eq\r(2)，∴函数在(eq\r(2)，＋∞)上单调递增．∴g(t)>g(eq\r(2))＝(eq\r(2))2－2＋eq\r(2)＝eq\r(2)，即y>eq\r(2)，∴函数的值域为(eq\r(2)，＋∞)．15．函数y＝eq\f(x2＋x＋1,x＋1)的值域为________．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析方法一：判别式法由y＝eq\f(x2＋x＋1,x＋1)，得x2＋(1－y)x＋1－y＝0.∵x∈R，x≠－1，∴Δ＝(1－y)2－4(1－y)≥0.解得y≤－3或y≥1.当y＝－3时，x＝－2；当y＝1时，x＝0.所以，函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．方法二：分离常数法y＝eq\f(x2＋x＋1,x＋1)＝eq\f(（x＋1）2－（x＋1）＋1,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(1,x＋1)－1，又(x＋1)＋eq\f(1,x＋1)≥2或(x＋1)＋eq\f(1,x＋1)≤－2，∴y≥1或y≤－3.∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．16．已知函数f(x)＝ln(1－eq\f(a,2x))的定义域是(1，＋∞)，求实数a的值．答案2解析由题意得，不等式1－eq\f(a,2x)>0的解集是(1，＋∞)．由1－eq\f(a,2x)>0，可得2x>a，故x>log2a.由log2a＝1，得a＝2.17．已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．答案(1)(－∞，－1]∪(eq\f(5,3)，＋∞)(2)[1，eq\f(5,3)]解析(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1>0，,Δ＝（a＋1）2－4（a2－1）<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1或a<－1，,a>\f(5,3)或a<－1.))∴a<－1或a>eq\f(5,3).又a＝－1时，f(x)＝0，满足题意．∴a≤－1或a>eq\f(5,3).∴a的取值范围为(－∞，－1]∪(eq\f(5,3)，＋∞)．(2)当a2－1＝0时，得a＝1或－1，检验得a＝1满足．当a2－1≠0时，若f(x)的值域为R.满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1>0，,Δ＝（a＋1）2－4（a2－1）≥0，))解得1<a≤eq\f(5,3).综上得a的取值范围为[1，eq\f(5,3)]．第3课时函数的单调性和最值1．下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是()A．y＝－2x＋1 B．y＝eq\f(1,x)C．y＝lgx D．y＝x3答案B解析y＝－2x＋1在定义域上为单调递减函数；y＝lgx在定义域上为单调递增函数；y＝x3在定义域上为单调递增函数；y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为单调递减函数，但在定义域上不是单调函数，故选B.2．函数f(x)＝1－eq\f(1,x－1)()A．在(－1，＋∞)上单调递增 B．在(1，＋∞)上单调递增C．在(－1，＋∞)上单调递减 D．在(1，＋∞)上单调递减答案B解析f(x)图像可由y＝－eq\f(1,x)图像沿x轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，如图所示．3．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是()A．(0，eq\f(3,4)) B．[0，eq\f(3,4))C．(0，eq\f(3,4)] D．[0，eq\f(3,4)]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－12x＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a≠0时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(4（a－3）,4a)≥3，))得0<a≤eq\f(3,4).综上，a的取值范围是[0，eq\f(3,4)]．4．函数f(x)＝x|x－2|的单调减区间是()A．[1，2]B．[－1，0]C．[0，2]D．[2，＋∞)答案A解析由于f(x)＝x|x－2|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x<2，))结合图像可知函数的单调减区间是[1，2]，故选A.5．函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是()A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)答案A解析由已知易得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,x－3>0，))即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．6．函数y＝eq\r(x＋1)－eq\r(x－1)的值域为()A．(－∞，eq\r(2)] B．(0，eq\r(2)]C．[eq\r(2)，＋∞) D．[0，＋∞)答案B解析方法一：求导y′＝eq\f(1,2)(eq\f(1,\r(x＋1))－eq\f(1,\r(x－1)))＝eq\f(1,2)eq\f(\r(x－1)－\r(x＋1),\r(x＋1)·\r(x－1))，∵函数的定义域为[1，＋∞)，∴eq\r(x－1)－eq\r(x＋1)<0.∴y′<0，从而函数在[1，＋∞)上单调递减．∴当x＝1时，ymax＝eq\r(2)，当x→＋∞时，y→0.∴y∈(0，eq\r(2)]．方法二：y＝eq\f(2,\r(x＋1)＋\r(x－1))，由分母递增可知函数在定义域内为递减函数，利用单调性求值域．7．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是()A．(－∞，0] B．[0，1)C．[1，＋∞) D．[－1，0]答案B解析g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1.))如图所示，其递减区间是[0，1)．故选B.8．设函数f(x)＝eq\f(2x,x－2)在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则eq\f(m2,M)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,8)C.eq\f(3,2) D.eq\f(8,3)答案D解析易知f(x)＝eq\f(2x,x－2)＝2＋eq\f(4,x－2)，所以f(x)在区间[3，4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋eq\f(4,3－2)＝6，m＝f(4)＝2＋eq\f(4,4－2)＝4，所以eq\f(m2,M)＝eq\f(16,6)＝eq\f(8,3).9．