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高考数学一轮总复习:第二章函数与基本初等函数第1课时函数及其表示1.下列表格中的x与y能构成函数的是()答案C解析A中0既是非负数又是非正数;B中0又是偶数;D中自然数也是整数,也是有理数.2.下列图像中不能作为函数图像的是()答案B解析B项中的图像与垂直于x轴的直线可能有两个交点,显然不满足函数的定义.故选B.3.如图所示,对应关系f是从A到B的函数的是()答案D解析A到B的函数为对于A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应,所以不能出现一对多的情况,因此D项表示A到B的函数.4.下列函数中,与函数y=x相同的是()A.y=(eq\r(x))2 B.y=eq\r(3,x3)C.y=eq\r(x2) D.y=eq\f(x2,x)答案B解析A中,y=(eq\r(x))2=x(x≥0)与函数y=x(x∈R)对应关系相同,但定义域不同,故A错;C中,函数y=eq\r(x2)=|x|(x∈R)与函数y=x(x∈R)的对应关系不同,故C错;D中,函数y=eq\f(x2,x)=x(x≠0)与函数y=x(x∈R)的定义域不同,故D错;B中,函数y=eq\r(3,x3)=x(x∈R)与函数y=x(x∈R)对应关系相同,定义域也相同,故B正确.5.已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x,x≤1,,-x,x>1,))若f(x)=2,则x等于()A.log32 B.-2C.log32或-2 D.2答案A解析当x≤1时,3x=2,∴x=log32;当x>1时,-x=2,∴x=-2(舍去).∴x=log32.6.已知函数f(x)对任意实数x满足f(2x-1)=2x2,若f(m)=2,则m=()A.1 B.0C.1或-3 D.3或-1答案C解析本题考查函数的概念与解析式的求解.令2x-1=t可得x=eq\f(1,2)(t+1),故f(t)=2×eq\f(1,4)×(t+1)2=eq\f(1,2)(t+1)2,故f(m)=eq\f(1,2)(m+1)2=2,故m=1或m=-3.7.设函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x-b,x<1,,2x,x≥1.))若f(f(eq\f(5,6)))=4,则b=()A.1 B.eq\f(7,8)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)答案D解析f(eq\f(5,6))=3×eq\f(5,6)-b=eq\f(5,2)-b,当eq\f(5,2)-b≥1,即b≤eq\f(3,2)时,f(eq\f(5,2)-b)=2eq\f(5,2)-b,即2eq\f(5,2)-b=4=22,得到eq\f(5,2)-b=2,即b=eq\f(1,2);当eq\f(5,2)-b<1,即b>eq\f(3,2)时,f(eq\f(5,2)-b)=eq\f(15,2)-3b-b=eq\f(15,2)-4b,即eq\f(15,2)-4b=4,得到b=eq\f(7,8)<eq\f(3,2),舍去.综上,b=eq\f(1,2),故选D.8.定义函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1,x>0,,0,x=0,,-1,x<0,))则不等式(x+1)f(x)>2的解集是________.答案{x|x<-3或x>1}解析①当x>0时,f(x)=1,不等式的解集为{x|x>1};②当x=0时,f(x)=0,不等式无解;③当x<0时,f(x)=-1,不等式的解集为{x|x<-3}.所以不等式(x+1)f(x)>2的解集为{x|x<-3或x>1}.9.已知f(x-eq\f(1,x))=x2+eq\f(1,x2),则f(3)=______.答案11解析∵f(x-eq\f(1,x))=(x-eq\f(1,x))2+2,∴f(x)=x2+2(x∈R),∴f(3)=32+2=11.10.已知f(2x+1)=x2-3x,则f(x)=________.答案eq\f(1,4)x2-2x+eq\f(7,4)解析令2x+1=t,则x=eq\f(t-1,2),f(t)=(eq\f(t-1,2))2-3×eq\f(t-1,2)=eq\f(t2-2t+1,4)-eq\f(3t-3,2)=eq\f(t2-8t+7,4),所以f(x)=eq\f(1,4)x2-2x+eq\f(7,4).11.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出x123f(x)231x123g(x)321则f[g(1)]的值为________;满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________.答案1,212.已知函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x,x>0,,x+1,x≤0.))若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于________.答案-3解析∵f(1)=2>0,且f(1)+f(a)=0,∴f(a)=-2<0,故a≤0.依题知a+1=-2,解得a=-3.13.已知f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x+1,x≤0,,-(x-1)2,x>0,))使f(x)≥-1成立的x的取值范围是________.答案[-4,2]解析由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0,,\f(1,2)x+1≥-1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0,,-(x-1)2≥-1,))解得-4≤x≤0或0<x≤2,故x的取值范围是[-4,2].14.具有性质:f(eq\f(1,x))=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y=x-eq\f(1,x);②y=x+eq\f(1,x);③y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x,0<x<1,,0,x=1,,-\f(1,x),x>1.))其中满足“倒负”变换的函数是________.答案①③解析对于①,f(x)=x-eq\f(1,x),f(eq\f(1,x))=eq\f(1,x)-x=-f(x),满足;对于②,f(eq\f(1,x))=eq\f(1,x)+x=f(x),不满足;对于③,f(eq\f(1,x))=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x),0<\f(1,x)<1,,0,\f(1,x)=1,,-x,\f(1,x)>1,))即f(eq\f(1,x))=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x),x>1,,0,x=1,,-x,0<x<1.))故f(eq\f(1,x))=-f(x),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.15.已知函数f(x)对任意的x∈R,f(x+1001)=eq\f(2,\r(f(x))+1),已知f(16)=1,则f(2018)=________.答案1解析f(2018)=f(1017+1001)=eq\f(2,\r(f(1017))+1),又f(1017)=f(16+1001)=eq\f(2,\r(f(16))+1)=1,∴f(2018)=eq\f(2,1+1)=1.16.一个圆柱形容器的底面直径为dcm,高度为hcm,现以Scm3/s的速度向容器内注入某种溶液,求容器内溶液高度y(cm)与注入时间t(s)的函数关系式及定义域.答案y=eq\f(4S,πd2)·t,t∈[0,eq\f(πhd2,4S)]解析依题意,容器内溶液每秒升高eq\f(4S,πd2)cm.于是y=eq\f(4S,πd2)·t.又注满容器所需时间h÷(eq\f(4S,πd2))=eq\f(πhd2,4S)(秒),故函数的定义域是t∈[0,eq\f(πhd2,4S)].17.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x)),x<A,,\f(c,\r(A)),x≥A))(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,求c和A的值.