备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义专题36圆锥曲线基础过关小题

专题36圆锥曲线基础过关小题【考点预料】一．椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注明：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在.二．椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第确定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、、、、轴长长轴长短轴长长轴长短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率点和椭圆的关系通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，,,则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）三、双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的确定值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为.注（1）若定义式中去掉确定值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线.（3）时，点的轨迹不存在.在应用定义和标准方程解题时留意以下两点：=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），留意的应用.四、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质.标准方程图形yxyxB1B2F2A2AA1FF1B1F1B1F1xyA1F2B2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共渐近线的双曲线方程弦长公式设直线与双曲线两交点为，，.则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数.通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为五、抛物线的定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.注若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点.六、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对称轴一样，一次项系数的符号确定开口方向标准方程yxyxOFlyxyxOFlFyFyxOl图形yyxOFl对称轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三、抛物线中常用的结论1、点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）.（2）在抛物线上.（3）在抛物线外.2、焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.3、的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.4、焦点弦若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：（1）.（2）.（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即全部焦点弦中通径最短，其长度为.焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）.（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）.【典例例题】例1．（2024春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知椭圆C：的焦点在y轴上，且焦距为2，则（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【解析】依题意，椭圆的焦点在轴上，焦距，所以.故选：C例2．（2024春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，∴，可得焦点坐标为.故选：C．例3．（2024秋·广东清远·高二统考期末）已知椭圆C：+=1的离心率为，则C的长轴长为（

）A．8 B．4 C．2 D．4【答案】B【解析】依题意，因为椭圆C的离心率为，所以=，得m=2，故长轴长为2=4．故选：B.例4．（2024春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C：的离心率为2，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设双曲线C的半焦距为c．∵椭圆的焦点为，∴．又双曲线C：的离心率为，∴，即，解得，则，故双曲线C的方程为．故选：．例5．（2024秋·湖南株洲·高二校考期末）在平面直角坐标系中，椭圆C的中心在原点，焦点，在x轴上，离心率为，过的直线l交椭圆C于A，B两点，且的周长为16，则椭圆C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】的周长为，即，离心率为，故，，所以椭圆的方程为.故选：D.例6．（2024秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（

）A．6 B． C．3 D．【答案】D【解析】因为的准线为，所以双曲线的一个焦点为，即，由题意可知，即，所以，所以，，所以顶点到渐近线的距离为.故选：D．例7．（2024秋·河北邢台·高二统考期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设双曲线C的一个焦点为，因为双曲线C的渐近线为，所以焦点到渐近线的距离为．因为，所以，，又，所以双曲线C的离心率为.故选：B.例8．（2024春·四川资阳·高二统考开学考试）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由椭圆的方程知，，，则、由椭圆的定义知，，所以，又∵∴，即：的最大值为11.故选：D.例9．（2024秋·陕西榆林·高二统考期末）双曲线的一条渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为双曲线，所以，又因为焦点在x轴上，所以其渐近线方程为，故选：D例10．（2024·河南郑州·统考一模）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线方程为由抛物线的定义可得，故选：B例11．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）设F为抛物线C：的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】抛物线C：的焦点，准线方程，明显点A的横坐标为2，由抛物线定义得：，所以.故选：B例12．（2024春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知O为坐标原点，P是焦点为F的抛物线C：（）上一点，，，则（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【解析】设抛物线C的准线与x轴交于点Q，过点P作准线的垂线交准线于G，过F作，垂足为H，∴，，由抛物线的定义知，∵，∴，，∴，解得．故选：D．例13．（2024春·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）方程表示的曲线可以是（

）A．圆B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线【答案】ABC【解析】对于A，当，即时，方程可化为，该方程表示圆，故A正确；对于B，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；对于C，当，即时，方程可化为，该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；对于D，因为由得无解，所以当方程化为时，由于，，所以该方程无法表示焦点在x轴上的双曲线，故D错误.故选：ABC.例14．（2024春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）对于曲线C：，则下列说法正确的有（