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|eq\f(1,x)|)<f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1，1) B．(0，1)C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案C解析由已知得|eq\f(1,x)|>1⇒－1<x<0或0<x<1，故选C.10．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有()A．x＋y≥0 B．x＋y≤0C．x－y≤0 D．x－y≥0答案B解析设函数f(x)＝2x－5－x，易知f(x)为增函数．又f(－y)＝2－y－5y，由已知得f(x)≤f(－y)，所以x≤－y，所以x＋y≤0.11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq\f(f（x）,x)在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值 B．有最大值C．是减函数 D．是增函数答案D解析由题意知a<1，所以g(x)＝eq\f(f（x）,x)＝x＋eq\f(a,x)－2a，当a<0时，显然g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，当a>0时，g(x)在[eq\r(a)，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)在(1，＋∞)上一定是增函数．12．函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案(－∞，－1]和[0，1](－1，0)和(1，＋∞)解析由于y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0，))即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（x－1）2＋2，x≥0，,－（x＋1）2＋2，x<0.))画出函数图像如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．13．函数y＝eq\r(x)－x(x≥0)的最大值为________．答案eq\f(1,4)解析令t＝eq\r(x)，则t≥0，所以y＝t－t2＝－(t－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，所以当t＝eq\f(1,2)时，ymax＝eq\f(1,4).14．在给出的下列4个条件中，①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,x∈（－∞，0），)) ②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,x∈（0，＋∞），))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,x∈（－∞，0），)) ④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1，,x∈（0，＋∞）))能使函数y＝logaeq\f(1,x2)为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)．答案①④解析利用复合函数的性质，①④正确．15．已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≥a，,ea－x，x<a，))当x≥a时，f(x)单调递增，当x<a时，f(x)单调递减，又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以a≤1.16．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析由题意可得，a>x－(eq\f(1,2))x(x>0)．令f(x)＝x－(eq\f(1,2))x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．17．已知函数f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2)，其中a是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．答案(1)a>1时，(0，＋∞)；a＝1时，{x|x>0且x≠1}；0<a<1时，{x|0<x<1－eq\r(1－a)或x>1＋eq\r(1－a)}(2)lgeq\f(a,2)(3)(2，＋∞)解析(1)由x＋eq\f(a,x)－2>0，得eq\f(x2－2x＋a,x)>0.①当a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)；②当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；③当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－eq\r(1－a)或x>1＋eq\r(1－a)}．(2)设g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，g(x)＝x＋eq\f(a,x)－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2)在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lgeq\f(a,2).(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋eq\f(a,x)－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．∴a>3x－x2.而h(x)＝3x－x2＝－(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(9,4)在x∈[2，＋∞)上是减函数，∴h(x)max＝h(2)＝2.∴a>2.第4课时函数的奇偶性与周期性1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|答案B解析因为y＝x3是奇函数，y＝|x|＋1，y＝－x2＋1，y＝2－|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y＝－x2＋1，y＝2－|x|＝(eq\f(1,2))|x|在(0，＋∞)上均为减函数，只有y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，所以C，D两项错误，只有选项B正确．2．函数f(x)＝x＋eq\f(9,x)(x≠0)是()A．奇函数，且在(0，3)上是增函数 B．奇函数，且在(0，3)上是减函数C．偶函数，且在(0，3)上是增函数 D．偶函数，且在(0，3)上是减函数答案B解析因为f(－x)＝－x＋eq\f(9,－x)＝－(x＋eq\f(9,x))＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋eq\f(9,x)为奇函数．