答案60,16解析因为组装第A件产品用时15分钟,所以eq\f(c,\r(A))=15①,所以必有4<A,且eq\f(c,\r(4))=eq\f(c,2)=30②,联立①②解得c=60,A=16.18.已知函数f(x)=x·|x|-2x.(1)求函数f(x)=0时x的值;(2)画出y=f(x)的图像,并结合图像写出f(x)=m有三个不同实根时,实数m的取值范围.答案(1)-2,0,2(2)(-1,1)解析(1)由f(x)=0可解得x=0,x=±2,所以函数f(x)=0时x的值为-2,0,2.(2)f(x)=x|x|-2x,即f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-2x,x≥0,,-x2-2x,x<0.))图像如图所示.由图像可得实数m∈(-1,1).第2课时函数的定义域与值域1.函数y=eq\f(lg(x+1),x-1)的定义域是()A.(-1,+∞) B.[-1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞)答案C解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+1>0,,x-1≠0,))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>-1,,x≠1,))选C.2.下列函数中,与函数y=eq\f(1,\r(3,x))定义域相同的函数为()A.y=eq\f(1,sinx) B.y=eq\f(lnx,x)C.y=xex D.y=eq\f(sinx,x)答案D解析因为y=eq\f(1,\r(3,x))的定义域为{x|x≠0},而y=eq\f(1,sinx)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},y=eq\f(lnx,x)的定义域为{x|x>0},y=xex的定义域为R,y=eq\f(sinx,x)的定义域为{x|x≠0},故D项正确.3.函数y=eq\r((\f(1,4))-x-3·2x-4)的定义域为()A.[2,+∞) B.(-∞,2]C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]答案A解析由题意得(eq\f(1,4))-x-3·2x-4≥0,即22x-3·2x-4≥0.∴(2x-4)(2x+1)≥0,解得x≥2.故选A.4.函数f(x)=eq\f(\r(-x2-3x+4),lg(x+1))的定义域为()A.(-1,0)∪(0,1] B.(-1,1]C.(-4,-1] D.(-4,0)∪(0,1]答案A解析要使函数f(x)有意义,应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x2-3x+4≥0,,x+1>0,,x+1≠1,))解得-1<x<0或0<x≤1,故选A.5.若函数y=f(x)的定义域是[1,2019],则函数g(x)=eq\f(f(x+1),lgx)的定义域是()A.(0,2018] B.(0,1)∪(1,2018]C.(1,2019] D.[-1,1)∪(1,2018]答案B解析使函数g(x)有意义的条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x+1≤2019,,x>0且x≠1,))解得0<x<1或1<x≤2018.故函数g(x)的定义域为(0,1)∪(1,2018].故选B.6.若对函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)作x=h(t)的代换,则总不改变函数f(x)的值域的代换是()A.h(t)=10t B.h(t)=t2C.h(t)=sint D.h(t)=log2t答案D解析∵log2t∈R,故选D.7.函数y=1+x-eq\r(1-2x)的值域为()A.(-∞,eq\f(3,2)) B.(-∞,eq\f(3,2)]C.(eq\f(3,2),+∞) D.[eq\f(3,2),+∞)答案B解析设eq\r(1-2x)=t,则t≥0,x=eq\f(1-t2,2),所以y=1+eq\f(1-t2,2)-t=eq\f(1,2)(-t2-2t+3)=-eq\f(1,2)(t+1)2+2,因为t≥0,所以y≤eq\f(3,2).所以函数y=1+x-eq\r(1-2x)的值域为(-∞,eq\f(3,2)],故选B.8.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-eq\f(25,4),-4],则实数m的取值范围是()A.(0,4] B.[-eq\f(25,4),-4]C.[eq\f(3,2),3] D.[eq\f(3,2),+∞)答案C解析函数y=x2-3x-4的图像如图所示.因为y=(x-eq\f(3,2))2-eq\f(25,4)≥-eq\f(25,4),由图可知,m的取值从对称轴的横坐标eq\f(3,2)开始,一直到点(0,-4)关于对称轴对称的点(3,-4)的横坐标3,故实数m的取值范围是[eq\f(3,2),3].9.下列四个函数:①y=3-x;②y=2x-1(x>0);③y=x2+2x-10;④y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x(x≤0),,\f(1,x)(x>0).))其中定义域与值域相同的函数的个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析①y=3-x的定义域和值域均为R,②y=2x-1(x>0)的定义域为(0,+∞),值域为(eq\f(1,2),+∞),③y=x2+2x-10的定义域为R,值域为[-11,+∞),④y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x(x≤0),,\f(1,x)(x>0)))的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④,共有2个,故选B.10.函数y=2eq\s\up6(\f(1-x,1+x))的值域为________.答案{y|y>0且y≠eq\f(1,2)}解析∵u=eq\f(1-x,1+x)=-1+eq\f(2,1+x)≠-1,∴y≠eq\f(1,2).又y>0,∴值域为{y|y>0且y≠eq\f(1,2)}.11.函数y=eq\f(10x+10-x,10x-10-x)的值域为________.答案(-∞,-1)∪(1,+∞).解析由y=eq\f(10x+10-x,10x-10-x),得eq\f(y+1,y-1)=102x.∵102x>0,∴eq\f(y+1,y-1)>0.∴y<-1或y>1.即函数值域为(-∞,-1)∪(1,+∞).12.函数y=eq\f(x,x2+x+1)(x>0)的值域是________.答案(0,eq\f(1,3)]解析由y=eq\f(x,x2+x+1)(x>0),得0<y=eq\f(x,x2+x+1)=eq\f(1,x+\f(1,x)+1)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))+1)=eq\f(1,3),因此该函数的值域是(0,eq\f(1,3)].13.函数y=x4+x2+1的值域是________;y=x4-x2+1的值域是________.答案[1,+∞);eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4),+∞))14.函数f(x)=ax+eq\r(ax+2)的值域为________.答案(eq\r(2),+∞)解析令t=eq\r(ax+2),则t>eq\r(2)且t2=ax+2,∴ax=t2-2,∴原函数等价于y=g(t)=t2-2+t=(t+eq\f(1,2))2-eq\f(9,4),函数的对称轴为t=-eq\f(1,2),函数图像开口向上.∵t>eq\r(2),∴函数在(eq\r(2),+∞)上单调递增.∴g(t)>g(eq\r(2))=(eq\r(2))2-2+eq\r(2)=eq\r(2),即y>eq\r(2),∴函数的值域为(eq\r(2),+∞).15.函数y=eq\f(x2+x+1,x+1)的值域为________.答案(-∞,-3]∪[1,+∞)解析方法一:判别式法由y=eq\f(x2+x+1,x+1),得x2+(1-y)x+1-y=0.∵x∈R,x≠-1,∴Δ=(1-y)2-4(1-y)≥0.