2018年中考数学分类汇编考点22勾股定理

...wd......wd......wd...2018中考数学试题分类汇编：考点22勾股定理一．选择题〔共7小题〕1．〔2018•滨州〕在直角三角形中，假设勾为3，股为4，那么弦为〔〕A．5 B．6 C．7 D．8【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为=5．应选：A．2．〔2018•枣庄〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．假设AC=3，AB=5，那么CE的长为〔〕A． B． C． D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴=，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴=，∵FC=FG，∴=，解得：FC=，即CE的长为．应选：A．3．〔2018•泸州〕“赵爽弦图〞巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如以以下图的“赵爽弦图〞是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．假设ab=8，大正方形的面积为25，那么小正方形的边长为〔〕A．9 B．6 C．4 D．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4，∴4×ab+〔a﹣b〕2=25，∴〔a﹣b〕2=25﹣16=9，∴a﹣b=3，应选：D．4．〔2018•温州〕我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形〔古人称直角三角形为勾股形〕分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如以以下图的矩形由两个这样的图形拼成，假设a=3，b=4，那么该矩形的面积为〔〕A．20 B．24 C． D．【分析】欲求矩形的面积，那么求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建设关于x的方程，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积．【解答】解：设小正方形的边长为x，∵a=3，b=4，∴AB=3+4=7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即〔3+x〕2+〔x+4〕2=72，整理得，x2+7x﹣12=0，解得x=或x=〔舍去〕，∴该矩形的面积=〔+3〕〔+4〕=24，应选：B．5．〔2018•娄底〕如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，那么sinα﹣cosα=〔〕A． B．﹣ C． D．﹣【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+〔7+AC〕2=132，整理得，AC2+7AC﹣60=0，解得AC=5，AC=﹣12〔舍去〕，∴BC==12，∴sinα==，cosα==，∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，应选：D．6．〔2018•长沙〕我国南宋著名数学家秦九韶的著作?数书九章?里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何〞这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大题中“里〞是我国市制长度单位，1里=500米，那么该沙田的面积为〔〕A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000〔平方米〕=7.5〔平方千米〕．应选：A．7．〔2018•东营〕如以以下图，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱外表爬到对角C处捕食，那么它爬行的最短距离是〔〕A． B． C． D．【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC=，应选：C．二．填空题〔共8小题〕8．〔2018•吉林〕如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕，B〔0，3〕，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，那么点C坐标为〔﹣1，0〕．【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为〔4，0〕，〔0，3〕，∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，∴AC=AB=5，∴OC=5﹣4=1，∴点C的坐标为〔﹣1，0〕，故答案为：〔﹣1，0〕，9．〔2018•玉林〕如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，那么AD的取值范围是2＜AD＜8．【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，∴AE=2AB=8，在Rt△ABF中，AF=AB=2，∴AD的取值范围为2＜AD＜8，故答案为2＜AD＜8．10．〔2018•襄阳〕CD是△ABC的边AB上的高，假设CD=，AD=1，AB=2AC，那么BC的长为2或2．【分析】分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【解答】解：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4﹣1=3，∴BC===2；②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC===2；综上所述，BC的长为2或2．故答案为：2或2．11．〔2018•盐城〕如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，假设要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，那么AQ=或．【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x，∵PQ∥AC，∴△BPQ∽△BCA，∴=，∴=，∴x=，∴AQ=．②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y．∵△BQP∽△BCA，∴=，∴=，∴y=．综上所述，满足条件的AQ的值为或．12．〔2018•黔南州〕如图，在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，那么△ABC的面积为60．【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出=，构建方程求出x即可解决问题；【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，∵∠BAC=45°，∴AE=EB，∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBE，∴△AEF≌△BEC，∴AF=BC=10，设DF=x．∵△ADC∽△BDF，∴=，∴=，整理得x2+10x﹣24=0，解得x=2或﹣12〔舍弃〕，∴AD=AF+DF=12，∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=60．故答案为60．13．〔2018•滨州〕如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，假设AE=，∠EAF=45°，那么AF的长为．【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，那么NF=x，再利用矩形的性质和条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，∴BE=1，∴ME==，∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得：x=，∴AF==．故答案为：．14．〔2018•湘潭〕?九章算术?是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股〞章中记载了一道“折竹抵地〞问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何〞翻译成数学问题是：如以以下图，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，那么可列方程为x2+32=〔10﹣x〕2．【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=〔10﹣x〕2．故答案为：x2+32=〔10﹣x〕2．15．〔2018•黄冈〕如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，那么蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm〔杯壁厚度不计〕．【分析】将杯子侧面展开，建设A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，那么A′B即为最短距离，A′B===20〔cm〕．故答案为20．三．解答题〔共2小题〕16．〔2018•杭州〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．〔1〕假设∠A=28°，求∠ACD的度数．〔2〕设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗说明理由．②假设AD=EC，求的值．【分析】〔1〕根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；〔2〕①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，对比即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【解答】解：〔1〕∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B=62°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；〔2〕①由勾股定理得，AB==，∴AD=﹣a，解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=，由勾股定理得，a2+b2=〔b+a〕2，整理得，=．17．〔2018•台湾〕嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：路径编号图例行