统考版2024高考数学二轮专题复习第三篇关键能力为重专题三立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积与体积文

第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图——识图、想图、构图，“原形毕露”一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样；侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．例1[2024·贵州省贵阳五校联合考试]一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()[听课记录]归纳总结由三视图还原到直观图的思路[留意]三视图中的虚线表示几何体中看不到的线．对点训练[2024·全国甲卷]在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A­EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()考点二空间几何体的表面积与体积——找特征、求标量、代公式，割补相济1．柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S直棱柱侧＝________(c为底面周长，h为高)；(2)S正棱锥侧＝______(c为底面周长，h′为斜高)；(3)S正棱台侧＝________(c′，c分别为上、下底面的周长，h′为斜高).2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝________(S为底面面积，h为高)，(2)V锥体＝________(S为底面面积，h为高)；(3)V台体＝_______________________(S，S′分别为上、下底面面积，h为高).3．球的表面积和体积公式(1)S球表＝________(R为球的半径)；(2)V球＝________(R为球的半径).角度1求空间几何体的表面积例2[2024·四川省巴中市考试]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．7πB．8πC．9πD．(5＋3)π[听课记录]归纳总结求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”并展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其结构特征入手，将其绽开后求表面积，但要搞清晰它们的底面半径、母线长与对应侧面绽开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积角度2求空间几何体的体积例3[2024·全国甲卷]如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()A．8B．12C．16D．20归纳总结求空间几何体体积的常用方法公式法干脆依据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算等积法依据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更简洁，或是求出一些体积比等割补法把不能干脆计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体对点训练1.[2024·四川省成都市树德中学三诊]如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A．23C．432．[2024·贵州省威宁县试题]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3π＋4B．2π＋4C．3π＋2D．4π＋2考点三多面体与球的切、接问题——找“切”点，抓“接”点，与半径相“联”几何体与球组合体的结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R.①正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.(2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.例4(1)[2024·新高考Ⅱ卷]已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(3)和4eq\r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100πB．128πC．144πD．192π(2)[2024·全国甲卷]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是________．(3)[2024·河南省开封市杞县三模]在三棱锥P­ABC中，PA＝AB，PA⊥平面ABC，∠ABC＝eq\f(π,2)，AB＋BC＝6，则三棱锥P­ABC外接球体积的最小值为()A．8eq\r(6)πB．16eq\r(6)πC．24eq\r(6)πD．32eq\r(6)π[听课记录]归纳总结空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．(2)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何学问找寻几何中元素间的关系求解．(3)补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则的几何体．提示内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．这也是解决此类问题的易错点．对点训练1.[2024·陕西省商洛市三模]在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BC⊥AD，若AB＝6，BC＝AD＝3，则该四面体外接球的表面积为________．2．[2024·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O­ABC的体积为()A．eq\f(\r(,2),12)B．eq\f(\r(,3),12)C．eq\f(\r(,2),4)D．eq\f(\r(,3),4)第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一[例1]解析：由正视图、俯视图可得几何体的直观图如图所示，∴侧视图如下图所示，故选C.答案：C对点训练解析：依据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，结合选项可知该几何体的侧视图为D.答案：D考点二1．（1）ch（2）eq\f(1,2)ch′（3）eq\f(1,2)（c＋c′）h′2．（1）Sh（2）eq\f(1,3)Sh（3）eq\f(1,3)（S＋eq\r(SS′)＋S′）h3．（1）4πR2（2）eq\f(4,3)πR3[例2]解析：由给定的三视图知，这个几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，上接一个底面直径为2，高为eq\r(3)的圆锥构成的组合体，如图，则有圆锥的母线为eq\r(12＋\r(3)2)＝2，圆锥的侧面积S1＝π×1×2＝2π，圆柱的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，圆柱下底面圆面积S3＝π·12＝π，这个几何体的表面由圆锥的侧面、圆柱的侧面、圆柱的下底面组成，所以这个几何体的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝7π.故选A.答案：A[例3]解析：如图，将三视图还原成直观图．该直观图是一个侧放的直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，AA1＝2.所以底面面积S＝eq\f(（2＋4）×2,2)＝6，设该直四棱柱的高为h，则该几何体的体积V＝Sh＝6×2＝12.故选B.答案：B对点训练1．解析：如图所示，题中三视图对应的几何体为图中棱长为2的正方体中的三棱锥C­ABD，其体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).故选C.答案：C2．解析：该几何体为两个四分之一圆柱拼接而成，拼接方式如图，圆柱底面圆的半径为1，高为2，所以几何体的表面积为π×12＋eq\f(1,2)×2π×1×2＋2×1×2＝3π＋4.故选A.答案：A考点三[例4]解析：（1）设三棱台上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圆半径分别为r1，r2，外接圆圆心分别为O1，O2，三棱台的外接球半径为R，球心为O.令|OO1|＝t，则|OO2|＝|t－1|.由题意及正弦定理，得2r1＝eq\f(3\r(3),sin60°)＝6，2r2＝eq\f(4\r(3),sin60°)＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋t2＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋（t－1）2，即R2＝9＋t2＝16＋（t－1）2，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝4，,R2＝25.))所以三棱台外接球的表面积为4πR2＝100π.故选A.（2）由该正方体的棱与球O的球面有公共点，可知球O的半径应介于该正方体的棱切球半径和外接球半径之间（包含棱切球半径和外接球半径）.设该正方体的棱切球半径为r，因为AB＝4，所以2r＝eq\r(2)×4，所以r＝2eq\r(2)；设该正方体的外接球半径为R，因为AB＝4，所以（2R）2＝42＋42＋42，所以R＝2eq\r(3).所以球O的半径的取值范围是[2eq\r(2)，2eq\r(3)].（3）依据题意三棱锥P­ABC可以补成分别以BC，AB，PA为长、宽、高的长方体，其中PC为长方体的对角线，则三棱锥P­ABC的外接球球心即为PC的中点，要使三棱锥P­ABC的外接球的体积最小，则PC最小．设AB＝x，则PA＝x，BC＝6－x，|PC|＝eq\r(AB2＋PA2＋BC2)＝eq\r(3（x－2）2＋24)，所以当x＝2时，|PC|min＝2eq\r(6)，则有三棱锥P­ABC的外接球的球半径最小为eq\r(6)，所以Vmin＝eq\f(4,3)πR3＝8eq\r(6)π.答案：（1）A（2）[2eq\r(2)，2eq\r(3)]（3）A对点训练1.解析：∵AB⊥BC，BC⊥AD，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴BC⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，BC⊥BD.取AC的中点G，BD的中点O1，CD的中点O，又AD⊥AB，AD⊥BC，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AD⊥平面ABC，∴OG∥AD，OG⊥平面ABC，G是△ABC外接圆的圆心，O1O∥BC，O1O⊥平面ABD，O1是△ABD外接圆的圆心，∴O是四面体ABCD外接球的球心；BD2＝62＋32＝45，CD2＝BC2＋BD2＝54，∴外接球O的半径为OC＝eq\f(CD,2)＝eq\f(3\r(6),2)，外接球的表面积S＝4πOC2＝54π.答案：54π2．解析：如图所示，因为AC⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝eq\r(2).连接OO1，则OO1⊥平面ABC，OO1＝eq\r