解得y≤-3或y≥1.当y=-3时,x=-2;当y=1时,x=0.所以,函数的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).方法二:分离常数法y=eq\f(x2+x+1,x+1)=eq\f((x+1)2-(x+1)+1,x+1)=(x+1)+eq\f(1,x+1)-1,又(x+1)+eq\f(1,x+1)≥2或(x+1)+eq\f(1,x+1)≤-2,∴y≥1或y≤-3.∴函数的值域为(-∞,-3]∪[1,+∞).16.已知函数f(x)=ln(1-eq\f(a,2x))的定义域是(1,+∞),求实数a的值.答案2解析由题意得,不等式1-eq\f(a,2x)>0的解集是(1,+∞).由1-eq\f(a,2x)>0,可得2x>a,故x>log2a.由log2a=1,得a=2.17.已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1].(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.答案(1)(-∞,-1]∪(eq\f(5,3),+∞)(2)[1,eq\f(5,3)]解析(1)依题意(a2-1)x2+(a+1)x+1>0,对一切x∈R恒成立,当a2-1≠0时,其充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2-1>0,,Δ=(a+1)2-4(a2-1)<0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1或a<-1,,a>\f(5,3)或a<-1.))∴a<-1或a>eq\f(5,3).又a=-1时,f(x)=0,满足题意.∴a≤-1或a>eq\f(5,3).∴a的取值范围为(-∞,-1]∪(eq\f(5,3),+∞).(2)当a2-1=0时,得a=1或-1,检验得a=1满足.当a2-1≠0时,若f(x)的值域为R.满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2-1>0,,Δ=(a+1)2-4(a2-1)≥0,))解得1<a≤eq\f(5,3).综上得a的取值范围为[1,eq\f(5,3)].第3课时函数的单调性和最值1.下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是()A.y=-2x+1 B.y=eq\f(1,x)C.y=lgx D.y=x3答案B解析y=-2x+1在定义域上为单调递减函数;y=lgx在定义域上为单调递增函数;y=x3在定义域上为单调递增函数;y=eq\f(1,x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均为单调递减函数,但在定义域上不是单调函数,故选B.2.函数f(x)=1-eq\f(1,x-1)()A.在(-1,+∞)上单调递增 B.在(1,+∞)上单调递增C.在(-1,+∞)上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减答案B解析f(x)图像可由y=-eq\f(1,x)图像沿x轴向右平移一个单位,再向上平移一个单位得到,如图所示.3.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是()A.(0,eq\f(3,4)) B.[0,eq\f(3,4))C.(0,eq\f(3,4)] D.[0,eq\f(3,4)]答案D解析当a=0时,f(x)=-12x+5,在(-∞,3)上是减函数;当a≠0时,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,,-\f(4(a-3),4a)≥3,))得0<a≤eq\f(3,4).综上,a的取值范围是[0,eq\f(3,4)].4.函数f(x)=x|x-2|的单调减区间是()A.[1,2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+∞)答案A解析由于f(x)=x|x-2|=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-2x,x≥2,,-x2+2x,x<2,))结合图像可知函数的单调减区间是[1,2],故选A.5.函数f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是()A.(3,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-∞,-1)答案A解析由已知易得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+1>0,,x-3>0,))即x>3,又0<0.5<1,∴f(x)在(3,+∞)上单调递减.6.函数y=eq\r(x+1)-eq\r(x-1)的值域为()A.(-∞,eq\r(2)] B.(0,eq\r(2)]C.[eq\r(2),+∞) D.[0,+∞)答案B解析方法一:求导y′=eq\f(1,2)(eq\f(1,\r(x+1))-eq\f(1,\r(x-1)))=eq\f(1,2)eq\f(\r(x-1)-\r(x+1),\r(x+1)·\r(x-1)),∵函数的定义域为[1,+∞),∴eq\r(x-1)-eq\r(x+1)<0.∴y′<0,从而函数在[1,+∞)上单调递减.∴当x=1时,ymax=eq\r(2),当x→+∞时,y→0.∴y∈(0,eq\r(2)].方法二:y=eq\f(2,\r(x+1)+\r(x-1)),由分母递增可知函数在定义域内为递减函数,利用单调性求值域.7.设函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1,x>0,,0,x=0,,-1,x<0,))g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是()A.(-∞,0] B.[0,1)C.[1,+∞) D.[-1,0]答案B解析g(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2,x>1,,0,x=1,,-x2,x<1.))如图所示,其递减区间是[0,1).故选B.8.设函数f(x)=eq\f(2x,x-2)在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则eq\f(m2,M)=()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,8)C.eq\f(3,2) D.eq\f(8,3)答案D解析易知f(x)=eq\f(2x,x-2)=2+eq\f(4,x-2),所以f(x)在区间[3,4]上单调递减,所以M=f(3)=2+eq\f(4,3-2)=6,m=f(4)=2+eq\f(4,4-2)=4,所以eq\f(m2,M)=eq\f(16,6)=eq\f(8,3).9.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(|eq\f(1,x)|)<f(1)的实数x的取值范围是()A.(-1,1) B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案C解析由已知得|eq\f(1,x)|>1⇒-1<x<0或0<x<1,故选C.10.若2x+5y≤2-y+5-x,则有()A.x+y≥0 B.x+y≤0C.x-y≤0 D.x-y≥0答案B解析设函数f(x)=2x-5-x,易知f(x)为增函数.又f(-y)=2-y-5y,由已知得f(x)≤f(-y),所以x≤-y,所以x+y≤0.11.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=eq\f(f(x),x)在区间(1,+∞)上一定()A.有最小值 B.有最大值C.是减函数 D.是增函数答案D解析由题意知a<1,所以g(x)=eq\f(f(x),x)=x+eq\f(a,x)-2a,当a<0时,显然g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,当a>0时,g(x)在[eq\r(a),+∞)上是增函数,故在(1,+∞)上为增函数,所以g(x)在(1,+∞)上一定是增函数.12.函数y=-x2+2|x|+1的单调递增区间为________,单调递减区间为________.