）A．曲线C可能为圆 B．曲线C不行能为焦点在y轴上的双曲线C．若，则曲线C为椭圆 D．若，则曲线C为双曲线【答案】BCD【解析】当曲线C为圆时，则，无解，故错误；当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则，无解，故正确；若，则，，此时曲线C是椭圆，故正确；若曲线C为双曲线，则，解得，故正确．故选．例15．（2024·陕西西安·统考一模）若抛物线上一点A到焦点和到x轴的距离分别为10和6，则p的值为______.【答案】2或18【解析】∵设抛物线的焦点为F，则，准线l方程为：，∴由抛物线的定义知，，∴点A的横坐标为，则，又∵点A在抛物线上，∴，解得：或.故答案为：2或18.例16．（2024秋·浙江宁波·高二统考期末）已知椭圆，过左焦点F作直线交C于A，B两点，连接（O为坐标原点）并延长交椭圆于点D，若，则椭圆的离心率为_____________．【答案】【解析】设右焦点为,连接,由故，由,所以四边形为平行四边形，由于，进而可得四边形为矩形，设，则，因此，在直角三角形中，,即，解得，所以，故，故，即，故答案为：例17．（2024秋·甘肃庆阳·高二校考期末）已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是_______．【答案】【解析】时，，在抛物线内部（含焦点的部分），设，，由，相减得，∴，即，直线方程为，即，故答案为：．【实力提升训练】一、单选题1．（2024·山东烟台·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为的直线交椭圆于、两点，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在椭圆中，，所以，的周长为.故选：D.2．（2024·山东潍坊·高二统考期末）设椭圆的两个焦点为，，椭圆上的点P，Q满意P，Q，三点共线，则的周长为（

）A．2a B．2b C．4a D．4b【答案】C【解析】椭圆的两个焦点为，，明显椭圆的弦PQ经过点，由椭圆的定义得，的周长.故选：C3．（2024·高二课时练习）已知点P为椭圆上随意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.则椭圆的焦点为.又,，，故，当且仅当分别在的延长线上时取等号.此时最大值为.故选：C.4．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】依据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即，又，所以，由，所以；故选：A5．（2024·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）椭圆上一点到一个焦点的距离为7，则点到另一个焦点的距离为（

）A．5 B．3 C．4 D．7【答案】B【解析】设椭圆的左右焦点分别为，由定义可知：，因为椭圆方程为，所以，则，由题意知点到一个焦点的距离为7，则点到另一个焦点的距离为，故选：.6．（2024·江苏盐城·高二校考期末）已知椭圆，分别为它的左右焦点，点是椭圆上一个动点，下列结论中错误的是（

）A．点到右焦点的距离的最大值为 B．焦距为C．点到原点的距离的最大值为 D．椭圆的离心率为【答案】B【解析】由椭圆方程得：，，；对于A，点到右焦点距离的最大值为，A正确；对于B，焦距为，B错误；对于C，点到的距离的最大值为，C正确；对于D，椭圆的离心率，D正确.故选：B.7．（2024·甘肃兰州·高二校考期末）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（

）A．20 B．16 C．14 D．12【答案】A【解析】由，得，得，所以的周长为，故选：A8．（2024·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】椭圆上的点P满意，当点P为的延长线与C的交点时，达到最大值，最大值为．故选：B9．（2024春·湖南·高三校联考阶段练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，则内切圆半径的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设内切圆的半径为，由题意得：，，，故，因为为椭圆上的一点，故，所以，又，则，所以．故选：C10．（2024·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则实数的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由题意，，，即，，整理可得，，则，解得.故选：A.11．（2024·陕西榆林·高二统考期末）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故实数的取值范围是.故选：A.12．（2024·山东威海·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（

）A． B． C．或 D．或1【答案】D【解析】焦距为2，即.当焦点在上时，，得；当焦点在上时，，得；综合得或.故选：D.13．（2024·山西运城·高二统考期末）椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，且椭圆焦点在y轴上，则，故椭圆的离心率是.故选：A.14．（2024春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）椭圆的焦点坐标是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，，，∴，∴椭圆的焦点坐标是．故选：A．15．（2024·陕西西安·高二统考期末）已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】D【解析】由条件可知，，，且，解得：.故选：D16．（2024春·四川广安·高三校考开学考试）设命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，即命题为真时，；方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，即命题为真时，；若为真，则命题和命题均为真，，故选：A.17．（2024·安徽淮北·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】A【解析】因为在椭圆上，所以，因为，所以，所以，所以，所以．故选：A.18．（2024·山东烟台·高二统考期末）若椭圆的中心为坐标原点､焦点在轴上；顺次连接的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设椭圆的标准方程为，由题可知，，解得，，故椭圆的标准方程为．故选：A.19．（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由化简可得，焦点为在轴上，同时又过点，设，有，解得，故选：C20．（2024·湖南郴州·高二统考期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，因为，则，所以，，设点，其中或，则，若点在双曲线的右支上，则，则，当点在双曲线的左支上，则，则.由双曲线的定义可知，解得（舍）或.故选：D.21．（2024·陕西榆林·高二统考期末）已知双曲线C：的一个焦点为，则双曲线C的一条渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】题知，，双曲线的焦点在轴上，则，所以双曲线C的渐近线方程为．故选：D．22．（2024·辽宁营口·高二统考期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.设双曲线的方程为，故，解得，故双曲线的标准方程为.故选:A.23．（2024·全国·高三专题练习）函数的图像恒过定点A，若点A在双曲线上，则m-n的最大值为（