当x1，x2∈(0，3)(x1<x2)时，f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(9,x1)－(x2＋eq\f(9,x2))＝(x1－x2)eq\f(x1x2－9,x1x2).因为x1－x2<0，x1x2>0，x1x2<9，所以(x1－x2)eq\f(x1x2－9,x1x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，3)上是减函数，故选B.3．若函数f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax3＋bx2＋9x是()A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数答案A解析由于f(x)＝ax2＋bx＋8(a≠0)是偶函数，所以b＝0，所以g(x)＝2ax3＋9x(a≠0)，所以g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax3＋9x)＝－g(x)，所以g(x)＝2ax3＋9x是奇函数．故选A.4．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于()A．－x(1－x) B．x(1－x)C．－x(1＋x) D．x(1＋x)答案B解析当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．5．函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1，0]上是减函数，则f(x)在[2，3]上是()A．增函数 B．减函数C．先增后减的函数 D．先减后增的函数答案A6．已知定义在R上的函数f(x)的满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2019)＝()A．－3 B．0C．1 D．3答案B解析用－x换x，可将f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，∴T＝6，∴f(2019)＝f(336×6＋3)＝f(3)．∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.7．若定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2015)，f(2016)，f(2017)的大小关系是()A．f(2015)<f(2016)<f(2017) B．f(2015)>f(2016)>f(2017)C．f(2016)>f(2015)>f(2017) D．f(2016)<f(2017)<f(2015)答案A解析因为定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝－8，f(2016)＝f(4×504)＝f(0)＝0，f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝8，即f(2015)<f(2016)<f(2017)．8．已知定义在R上的函数f(x)满足：y＝f(x－1)的图像关于(1，0)点对称，且当x≥0时恒有f(x－eq\f(3,2))＝f(x＋eq\f(1,2))，当x∈[0，2)时，f(x)＝ex－1，则f(2016)＋f(－2015)＝()A．1－e B．e－1C．－1－e D．e＋1答案A解析y＝f(x－1)的图像关于(1，0)点对称，则f(x)关于原点对称．当x≥0时恒有f(x－eq\f(3,2))＝f(x＋eq\f(1,2))，即函数f(x)的周期为2.所以f(2016)＋f(－2015)＝f(0)－f(1)＝1－e.故选A.9．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝()A．4 B．2C．1 D．0答案A解析设t＝x－1，则f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2，2]．记g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函数．由已知得y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.故选A.10．给出下列函数：①f(x)＝sinx；②f(x)＝tanx；③f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1；))④f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,－2－x，x<0.))则它们共同具有的性质是()A．周期性 B．偶函数C．奇函数 D．无最大值答案C解析f(x)＝sinx为奇函数，周期为2π且有最大值；f(x)＝tanx为奇函数且周期为π，但无最大值；作出f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x>1，,x，－1≤x≤1，,－x－2，x<－1))的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值；作出f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,－2－x，x<0))的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．所以这些函数共同具有的性质是奇函数．11．如果函数g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3，x>0，,f（x），x<0))是奇函数，那么f(x)＝________．答案2x＋3解析令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x－3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，所以f(x)＝2x＋3.12．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．答案－1解析令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.13．(1)若f(x)＝eq\f(1,2x－1)＋a是奇函数，则a＝________．(2)已知函数f(x)＝eq\f(x＋2－a,x4＋3)是奇函数，则实数a的值为________．(3)若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________．(4)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________．答案(1)eq\f(1,2)(2)2(3)1(4)0解析(1)依题意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得eq\f(1,21－1)＋a＋eq\f(1,2－1－1)＋a＝0，解得a＝eq\f(1,2).(2)方法一：因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即2－a＝0，解得a＝2.方法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即eq\f(x＋2－a,x4＋3)＋eq\f(－x＋2－a,x4＋3)＝0，即x＋2－a－x＋2－a＝0，解得a＝2.