答案(-∞,-1]和[0,1](-1,0)和(1,+∞)解析由于y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x2+2x+1,x≥0,,-x2-2x+1,x<0,))即y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-(x-1)2+2,x≥0,,-(x+1)2+2,x<0.))画出函数图像如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为(-1,0)和(1,+∞).13.函数y=eq\r(x)-x(x≥0)的最大值为________.答案eq\f(1,4)解析令t=eq\r(x),则t≥0,所以y=t-t2=-(t-eq\f(1,2))2+eq\f(1,4),所以当t=eq\f(1,2)时,ymax=eq\f(1,4).14.在给出的下列4个条件中,①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1,,x∈(-∞,0),)) ②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1,,x∈(0,+∞),))③eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1,,x∈(-∞,0),)) ④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>1,,x∈(0,+∞)))能使函数y=logaeq\f(1,x2)为单调递减函数的是________.(把你认为正确的条件编号都填上).答案①④解析利用复合函数的性质,①④正确.15.已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.答案(-∞,1]解析f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex-a,x≥a,,ea-x,x<a,))当x≥a时,f(x)单调递增,当x<a时,f(x)单调递减,又f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以a≤1.16.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是________.答案(-1,+∞)解析由题意可得,a>x-(eq\f(1,2))x(x>0).令f(x)=x-(eq\f(1,2))x,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故a>-1时,存在正数x使原不等式成立.17.已知函数f(x)=lg(x+eq\f(a,x)-2),其中a是大于0的常数.(1)求函数f(x)的定义域;(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值;(3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.答案(1)a>1时,(0,+∞);a=1时,{x|x>0且x≠1};0<a<1时,{x|0<x<1-eq\r(1-a)或x>1+eq\r(1-a)}(2)lgeq\f(a,2)(3)(2,+∞)解析(1)由x+eq\f(a,x)-2>0,得eq\f(x2-2x+a,x)>0.①当a>1时,x2-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞);②当a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1};③当0<a<1时,定义域为{x|0<x<1-eq\r(1-a)或x>1+eq\r(1-a)}.(2)设g(x)=x+eq\f(a,x)-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g(x)=x+eq\f(a,x)-2在[2,+∞)上是增函数.∴f(x)=lg(x+eq\f(a,x)-2)在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lgeq\f(a,2).(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,即x+eq\f(a,x)-2>1对x∈[2,+∞)恒成立.∴a>3x-x2.而h(x)=3x-x2=-(x-eq\f(3,2))2+eq\f(9,4)在x∈[2,+∞)上是减函数,∴h(x)max=h(2)=2.∴a>2.第4课时函数的奇偶性与周期性1.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=x3 B.y=|x|+1C.y=-x2+1 D.y=2-|x|答案B解析因为y=x3是奇函数,y=|x|+1,y=-x2+1,y=2-|x|均为偶函数,所以选项A错误;又因为y=-x2+1,y=2-|x|=(eq\f(1,2))|x|在(0,+∞)上均为减函数,只有y=|x|+1在(0,+∞)上为增函数,所以C,D两项错误,只有选项B正确.2.函数f(x)=x+eq\f(9,x)(x≠0)是()A.奇函数,且在(0,3)上是增函数 B.奇函数,且在(0,3)上是减函数C.偶函数,且在(0,3)上是增函数 D.偶函数,且在(0,3)上是减函数答案B解析因为f(-x)=-x+eq\f(9,-x)=-(x+eq\f(9,x))=-f(x),所以函数f(x)=x+eq\f(9,x)为奇函数.当x1,x2∈(0,3)(x1<x2)时,f(x1)-f(x2)=x1+eq\f(9,x1)-(x2+eq\f(9,x2))=(x1-x2)eq\f(x1x2-9,x1x2).因为x1-x2<0,x1x2>0,x1x2<9,所以(x1-x2)eq\f(x1x2-9,x1x2)>0,所以f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,3)上是减函数,故选B.3.若函数f(x)=ax2+bx+8(a≠0)是偶函数,则g(x)=2ax3+bx2+9x是()A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数答案A解析由于f(x)=ax2+bx+8(a≠0)是偶函数,所以b=0,所以g(x)=2ax3+9x(a≠0),所以g(-x)=2a(-x)3+9(-x)=-(2ax3+9x)=-g(x),所以g(x)=2ax3+9x是奇函数.故选A.4.已知f(x)为奇函数,当x>0,f(x)=x(1+x),那么x<0,f(x)等于()A.-x(1-x) B.x(1-x)C.-x(1+x) D.x(1+x)答案B解析当x<0时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又f(-x)=-f(x),∴f(x)=x(1-x).5.函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数,若f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[2,3]上是()A.增函数 B.减函数C.先增后减的函数 D.先减后增的函数答案A6.已知定义在R上的函数f(x)的满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2019)=()A.-3 B.0C.1 D.3答案B解析用-x换x,可将f(x+3)=f(-x)=-f(x),∴T=6,∴f(2019)=f(336×6+3)=f(3).∵f(3-x)=f(x),∴f(3)=f(0)=0.7.若定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x+2)=-f(x)成立,且f(1)=8,则f(2015),f(2016),f(2017)的大小关系是()A.f(2015)<f(2016)<f(2017) B.f(2015)>f(2016)>f(2017)C.f(2016)>f(2015)>f(2017) D.f(2016)<f(2017)<f(2015)答案A解析因为定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f(x+2)=-f(x)成立,所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,且f(0)=0,f(2)=-f(0)=0,f(3)=-f(1)=-8,所以f(2015)=f(4×503+3)=f(3)=-8,f(2016)=f(4×504)=f(0)=0,f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=8,即f(2015)<f(2016)<f(2017).8.