）A．6 B．-2 C．1 D．4【答案】D【解析】令，解得，所以，因为点A在双曲线上，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以m-n的最大值为4故选：D24．（2024春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为，则（

）A．2 B． C．8 D．4【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设A在x轴上方，则，，∴，．又∵的周长为，∴，∴．故选：A.25．（2024·江西上饶·高二统考期末）已知双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知可得，则，所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：C.26．（2024·河北邢台·高二统考期末）已知点，抛物线的焦点为F，射线与抛物线C相交于点M，与其准线交于点N，若，则（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【解析】由抛物线可得焦点，过M作C的准线的垂线，垂足为K．则，因为，所以，所以直线的斜率为，由，得．故选:D27．（2024·广东广州·高二统考期末）若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为5，则p的值为（

）A． B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】由题意可得：抛物线开口向右，焦点坐标为，准线方程为：，因为抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为5，由抛物线的定义可得：，解之可得：，故选：.28．（2024春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线的标准方程为，，，抛物线的焦点坐标为．故选：D．29．（2024·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）双曲线的右焦点F与抛物线的焦点重合,两曲线有一个公共点为P,若,则该双曲线的离心率为(

)A． B． C． D．2【答案】A【解析】由题知,抛物线焦准距设,由,得,所以不妨设点在第一象限,则双曲线焦半距,焦点是依据双曲线的定义,所以所以离心率故选:A30．（2024·湖南张家界·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，则此抛物线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为抛物线，所以焦点坐标为，所以解得，所以此抛物线的方程为.故选：B.31．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为抛物线的焦点在轴上，可设其方程为，代入点，，解得，所以抛物线的方程为.故选：D.32．（2024·全国·高三专题练习）抛物线上一点到焦点的距离为，则实数的值为A． B． C． D．【答案】A【解析】因为抛物线过点，所以，抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知，解得.故选：A.33．（2024·江苏南通·高二统考期末）已知为双曲线与抛物线的交点，则点的横坐标为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【解析】依题意，，则由解得，所以点的横坐标为3.故选：A34．（2024·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（

）A．4 B．2 C． D．1【答案】A【解析】把代入抛物线方程中，得，因为该抛物线的对称轴为纵轴，所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，故选：A35．（2024·陕西咸阳·高二校考期末）已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使它恰在点处被平分，则这条弦所在的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，直线l交抛物线于M，N两点，设，则，两式相减得，整理得，因为MN的中点为，则，所以，所以直线l的方程为即.故选：A36．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）已知直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为，则椭圆C的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则从而，故．由题意可得，则，从而，故椭圆C的离心率．故选：A.二、多选题37．（2024·江苏徐州·高二统考期末）已知曲线，则下列说法正确的是（

）A．若是椭圆，则其长轴长为B．若，则是双曲线C．C不行能表示一个圆D．若，则上的点到焦点的最短距离为【答案】BC【解析】由于，所以，对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误,对于B,当时，是双曲线，故B正确,对于C,由于，故C不行能表示一个圆，故C正确，对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误,故选:BC38．（2024·浙江宁波·高二统考期末）关于x，y的方程表示的曲线可以是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】BC【解析】明显且，若，即时，此时表示椭圆；若，即时，此时表示双曲线；若，此时无解，综上：方程表示的曲线可以是椭圆，也可以是双曲线.故选：BC39．（2024·山东烟台·高二统考期末）已知曲线，下列说法正确的有（

）A．若曲线表示椭圆，则或B．若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值C．若曲线表示双曲线，则D．若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值【答案】BCD【解析】对于A选项，若曲线表示椭圆，则，解得，A错；对于B选项，若曲线表示椭圆，则，椭圆的标准方程为，椭圆的焦距为，B对；对于C选项，若曲线表示双曲线，则，解得，C对；对于D选项，若曲线表示双曲线，则双曲线的标准方程为，双曲线的焦距为，D对.故选：BCD.40．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（