(3)由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln(eq\r(a＋x2)－x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))，则ln(x＋eq\r(a＋x2))＋ln(eq\r(a＋x2)－x)＝0，∴ln[(eq\r(a＋x2))2－x2]＝0，得lna＝0，∴a＝1.(4)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即|x－a|＝|x＋a|，两边平方得4ax＝0.∴a＝0.故填0.14．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．答案(－2，eq\f(2,3))解析易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0⇒f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2<－x⇒mx＋x－2<0对所有m∈[－2，2]恒成立．令g(m)＝xm＋x－2，此时只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（－2）<0，,g（2）<0))即可，解得－2<x<eq\f(2,3).15．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为________．答案{x|－1<x<0或0<x<1}解析∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化简为xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f(x)的大致图像如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1<x<0或0<x<1}．16．若f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数，且x∈[0，1)时f(x)为增函数，求不等式f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0的解集．答案{x|－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,4)}解析∵f(x)为奇函数，且在[0，1)上为增函数，∴f(x)在(－1，0)上也是增函数．∴f(x)在(－1，1)上为增函数．f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0⇔f(x)＜－f(x－eq\f(1,2))＝f(eq\f(1,2)－x)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＜x＜1，,－1＜\f(1,2)－x＜1，,x＜\f(1,2)－x))⇔－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,4).∴不等式f(x)＋f(x－eq\f(1,2))＜0的解集为{x|－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(1,4)}．17．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求：(1)f(0)与f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2013)＋f(－2014)的值．答案(1)f(0)＝0，f(2)＝0(2)f(3)＝－1(3)1解析(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2013)＋f(－2014)＝f(2013)＋f(2014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log2(0＋1)＝0，f(1)＝log2(1＋1)＝1，故f(2013)＋f(－2014)＝1.第5课时二次函数1．若函数y＝(x＋4)2在某区间上是减函数，则这区间可以是()A．[－4，0] B．(－∞，0]C．(－∞，－5] D．(－∞，4]答案C2．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋1答案D解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝1，,a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c－（ax2＋bx＋c）＝2x.))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，,c＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝1，))则f(x)＝x2－x＋1.故选D.3．已知m>2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m＋1，y3)都在二次函数y＝x2－2x的图像上，则()A．y1<y2<y3 B．y3<y2<y1C．y1<y3<y2 D．y2<y1<y3答案A4．已知函数f(x)＝eq\r(mx2＋mx＋1)的定义域是实数集R，则实数m的取值范围是()A．(0，4) B．[0，4]C．(0，4] D．[0，4)答案B解析因为函数f(x)＝eq\r(mx2＋mx＋1)的定义域是实数集R，所以m≥0，当m＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R；当m>0时，则Δ＝m2－4m≤0，解得0<m≤4.综上所述，实数m的取值范围是0≤m≤4.5．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－1，2]C．[－1，2] D．[2，5)答案C解析二次函数f(x)＝－x2＋4x的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x＝2时取得，而当x＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图像可知m的取值范围是[－1，2]．6．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1，3]上的值域为()A．[0，12] B．[－eq\f(1,4)，12]C．[－eq\f(1,2)，12] D．[eq\f(3,4)，12]答案B解析因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像过坐标原点，所以f(0)＝0，所以b＝0.因为f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数f(x)的图像的对称轴为x＝－eq\f(1,2)，所以a＝1，所以f(x)＝x2＋x＝(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(1,4)，所以函数f(x)在[－1，－eq\f(1,2)]上为减函数，在(－eq\f(1,2)，3]上为增函数，故当x＝－eq\f(1,2)时，函数f(x)取得最小值－eq\f(1,4).