已知定义在R上的函数f(x)满足:y=f(x-1)的图像关于(1,0)点对称,且当x≥0时恒有f(x-eq\f(3,2))=f(x+eq\f(1,2)),当x∈[0,2)时,f(x)=ex-1,则f(2016)+f(-2015)=()A.1-e B.e-1C.-1-e D.e+1答案A解析y=f(x-1)的图像关于(1,0)点对称,则f(x)关于原点对称.当x≥0时恒有f(x-eq\f(3,2))=f(x+eq\f(1,2)),即函数f(x)的周期为2.所以f(2016)+f(-2015)=f(0)-f(1)=1-e.故选A.9.已知函数f(x)=(x2-2x)·sin(x-1)+x+1在[-1,3]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=()A.4 B.2C.1 D.0答案A解析设t=x-1,则f(x)=(x2-2x)sin(x-1)+x+1=(t2-1)sint+t+2,t∈[-2,2].记g(t)=(t2-1)sint+t+2,则函数y=g(t)-2=(t2-1)sint+t是奇函数.由已知得y=g(t)-2的最大值为M-2,最小值为m-2,所以M-2+(m-2)=0,即M+m=4.故选A.10.给出下列函数:①f(x)=sinx;②f(x)=tanx;③f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x+2,x>1,,x,-1≤x≤1,,-x-2,x<-1;))④f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x,x>0,,-2-x,x<0.))则它们共同具有的性质是()A.周期性 B.偶函数C.奇函数 D.无最大值答案C解析f(x)=sinx为奇函数,周期为2π且有最大值;f(x)=tanx为奇函数且周期为π,但无最大值;作出f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x+2,x>1,,x,-1≤x≤1,,-x-2,x<-1))的图像(图略),由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值;作出f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x,x>0,,-2-x,x<0))的图像(图略),由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值.所以这些函数共同具有的性质是奇函数.11.如果函数g(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-3,x>0,,f(x),x<0))是奇函数,那么f(x)=________.答案2x+3解析令x<0,所以-x>0,g(-x)=-2x-3.因为g(x)是奇函数,所以g(x)=-g(-x)=2x+3,所以f(x)=2x+3.12.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.答案-1解析令H(x)=f(x)+x2,则H(1)+H(-1)=f(-1)+1+f(1)+1=0,∴f(-1)=-3,∴g(-1)=f(-1)+2=-1.13.(1)若f(x)=eq\f(1,2x-1)+a是奇函数,则a=________.(2)已知函数f(x)=eq\f(x+2-a,x4+3)是奇函数,则实数a的值为________.(3)若函数f(x)=xln(x+eq\r(a+x2))为偶函数,则a=________.(4)若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.答案(1)eq\f(1,2)(2)2(3)1(4)0解析(1)依题意得f(1)+f(-1)=0,由此得eq\f(1,21-1)+a+eq\f(1,2-1-1)+a=0,解得a=eq\f(1,2).(2)方法一:因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即2-a=0,解得a=2.方法二:因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即eq\f(x+2-a,x4+3)+eq\f(-x+2-a,x4+3)=0,即x+2-a-x+2-a=0,解得a=2.(3)由已知得f(-x)=f(x),即-xln(eq\r(a+x2)-x)=xln(x+eq\r(a+x2)),则ln(x+eq\r(a+x2))+ln(eq\r(a+x2)-x)=0,∴ln[(eq\r(a+x2))2-x2]=0,得lna=0,∴a=1.(4)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即|x-a|=|x+a|,两边平方得4ax=0.∴a=0.故填0.14.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________.答案(-2,eq\f(2,3))解析易知原函数在R上单调递增,且为奇函数,故f(mx-2)+f(x)<0⇒f(mx-2)<-f(x)=f(-x),此时应有mx-2<-x⇒mx+x-2<0对所有m∈[-2,2]恒成立.令g(m)=xm+x-2,此时只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(-2)<0,,g(2)<0))即可,解得-2<x<eq\f(2,3).15.设奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为________.答案{x|-1<x<0或0<x<1}解析∵f(-x)=-f(x),∴不等式x[f(x)-f(-x)]<0可化简为xf(x)<0,又f(1)=0,∴f(-1)=0,∵奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,从而函数f(x)的大致图像如图所示,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为{x|-1<x<0或0<x<1}.16.若f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且x∈[0,1)时f(x)为增函数,求不等式f(x)+f(x-eq\f(1,2))<0的解集.答案{x|-eq\f(1,2)<x<eq\f(1,4)}解析∵f(x)为奇函数,且在[0,1)上为增函数,∴f(x)在(-1,0)上也是增函数.∴f(x)在(-1,1)上为增函数.f(x)+f(x-eq\f(1,2))<0⇔f(x)<-f(x-eq\f(1,2))=f(eq\f(1,2)-x)⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-1<x<1,,-1<\f(1,2)-x<1,,x<\f(1,2)-x))⇔-eq\f(1,2)<x<eq\f(1,4).∴不等式f(x)+f(x-eq\f(1,2))<0的解集为{x|-eq\f(1,2)<x<eq\f(1,4)}.17.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),求:(1)f(0)与f(2)的值;(2)f(3)的值;(3)f(2013)+f(-2014)的值.答案(1)f(0)=0,f(2)=0(2)f(3)=-1(3)1解析(2)f(3)=f(1+2)=-f(1)=-log2(1+1)=-1.(3)依题意得,x≥0时,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即x≥0时,f(x)是以4为周期的函数.因此,f(2013)+f(-2014)=f(2013)+f(2014)=f(1)+f(2).而f(2)=-f(0)=-log2(0+1)=0,f(1)=log2(1+1)=1,故f(2013)+f(-2014)=1.第5课时二次函数1.若函数y=(x+4)2在某区间上是减函数,则这区间可以是()A.[-4,0] B.(-∞,0]C.(-∞,-5] D.