2024版高考数学微专题小练习专练12变化率与导数导数的计算理含解析

Page4专练12变更率与导数、导数的计算命题范围：导数的概念与运算、导数的几何意义．[基础强化]一、选择题1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－42．[2024·陕西省西安中学高三模拟]某旅游者爬山的高度h(单位：m)是时间t(单位：h)的函数，关系式是h＝－100t2＋800t，则他在2h这一时刻的高度变更的速度是()A．500m/hB．1000m/hC．400m/hD．1200m/h3．[2024·江西省九江市二模]曲线f(x)＝eq\f(\r(3),3)x3－1在x＝1处的切线倾斜角是()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6)D．eq\f(2π,3)4．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．2155．[2024·辽宁沈阳二中模拟]函数y＝f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(3)<f′(2)6．已知曲线y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一条切线的斜率为－eq\f(1,2)，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D．eq\f(1,2)7．f′(x)是f(x)＝sinx＋acosx的导函数，且f′(eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),4)，则实数a的值为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4)D．18．已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与二次曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a等于()A．－2B．0C．1D．89．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对于随意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)二、填空题10．[2024·全国甲卷]曲线y＝eq\f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为________．11．[2024·江西省赣州市高三期末]设曲线y＝eq\f(1,2)x2在点A(1，eq\f(1,2))处的切线与曲线y＝xlnx在点P处的切线相互平行，则点P的坐标为________．12．[2024·安徽省江南十校一模]过坐标原点且与曲线y＝－xlnx－1相切的直线方程为________.[实力提升]13．[2024·江苏苏州模拟预料]已知奇函数f(x)＝(x2－2x)(ax＋b)(a≠0)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝f(a)，则b＝()A.－1或1B．－eq\f(2\r(3),3)或eq\f(2\r(3),3)C．－2或2D．－eq\f(4\r(3),3)或eq\f(4\r(3),3)14．已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是()A.(3，＋∞)B．(3，eq\f(7,2))C．(－∞，eq\f(7,2))D．(0，3)15．[2024·湖北黄冈中学二模]函数f(x)的图像如图所示，记A＝f′(x1)、B＝f′(x2)、C＝f′(x3)，则A、B、C最大的是________．16．[2024·安徽安庆一中高三月考]若直线l：y＝kx＋b是曲线y＝ex的切线，切点为M(x1，y1)，也是曲线y＝(x＋1)2的切线，切点为N(x2，y2)，则2x1－x2＝________．专练12变更率与导数、导数的计算1．D∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－2，∴f(x)＝－4x＋x2，∴f′(x)＝－4＋2x，∴f′(0)＝－4.2．Ch′(t)＝－200t＋800，∴h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h).3．B设曲线f(x)＝eq\f(\r(3),3)x3－1在x＝1处的切线倾斜角为α，因为f′(x)＝eq\r(3)x2，则f′(1)＝eq\r(3)，因为0≤α≤π，因此，α＝eq\f(π,3).4．C∵函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.5．C从f(x)图像可以看出，点B处切线的斜率大于直线AB的斜率，直线AB的斜率大于点A处切线的斜率，点A处切线的斜率大于0，依据导数的几何意义可得0<f′(3)<eq\f(f（3）－f（2）,3－2)<f′(2)，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2).6．B令y′＝eq\f(2x,4)－eq\f(3,x)＝－eq\f(1,2)，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切点的横坐标为2，故选B.7．B∵f′(x)＝cosx－asinx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(2),4)，得a＝eq\f(1,2).8．D由y＝x＋lnx，得y′＝1＋eq\f(1,x)，∴当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,y＝ax2＋（a＋2）x＋1，))得ax2＋ax＋2＝0，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝a2－8a＝0，))得a＝8.9．B设g(x)＝f(x)－2x－4，g′(x)＝f′(x)－2，由题意得g′(x)>0恒成立，∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，又f(x)>2x＋4等价于g(x)>0，∴原不等式的解为x>－1.10．y＝5x＋2解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,x＋2)))′＝eq\f(2（x＋2）－（2x－1）,（x＋2）2)＝eq\f(5,（x＋2）2)，所以y′|x＝－1＝eq\f(5,（－1＋2）2)＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.11．(1，0)解析：设P(x0，y0)，因为y＝eq\f(1,2)x2的导数为y′＝x，所以曲线y＝eq\f(1,2)x2在点A(1，eq\f(1,2))处的切线的斜率为1，因为y＝xlnx的导数为y′＝1＋lnx，曲线y＝xlnx在点P处的切线斜率为1＋lnx0，所以1＋lnx0＝1，解得x0＝1，代入y＝xlnx可得y0＝0，故P(1，0).12．x＋y＝0解析：设切线的切点为(x0，－x0lnx0－1)，对函数y＝－xlnx－1求导得y′＝－lnx－1，则切线的斜率为k＝－1－lnx0，所以切线方程为y＋x0lnx0＋1＝(－lnx0－1)(x－x0)，将原点的坐标代入切线方程可得x0＝1，则k＝－1，因此，所求切线方程为y＝－x，即x＋y＝0.13．D由f(x)＝(x2－2x)(ax＋b)(a≠0)可得f(x)＝ax3＋(b－2a)x2－2bx，因为f(－x)＝－f(x)，所以b－2a＝0，解得b＝2a.所以y＝f(a)＝a4－4a2，故切线斜率k＝f′(a)＝0，又f′(x)＝a(3x2－4)，所以f′(a)＝a(3a2－4)＝0，解得a＝eq\f(2\r(3),3)或a＝－eq\f(2\r(3),3)，所以b＝－eq\f(4\r(3),3)或eq\f(4\r(3),3).14．B由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3<a<eq\f(7,2).故选B.15．A依据导数的几何意义，f′(x1)、f′(x2)、f′(x3)分别为x1，x2，x3处的切线斜率，又x1与x3处的切线单调递增，x2处的切线单调递减，且x1处的切线比x3处的切线更陡峭，∴f′(x2)<0<f′(x3)<f′(x1)，故最大为f′(x1).16．1解析：由直线l：y＝kx＋b是曲线y＝ex的切线，切点为M(x1，y1)，则直线l的方程是y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x＋ex1(1－x1).由直线l：y＝kx＋b是曲线y＝(x＋1)2的切线，切点为N(x2，y2)，直线l的方程为y－(x2＋1)2＝2(x2＋1)·(x－x2)，即y＝2(x2＋1)x－xeq\o\al(\s\up