又f(－1)＝0，f(3)＝12，故函数f(x)在[－1，3]上的值域为[－eq\f(1,4)，12]，故选B.7．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()答案D解析若a>0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－eq\f(b,2a)>0，函数f(x)的图像与y轴的交点(0，c)在x轴下方．故选D.8．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c（x≤0），,2（x>0），))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为()A．4 B．2C．1 D．3答案D解析由解析式可得f(－4)＝16－4b＋c＝f(0)＝c，解得b＝4.f(－2)＝4－8＋c＝－2，可求得c＝2.∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2（x≤0），,2（x>0）.))又f(x)＝x，则当x≤0时，x2＋4x＋2＝x，解得x1＝－1，x2＝－2.当x>0时，x＝2，综上可知有三解．9．若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈(0，eq\f(1,2)]恒有y≥0成立，则a的最小值是()A．0 B．2C．－eq\f(5,2) D．－3答案C解析设g(x)＝ax＋x2＋1，x∈(0，eq\f(1,2)]，则g(x)≥0在x∈(0，eq\f(1,2)]上恒成立，即a≥－(x＋eq\f(1,x))在x∈(0，eq\f(1,2)]上恒成立．又h(x)＝－(x＋eq\f(1,x))在x∈(0，eq\f(1,2)]上为单调递增函数，当x＝eq\f(1,2)时，h(x)max＝h(eq\f(1,2))，所以a≥－(eq\f(1,2)＋2)即可，解得a≥－eq\f(5,2).10．若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________．答案9或25解析y＝8(x－eq\f(m－1,16))2＋m－7－8·(eq\f(m－1,16))2，∵值域为[0，＋∞)，∴m－7－8·(eq\f(m－1,16))2＝0，∴m＝9或25.11．(1)已知函数f(x)＝4x2＋kx－8在[－1，2]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．答案(－∞，－16]∪[8，＋∞)解析函数f(x)＝4x2＋kx－8的对称轴为x＝－eq\f(k,8)，则－eq\f(k,8)≤－1或－eq\f(k,8)≥2，解得k≥8或k≤－16.(2)若函数y＝x2＋bx＋2b－5(x<2)不是单调函数，则实数b的取值范围为________．答案(－4，＋∞)解析函数y＝x2＋bx＋2b－5的图像是开口向上，以x＝－eq\f(b,2)为对称轴的抛物线，所以此函数在(－∞，－eq\f(b,2))上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－eq\f(b,2)<2，解得b>－4.所以实数b的取值范围为(－4，＋∞)．12．已知y＝(cosx－a)2－1，当cosx＝－1时，y取最大值，当cosx＝a时，y取最小值，则a的取值范围是________．答案0≤a≤1解析由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a≤0，,－1≤a≤1，))∴0≤a≤1.13．函数f(x)＝x2＋2x，若f(x)>a在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a的取值范围为________；②恒成立，则a的取值范围为________．答案①a<15②a<3解析①f(x)>a在区间[1，3]上恒有解，等价于a<[f(x)]max，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1，3]，当x＝3时，[f(x)]max＝15，故a的取值范围为a<15.②f(x)>a在区间[1，3]上恒成立，等价于a<[f(x)]min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1，3]，当x＝1时，[f(x)]min＝3，故a的取值范围为a<3.14．如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a＝________．答案1解析因为函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a>4－3a，,－a＝1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a≤4－3a，,4－3a＝1，))解得a＝1.15．已知函数f(x)＝x2－6x＋5，x∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围是________．答案a≥5解析∵f(x)的对称轴为x＝3，要使f(x)在[1，a]上最大值为f(a)，由图像对称性知a≥5.16．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．答案(1)最小值－1，最大值35(2)a≤－6或a≥4(3)单调递增区间(0，6]，单调递减区间[－6，0]解析(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4，6]，∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6，6]，且f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋3，x∈（0，6]，,x2－2x＋3，x∈[－6，0].))∴f(|x|)的单调递增区间是(0，6]，单调递减区间是[－6，0]．17．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k的取值范围．答案(1)f(x)＝x2＋2x＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1](2)(－∞，1)解析(1)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝－1，,f（－1）＝a－b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))所以f(x)＝x2＋2x＋1.由f(x)＝(x＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立．令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，由g(x)＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数．则g(x)min＝g(－1)＝1.所以k<1.即k的取值范围是(－∞，1)．第6课时指数函数1．