(-∞,4]答案C2.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为()A.f(x)=-x2-x-1 B.f(x)=-x2+x-1C.f(x)=x2-x-1 D.f(x)=x2-x+1答案D解析设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c=1,,a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x.))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a=2,,a+b=0,,c=1,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=-1,,c=1,))则f(x)=x2-x+1.故选D.3.已知m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,则()A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1C.y1<y3<y2 D.y2<y1<y3答案A4.已知函数f(x)=eq\r(mx2+mx+1)的定义域是实数集R,则实数m的取值范围是()A.(0,4) B.[0,4]C.(0,4] D.[0,4)答案B解析因为函数f(x)=eq\r(mx2+mx+1)的定义域是实数集R,所以m≥0,当m=0时,函数f(x)=1,其定义域是实数集R;当m>0时,则Δ=m2-4m≤0,解得0<m≤4.综上所述,实数m的取值范围是0≤m≤4.5.已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是()A.(-∞,-1) B.(-1,2]C.[-1,2] D.[2,5)答案C解析二次函数f(x)=-x2+4x的图像是开口向下的抛物线,最大值为4,且在x=2时取得,而当x=5或-1时,f(x)=-5,结合图像可知m的取值范围是[-1,2].6.已知函数f(x)=x2+ax+b的图像过坐标原点,且满足f(-x)=f(-1+x),则函数f(x)在[-1,3]上的值域为()A.[0,12] B.[-eq\f(1,4),12]C.[-eq\f(1,2),12] D.[eq\f(3,4),12]答案B解析因为函数f(x)=x2+ax+b的图像过坐标原点,所以f(0)=0,所以b=0.因为f(-x)=f(-1+x),所以函数f(x)的图像的对称轴为x=-eq\f(1,2),所以a=1,所以f(x)=x2+x=(x+eq\f(1,2))2-eq\f(1,4),所以函数f(x)在[-1,-eq\f(1,2)]上为减函数,在(-eq\f(1,2),3]上为增函数,故当x=-eq\f(1,2)时,函数f(x)取得最小值-eq\f(1,4).又f(-1)=0,f(3)=12,故函数f(x)在[-1,3]上的值域为[-eq\f(1,4),12],故选B.7.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是()答案D解析若a>0,b<0,c<0,则对称轴x=-eq\f(b,2a)>0,函数f(x)的图像与y轴的交点(0,c)在x轴下方.故选D.8.设函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2+bx+c(x≤0),,2(x>0),))若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.4 B.2C.1 D.3答案D解析由解析式可得f(-4)=16-4b+c=f(0)=c,解得b=4.f(-2)=4-8+c=-2,可求得c=2.∴f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2+4x+2(x≤0),,2(x>0).))又f(x)=x,则当x≤0时,x2+4x+2=x,解得x1=-1,x2=-2.当x>0时,x=2,综上可知有三解.9.若二次函数y=x2+ax+1对于一切x∈(0,eq\f(1,2)]恒有y≥0成立,则a的最小值是()A.0 B.2C.-eq\f(5,2) D.-3答案C解析设g(x)=ax+x2+1,x∈(0,eq\f(1,2)],则g(x)≥0在x∈(0,eq\f(1,2)]上恒成立,即a≥-(x+eq\f(1,x))在x∈(0,eq\f(1,2)]上恒成立.又h(x)=-(x+eq\f(1,x))在x∈(0,eq\f(1,2)]上为单调递增函数,当x=eq\f(1,2)时,h(x)max=h(eq\f(1,2)),所以a≥-(eq\f(1,2)+2)即可,解得a≥-eq\f(5,2).10.若二次函数y=8x2-(m-1)x+m-7的值域为[0,+∞),则m=________.答案9或25解析y=8(x-eq\f(m-1,16))2+m-7-8·(eq\f(m-1,16))2,∵值域为[0,+∞),∴m-7-8·(eq\f(m-1,16))2=0,∴m=9或25.11.(1)已知函数f(x)=4x2+kx-8在[-1,2]上具有单调性,则实数k的取值范围是________.答案(-∞,-16]∪[8,+∞)解析函数f(x)=4x2+kx-8的对称轴为x=-eq\f(k,8),则-eq\f(k,8)≤-1或-eq\f(k,8)≥2,解得k≥8或k≤-16.(2)若函数y=x2+bx+2b-5(x<2)不是单调函数,则实数b的取值范围为________.答案(-4,+∞)解析函数y=x2+bx+2b-5的图像是开口向上,以x=-eq\f(b,2)为对称轴的抛物线,所以此函数在(-∞,-eq\f(b,2))上单调递减.若此函数在(-∞,2)上不是单调函数,只需-eq\f(b,2)<2,解得b>-4.所以实数b的取值范围为(-4,+∞).12.已知y=(cosx-a)2-1,当cosx=-1时,y取最大值,当cosx=a时,y取最小值,则a的取值范围是________.答案0≤a≤1解析由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-a≤0,,-1≤a≤1,))∴0≤a≤1.13.函数f(x)=x2+2x,若f(x)>a在区间[1,3]上满足:①恒有解,则a的取值范围为________;②恒成立,则a的取值范围为________.答案①a<15②a<3解析①f(x)>a在区间[1,3]上恒有解,等价于a<[f(x)]max,又f(x)=x2+2x且x∈[1,3],当x=3时,[f(x)]max=15,故a的取值范围为a<15.②f(x)>a在区间[1,3]上恒成立,等价于a<[f(x)]min,又f(x)=x2+2x且x∈[1,3],当x=1时,[f(x)]min=3,故a的取值范围为a<3.14.如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a=________.答案1解析因为函数f(x)=x2-ax-a的图像为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-a>4-3a,,-a=1,))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-a≤4-3a,,4-3a=1,))解得a=1.15.已知函数f(x)=x2-6x+5,x∈[1,a],并且函数f(x)的最大值为f(a),则实数a的取值范围是________.答案a≥5解析∵f(x)的对称轴为x=3,要使f(x)在[1,a]上最大值为f(a),由图像对称性知a≥5.16.已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;(3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间.答案(1)最小值-1,最大值35(2)a≤-6或a≥4(3)单调递增区间(0,6],单调递减区间[-6,0]解析(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4,6],∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增.∴f(x)的最小值是f(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.