）A．点的坐标为B．C．若，则直线经过定点D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为【答案】CD【解析】因为拋物线，故的坐标为故A错误；由于直线不愿定过焦点，所以不是经过焦点的弦长，故B错误；若，故，即或（舍去），因为直线，即，得，故直线经过定点C正确；点设过的切线方程为，联立，所以，故或，所以方程的根为，故切线的斜率分别为和，故，，可得直线，即，故D正确；故选:CD.41．（2024·山西太原·高二山西大附中校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】联立，消去y得，.因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，所以方程有一正一负根，所以，整理得，解得.所以的取值范围为，故A，D符合题意.故选：AD.42．（2024·全国·高三专题练习）已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于选项A，设直线的方程为，代入，可得，所以，，选项A正确；对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦，所以由抛物线定义可得，由选项A知，，，所以.即，解得，当时，，所以，当时，，所以，当时，也适合上式，所以，选项B正确；对于选项C，不妨设，点A在x轴上方，设，是，在准线上的射影，，所以，同理可得，所以，同理可证时，等式也成立，选项C正确；对于选项D，由上可知：，，所以，选项D不正确，故选：ABC.三、填空题43．（2024·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为、，若点P是椭圆上的点，且，则______．【答案】4【解析】由题知，，，因为点在椭圆上，所以，则，又因为，所以，故，设，由，得，将代入椭圆方程解得，故.故答案为：4.44．（2024·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________.【答案】3【解析】因为为椭圆的焦点，所以，，所以由，所以椭圆的标准方程为：，如图所示：因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点，故当处于右顶点时最大，且最大值为，故答案为：3.45．（2024·全国·高三对口高考）设P是椭圆上的点.若，是椭圆的两个焦点，则等于________________.【答案】10【解析】∵∴∴∴由椭圆的定义知，.故答案为：10.46．（2024·山西晋城·高二统考期末）椭圆的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为_____.【答案】或【解析】设点，则到轴的距离为，因为，，，当或时，则，得，，即到轴的距离为．当时，则，，，，由（1）（2）知：到轴的距离为或，故答案为：或．47．（2024·河北保定·高二统考期末）已知椭圆的左焦点为，是上关于原点对称的两点，且，则三角形的周长为___________．【答案】18【解析】由题意的半长轴，半焦距，如图示，设椭圆右焦点为,连接，由于是上关于原点对称的两点，则，因为，O为的中点，故，而，故三角形的周长为,故答案为：1848．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.【答案】12【解析】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，连接，所以周长为故的周长的最大值为12，故答案为：12.49．（2024·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为______．【答案】【解析】由题知，，，因为点在椭圆上，所以，所以，又因为，所以，所以，从而．故答案为：50．（2024·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为________.【答案】【解析】易得，则，即，故,故答案为：.51．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为_______．【答案】4【解析】因为点在上，所以有，由，当且仅当时取等号，故答案为：452．（2024·江苏连云港·高二统考期末）经过两点的椭圆的标准方程为______.【答案】【解析】设椭圆为，代入两点得，解得.故椭圆的标准方程为.故答案为：.53．（2024·高二课时练习）经过和两点的椭圆的标准方程为______．【答案】【解析】设椭圆的方程为，则，解得，所以该椭圆的标准方程为.故答案为：.54．（2024春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知O是坐标原点，，分别是椭圆E：（）的左、右焦点，M是E上一点，，且的面积为，则E的离心率为______．【答案】【解析】∵，∴，∴，，∵，∴，∴①，由椭圆的定义知，②，由得，，∴，∴，∴离心率．故答案为：.55．（2024·河南南阳·高二统考期末）已知为坐标原点，为双曲线（，）的左焦点，是该双曲线上的一点，且是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为______．【答案】或【解析】设双曲线的右焦点为，当时，如图，连接，为等腰直角三角形，所以，，所以，

，则双曲线的离心率为.当时，如图，连接，又为等腰直角三角形，所以，，在中，，由余弦定理得，所以，，双曲线的离心率为.故答案为：或.56．（2024·高二课时练习）到点，的距离的差的确定值等于6的点的双曲线的标准方程为______．【答案】【解析】由题意可设双曲线方程为，焦距设为，由题意可知所求双曲线的两焦点为，，故，又双曲线上的点到点，的距离的差的确定值等于6，故，所以，故双曲线标准方程为.故答案为：.57．（2024·高二课时练习）经过两点，，且焦点在x轴上的双曲线的标准方程为______．【答案】【解析】设焦点在轴上的双曲线方程为，，过点和，则，解得，故方程为.故答案为：58．（2024·高二课时练习）点P到点的距离与它到点的距离的差等于16的轨迹方程为______．【答案】【解析】依据题意，轨迹为焦点在轴的双曲线的右支，，，，故，故轨迹方程为：.故答案为：59．（2024·陕西渭南·统考一模）已知双曲线的焦距为4，焦点到C的一条渐近线的距离为1，则C的渐近线方程为______【答案】【解析】由双曲线对称性得，一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为，即，焦点为，则焦点到渐近线的距离，由焦距为4得，故，故C的渐近线方程为.故答案为：.60．（2024·高二课时练习）双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为______．【答案】【解析】设双曲线的半焦距为，因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，所以，即，又，所以，故，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.61．（2024·山东泰安·高二统考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出双曲线的一个离心率______．【答案】（答案不唯一）【解析】当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，所以离心率，当双曲线的焦点在轴时，其渐近线为，则，即，所以离心率，综上，可得双曲线的离心率为或.故答案为：（答案不唯一）.62．（2024·陕西榆林·高二统考期末）过双曲线的右顶点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】由题意得，由正三角形可知，即，即，则，故答案为：2.6