给出下列结论：①当a<0时，(a2)eq\s\up6(\f(3,2))＝a3；②eq\r(n,an)＝|a|(n>1，n∈N*，n为偶数)；③函数f(x)＝(x－2)eq\s\up6(\f(1,2))－(3x－7)0的定义域是{x|x≥2且x≠eq\f(7,3)}；④若5a＝0.3，0.7b＝0.8，则ab>0.其中正确的是()A．①② B．②③C．③④ D．②④答案B解析(a2)eq\s\up6(\f(3,2))>0，a3<0，故①错，∵0<5a<1，0<0.7b<1，∴a<0，b>0，∴ab<0.故④错．2．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A．1<|a|<2 B．|a|<1C．|a|>eq\r(2) D．|a|<eq\r(2)答案C3．下列函数中值域为正实数集的是()A．y＝－5x B．y＝(eq\f(1,3))1－xC．y＝eq\r(（\f(1,2)）x－1) D．y＝3|x|答案B4．若函数f(x)＝(a＋eq\f(1,ex－1))cosx是奇函数，则常数a的值等于()A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)答案D5．已知函数f(x)＝3x－(eq\f(1,3))x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数答案A解析∵f(－x)＝3－x－(eq\f(1,3))－x＝(eq\f(1,3))x－3x＝－[3x－(eq\f(1,3))x]＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．又函数y1＝3x在R上为增函数，y2＝(eq\f(1,3))x在R上为减函数，∴y＝3x－(eq\f(1,3))x在R上为增函数．故选A.6．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x的图像关于()A．y轴对称 B．x轴对称C．原点对称 D．直线y＝x对称答案A解析g(x)＝(eq\f(1,2))x－1，分别画出f(x)，g(x)的图像知，选A.7．当x∈[－2，2]时，ax<2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\f(\r(2),2)，1)C．(eq\f(\r(2),2)，1)∪(1，eq\r(2)) D．(0，1)∪(1，eq\r(2))答案C解析x∈[－2，2]时，ax<2(a>0，且a≠1)．若a>1，y＝ax是一个增函数，则有a2<2，可得a<eq\r(2)，故有1<a<eq\r(2)；若0<a<1，y＝ax是一个减函数，则有a－2<2，可得a>eq\f(\r(2),2)，故有eq\f(\r(2),2)<a<1.综上所述，a∈(eq\f(\r(2),2)，1)∪(1，eq\r(2))．故选C.8．函数f(x)＝ax－eq\f(1,a)(a>0，a≠1)的图像可能是()答案D解析通解当a>1时，将y＝ax的图像向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f(x)＝ax－eq\f(1,a)的图像，A，B都不符合；当0<a<1时，将y＝ax的图像向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f(x)＝ax－eq\f(1,a)的图像，而eq\f(1,a)大于1，故选D.优解函数f(x)的图像恒过点(－1，0)，只有选项D中的图像符合．9．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a答案C解析由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b<a<c，故选C.10．函数y＝e1－x2的图像大致是()答案C解析易知函数f(x)为偶函数，因此排除A，B；又因为f(x)＝e1－x2>0，故排除D，因此选C.11．不论a为何值时，函数y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒过一定点，则这个定点的坐标是()A．(1，－eq\f(1,2)) B．(1，eq\f(1,2))C．(－1，－eq\f(1,2)) D．(－1，eq\f(1,2))答案C解析y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)＝a(2x－eq\f(1,2))－2x，令2x－eq\f(1,2)＝0，得x＝－1，则函数y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒过定点(－1，－eq\f(1,2))．12．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A．(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1)C．(1，＋∞) D．(0，eq\f(1,2))答案D解析方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实数根⇔函数y＝|ax－1|与y＝2a的图像有两个交点．①当0<a<1时，如图①，所以0<2a<1，即0<a<eq\f(1,2).②当a>1时，如图②，而y＝2a>1不符合要求．综上，0<a<eq\f(1,2).故选D.13．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．答案－eq\f(3,2)解析①当0<a<1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递减，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝0，,f（0）＝－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝0，,a0＋b＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－2，))此时a＋b＝－eq\f(3,2).②当a>1时，函数f(x)在[－1，0]上单调递增，由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝－1，,f（0）＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝－1，,a0＋b＝0，))显然无解．所以a＋b＝－eq\f(3,2).14．已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．答案eq\f(1,2)解析当a<1时，41－a＝21，a＝eq\f(1,2)，当a>1时，代入不成立．15．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0；②a<0，b≥0，c>0；③2－a<2c；④2a＋2c<2.答案④解析作出函数图像，由图像可知a<0时，b的符号不确定，1>c>0，故①②错；因为f(a)＝|2a－1|，f(c)＝|2c－1|，所以|2a－1|>|2c－1|，即1－2a>2c－1，故2a＋2c<2，④成立；又2a＋2c>2eq\r(2a＋c)，所以2a＋c<1，所以a＋c<0，所以－a>c，所以2－a>2c，③不成立．16．函数y＝(eq\f(1,4))x－(eq\f(1,2))x＋1在[－3，2]上的值域是________．