(3)当a=1时,f(x)=x2+2x+3,∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6],且f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2+2x+3,x∈(0,6],,x2-2x+3,x∈[-6,0].))∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].17.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求实数k的取值范围.答案(1)f(x)=x2+2x+1,单调递增区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1](2)(-∞,1)解析(1)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a)=-1,,f(-1)=a-b+1=0,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=1,,b=2.))所以f(x)=x2+2x+1.由f(x)=(x+1)2知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1].(2)由题意知,x2+2x+1>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,即k<x2+x+1在区间[-3,-1]上恒成立.令g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],由g(x)=(x+eq\f(1,2))2+eq\f(3,4),知g(x)在区间[-3,-1]上是减函数.则g(x)min=g(-1)=1.所以k<1.即k的取值范围是(-∞,1).第6课时指数函数1.给出下列结论:①当a<0时,(a2)eq\s\up6(\f(3,2))=a3;②eq\r(n,an)=|a|(n>1,n∈N*,n为偶数);③函数f(x)=(x-2)eq\s\up6(\f(1,2))-(3x-7)0的定义域是{x|x≥2且x≠eq\f(7,3)};④若5a=0.3,0.7b=0.8,则ab>0.其中正确的是()A.①② B.②③C.③④ D.②④答案B解析(a2)eq\s\up6(\f(3,2))>0,a3<0,故①错,∵0<5a<1,0<0.7b<1,∴a<0,b>0,∴ab<0.故④错.2.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是()A.1<|a|<2 B.|a|<1C.|a|>eq\r(2) D.|a|<eq\r(2)答案C3.下列函数中值域为正实数集的是()A.y=-5x B.y=(eq\f(1,3))1-xC.y=eq\r((\f(1,2))x-1) D.y=3|x|答案B4.若函数f(x)=(a+eq\f(1,ex-1))cosx是奇函数,则常数a的值等于()A.-1 B.1C.-eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)答案D5.已知函数f(x)=3x-(eq\f(1,3))x,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数答案A解析∵f(-x)=3-x-(eq\f(1,3))-x=(eq\f(1,3))x-3x=-[3x-(eq\f(1,3))x]=-f(x),∴f(x)为奇函数.又函数y1=3x在R上为增函数,y2=(eq\f(1,3))x在R上为减函数,∴y=3x-(eq\f(1,3))x在R上为增函数.故选A.6.在同一直角坐标系中,函数f(x)=2x+1与g(x)=21-x的图像关于()A.y轴对称 B.x轴对称C.原点对称 D.直线y=x对称答案A解析g(x)=(eq\f(1,2))x-1,分别画出f(x),g(x)的图像知,选A.7.当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是()A.(1,eq\r(2)) B.(eq\f(\r(2),2),1)C.(eq\f(\r(2),2),1)∪(1,eq\r(2)) D.(0,1)∪(1,eq\r(2))答案C解析x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1).若a>1,y=ax是一个增函数,则有a2<2,可得a<eq\r(2),故有1<a<eq\r(2);若0<a<1,y=ax是一个减函数,则有a-2<2,可得a>eq\f(\r(2),2),故有eq\f(\r(2),2)<a<1.综上所述,a∈(eq\f(\r(2),2),1)∪(1,eq\r(2)).故选C.8.函数f(x)=ax-eq\f(1,a)(a>0,a≠1)的图像可能是()答案D解析通解当a>1时,将y=ax的图像向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f(x)=ax-eq\f(1,a)的图像,A,B都不符合;当0<a<1时,将y=ax的图像向下平移eq\f(1,a)个单位长度得f(x)=ax-eq\f(1,a)的图像,而eq\f(1,a)大于1,故选D.优解函数f(x)的图像恒过点(-1,0),只有选项D中的图像符合.9.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a答案C解析由指数函数y=0.6x在(0,+∞)上单调递减,可知0.61.5<0.60.6,由幂函数y=x0.6在(0,+∞)上单调递增,可知0.60.6<1.50.6,所以b<a<c,故选C.10.函数y=e1-x2的图像大致是()答案C解析易知函数f(x)为偶函数,因此排除A,B;又因为f(x)=e1-x2>0,故排除D,因此选C.11.不论a为何值时,函数y=(a-1)2x-eq\f(a,2)恒过一定点,则这个定点的坐标是()A.(1,-eq\f(1,2)) B.(1,eq\f(1,2))C.(-1,-eq\f(1,2)) D.(-1,eq\f(1,2))答案C解析y=(a-1)2x-eq\f(a,2)=a(2x-eq\f(1,2))-2x,令2x-eq\f(1,2)=0,得x=-1,则函数y=(a-1)2x-eq\f(a,2)恒过定点(-1,-eq\f(1,2)).12.若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是()A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)C.(1,+∞) D.(0,eq\f(1,2))答案D解析方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实数根⇔函数y=|ax-1|与y=2a的图像有两个交点.①当0<a<1时,如图①,所以0<2a<1,即0<a<eq\f(1,2).②当a>1时,如图②,而y=2a>1不符合要求.综上,0<a<eq\f(1,2).故选D.13.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=________.答案-eq\f(3,2)解析①当0<a<1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递减,由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(-1)=0,,f(0)=-1,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-1+b=0,,a0+b=-1,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=\f(1,2),,b=-2,))此时a+b=-eq\f(3,2).②当a>1时,函数f(x)在[-1,0]上单调递增,由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(-1)=-1,,f(0)=0,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-1+b=-1,,a0+b=0,))显然无解.所以a+b=-eq\f(3,2).14.已知实数a≠1,函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x,x≥0,,2a-x,x<0,))若f(1-a)=f(a-1),则a的值为________.答案eq\f(1,2)解析当a<1时,41-a=21,a=eq\f(1,2),当a>1时,代入不成立.15.已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是________.①a<0,b<0,c<0;②a<0,b≥0,c>0;③2-a<2c;④2a+2c<2.答案④解析作出函数图像,由图像可知a<0时,b的符号不确定,1>c>0,故①②错;因为f(a)=|2a-1|,f(c)=|2c-1|,所以|2a-1|>|2c-1|,即1-2a>2c-1,故2a+2c<2,④成立;又2a+2c>2eq\r(2a+c),所以2a+c<1,所以a+c<0,所以-a>c,所以2-a>2c,③不成立.16.函数y=(eq\f(1,4))x-(eq\f(1,2))x+1在[-3,2]上的值域是________.答案[eq\f(3,4),57]解析y=(eq\f(1,4))x-(eq\f(1,2))x+1=[(eq\f(1,2))x]2-(eq\f(1,2))x+1=[(eq\f(1,2))x-eq\f(1,2)]2+eq\f(3,4),因为x∈[-3,2],所以eq\f(1,4)≤(eq\f(1,2))x≤8.当(eq\f(1,2))x=eq\f(1,2)时,ymin=eq\f(3,4),当(eq\f(1,2))x=8时,ymax=57.所以函数的值域为[eq\f(3,4),57].17.是否存在实数a,使函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在[-1,1]上的最大值是14?答案a=3或a=eq\f(1,3)解析令t=ax,则y=t2+2t-1.(1)当a>1时,∵x∈[-1,1],∴ax∈[eq\f(1,a),a],即t∈[eq\f(1,a),a].∴y=t2+2t-1=(t+1)2-2在[eq\f(1,a),a]上是增函数(对称轴t=-1<eq\f(1,a)).∴当t=a时,ymax=(a+1)2-2=14.∴a=3或a=-5.∵a>1,∴a=3.(2)当0<a<1时,t∈[a,eq\f(1,a)].∵y=(t+1)2-2在[a,eq\f(1,a)]上是增函数,∴ymax=(eq\f(1,a)+1)2-2=14.∴a=eq\f(1,3)或a=-eq\f(1,5).∵0<a<1,∴a=eq\f(1,3).综上,a=3或a=eq\f(1,3).18.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.答案(1)k=-1(2)(0,+∞)解析(1)∵f(x)=2x+k·2-x是奇函数,∴f(-x)=-f(x),x∈R,即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x).∴(1+k)+(k+1)·22x=0对一切x∈R恒成立,∴k=-1.(2)∵x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x,即2x+k·2-x>2-x成立,∴1-k<22x对x≥0恒成立,∴1-k<(22x)min.∵y=22x在[0,+∞)上单调递增,∴(22x)min=1,∴k>0.∴实数k的取值范围是(0,+∞).第7课时对数函数1.2lg2-lgeq\f(1,25)的值为()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析2lg2-lgeq\f(1,25)=lg(22÷eq\f(1,25))=lg100=2,故选B.2.若logaeq\f(2,3)<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是()A.(0,eq\f(2,3)) B.(1,+∞)C.(0,eq\f(2,3))∪(1,+∞) D.(eq\f(2,3),1)答案C解析当0<a<1时,logaeq\f(2,3)<logaa=1,∴0<a<eq\f(2,3);当a>1时,logaeq\f(2,3)<logaa=1,∴a>1.∴实数a的取值范围是(0,eq\f(2,3))∪(1,+∞).3.已知a=log23+log2eq\r(3),b=log29-log2eq\r(3),c=log32,则a,b,c的大小关系是()A.a=b<c B.a=b>cC.a<b<c D.a>b>c答案B解析a=log23+log2eq\r(3)=log23eq\r(3),b=log29-log2eq\r(3)=log23eq\r(3),因此a=b,而log23eq\r(3)>log22=1,log32<log33=1,所以a=b>c,故选B.4.函数y=lneq\f(1,|2x-3|)的图像为()答案A解析易知2x-3≠0,即x≠eq\f(3,2),排除C,D项.当x>eq\f(3,2)时,函数为减函数,当x<eq\f(3,2)时,函数为增函数,所以选A.5.若0<a<1,则不等式eq\f(1,logax)>1的解是()A.x>a B.a<x<1C.x>1 D.0<x<a答案B解析易得0<logax<1,∴a<x<1.6.设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.c>b>a B.b>c>aC.a>c>b D.a>b>c答案D解析a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,则只要比较log32,log52,log72的大小即可,在同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y=log7x的图像,由三个图像的相对位置关系,可知a>b>c,故选D.7.设函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1+log2(2-x),x<1,,2x-1,x≥1,))则f(-2)+f(log212)等于()A.3 B.6C.9 D.12答案C解析因为-2<1,所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3.因为log212>1,所以f(log212)=2log212-1=2log26=6.所以f(-2)+f(log212)=9.故选C.8.若实数a,b,c满足loga2<logb2<logc2<0,则下列关系中正确的是()A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.a<c<b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得eq\f(1,log2a)<eq\f(1,log2b)<eq\f(1,log2c)<0,即log2c<log2b<log2a<0,可得c<b<a<1.故选C.9.设函数f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,log\s\do9(\f(1,2))(-x),x<0,))若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)答案C解析由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0,,log2a>log\s\do9(\f(1,2))a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0,,log\s\do9(\f(1,2))(-a)>log2(-a),))解得a>1或-1<a<0,故选C.10.设0<a<1,则()A.log2a>logeq\r(2)eq\r(a) B.logeq\r(2)eq\r(a)>logeq\r(2)aC.log2a<logeq\r(2)a D.log2eq\r(a)<logeq\r(2)a答案B解析∵0<a<1,∴0<a2<a<eq\r(a)<1,∴在A中,log2a=logeq\r(2)eq\r(a),故A错误;在B中,logeq\r(2)eq\r(a)>logeq\r(2)a,故B正确;在C中,log2a>logeq\r(2)a,故C错误;在D中,log2eq\r(a)>logeq\r(2)a,故D错误.11.若函数y=loga(x2-ax+2)在区间(-∞,1]上为减函数,则a的取值范围是()A.(0,1) B.[2,+∞)C.[2,3) D.(1,3)答案C解析当0<a<1时,由复合函数与对数函数的性质知,不合题意;当a>

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