答案[eq\f(3,4)，57]解析y＝(eq\f(1,4))x－(eq\f(1,2))x＋1＝[(eq\f(1,2))x]2－(eq\f(1,2))x＋1＝[(eq\f(1,2))x－eq\f(1,2)]2＋eq\f(3,4)，因为x∈[－3，2]，所以eq\f(1,4)≤(eq\f(1,2))x≤8.当(eq\f(1,2))x＝eq\f(1,2)时，ymin＝eq\f(3,4)，当(eq\f(1,2))x＝8时，ymax＝57.所以函数的值域为[eq\f(3,4)，57]．17．是否存在实数a，使函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在[－1，1]上的最大值是14?答案a＝3或a＝eq\f(1,3)解析令t＝ax，则y＝t2＋2t－1.(1)当a>1时，∵x∈[－1，1]，∴ax∈[eq\f(1,a)，a]，即t∈[eq\f(1,a)，a]．∴y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2在[eq\f(1,a)，a]上是增函数(对称轴t＝－1<eq\f(1,a))．∴当t＝a时，ymax＝(a＋1)2－2＝14.∴a＝3或a＝－5.∵a>1，∴a＝3.(2)当0<a<1时，t∈[a，eq\f(1,a)]．∵y＝(t＋1)2－2在[a，eq\f(1,a)]上是增函数，∴ymax＝(eq\f(1,a)＋1)2－2＝14.∴a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,5).∵0<a<1，∴a＝eq\f(1,3).综上，a＝3或a＝eq\f(1,3).18．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)>2－x成立，求实数k的取值范围．答案(1)k＝－1(2)(0，＋∞)解析(1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)．∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，∴k＝－1.(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)>2－x，即2x＋k·2－x>2－x成立，∴1－k<22x对x≥0恒成立，∴1－k<(22x)min.∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，∴(22x)min＝1，∴k>0.∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．第7课时对数函数1．2lg2－lgeq\f(1,25)的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析2lg2－lgeq\f(1,25)＝lg(22÷eq\f(1,25))＝lg100＝2，故选B.2．若logaeq\f(2,3)<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是()A．(0，eq\f(2,3)) B．(1，＋∞)C．(0，eq\f(2,3))∪(1，＋∞) D．(eq\f(2,3)，1)答案C解析当0<a<1时，logaeq\f(2,3)<logaa＝1，∴0<a<eq\f(2,3)；当a>1时，logaeq\f(2,3)<logaa＝1，∴a>1.∴实数a的取值范围是(0，eq\f(2,3))∪(1，＋∞)．3．已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝b＜c B．a＝b>cC．a＜b＜c D．a>b>c答案B解析a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，因此a＝b，而log23eq\r(3)>log22＝1，log32＜log33＝1，所以a＝b>c，故选B.4．函数y＝lneq\f(1,|2x－3|)的图像为()答案A解析易知2x－3≠0，即x≠eq\f(3,2)，排除C，D项．当x>eq\f(3,2)时，函数为减函数，当x<eq\f(3,2)时，函数为增函数，所以选A.5．若0＜a＜1，则不等式eq\f(1,logax)>1的解是()A．x>a B．a＜x＜1C．x>1 D．0＜x＜a答案B解析易得0＜logax＜1，∴a＜x＜1.6．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c答案D解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c，故选D.7．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2（2－x），x<1，,2x－1，x≥1，))则f(－2)＋f(log212)等于()A．3 B．6C．9 D．12答案C解析因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝3.因为log212>1，所以f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6.所以f(－2)＋f(log212)＝9.故选C.8．若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是()A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得eq\f(1,log2a)<eq\f(1,log2b)<eq\f(1,log2c)<0，即log2c<log2b<log2a<0，可得c<b<a<1.故选C.9．设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do9(\f(1,2))（－x），x<0，))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)答案C解析由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>log\s\do9(\f(1,2))a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,log\s\do9(\f(1,2))（－a）>log2（－a），))解得a>1或－1<a<0，故选C.10．设0＜a＜1，则()A．log2a>logeq\r(2)eq\r(a) B．logeq\r(2)eq\r(a)>logeq\r(2)aC．log2a<logeq\r(2)a D．log2eq\r(a)<logeq\r(2)a答案B解析∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜eq\r(a)＜1，∴在A中，log2a＝logeq\r(2)eq\r(a)，故A错误；在B中，logeq\r(2)eq\r(a)>logeq\r(2)a，故B正确；在C中，log2a>logeq\r(2)a，故C错误；在D中，log2eq\r(a)>logeq\r(2)a，故D错误．11．若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a的取值范围是()A．(0，1) B．[2，＋∞)C．[2，3) D．(1，3)答案C解析当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>