新教材2024版高中数学第六章概率1随机事件的条件概率1.3全概率公式学生用书北师大版选择性必修第一册

1．3全概率公式[教材要点]要点全概率公式设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对随意一个事务A有P(A)＝______________，称上式为全概率公式．状元随笔(1)公式的直观作用：由于公式包含了乘法公式P(ABi)＝P(Bi)P(A|Bi)即先有Bi后有A，Bi对A的发生均有确定作用，只有Bi发生了，才有A发生的可能性，Bi是A发生的全部“缘由”因此，我们可视为公式的直观作用是“由因求果”．(2)运用公式的关键：运用公式的关键是找寻其中的完备事务组B1，B2，…，Bn，该完备事务组是为了计算P(A)而人为地引入的，选择适当的完备事务组可以使计算大为简化；选择不适当，则不利于问题的解决．[基础自测]1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)全概率公式中样本空间Ω中的事务Bi需满意的条件是i=1n(2)每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个．()(3)每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生．()(4)全概率公式解决由果索因问题．()2．市场上供应的灯泡中，甲厂灯泡占70%，乙厂灯泡占30%，甲厂灯泡的合格率是95%，乙厂灯泡的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A．0.665B．0.564C．0.245D．0.2853．已知A，B为样本空间Ω中的事务，BA与BA是互斥的，B＝BA＋BA，且P(AB)＝12，P(AB)＝1A．12B．C．16D．4．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件．则第一次和其次次都抽到次品的概率是________．题型一全概率公式在简洁事务中的应用例1某学校有A，B两家餐厅，王飞第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，假如第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，假如第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王飞第2天去A餐厅用餐的概率．方法归纳全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最终结果的概率，解题步骤如下：(1)找出条件事务里的某一个完备事务组，分别命名为Ai；(2)命名目标的概率事务为事务B；(3)代入全概率公式求解．跟踪训练1设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；其次箱内装30件，其中18件优质品．现在随意地打开一箱，然后从中随意取出一件，求取到是优质品的概率．题型二全概率公式在困难事务中的应用例2有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)假如取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率．方法归纳为了求困难事务的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简洁事务之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简洁事务的概率，最终利用概率的可加性得到结果．跟踪训练2甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．易错辨析混淆条件概率中的条件致误例3依据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95.对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎．现有某人做此试验，结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？解析：设A＝“某人患有肝炎”，B＝“某人做此试验结果为阳性，则由已知条件有P(B|A)＝0.95，P(B|A)＝0.95，P(A)＝0.005，从而P(A)＝1－P(A)＝0.995，P(B|A)＝1－P(B|A)＝0.05.由贝叶斯公式，有P(A|B)＝PAPB所以此人确有肝炎的概率约为0.087.【易错警示】易错缘由纠错心得把P(A|B)与P(B|A)搞混，误认为P(B|A)＝0.95为所求，造成误诊．正确理解P(A|B)与P(B|A)的含义，防止造成不必要的错误．[课堂特殊钟]1．为了提升全民身体素养，学校特殊重视学生体育熬炼，某校篮球运动员进行投篮练习．假如他前一球投进则后一球投进的概率为34；假如他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为A．34B．58C．7162．一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求其次次取到白球的概率．3．现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好随意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率．1．3全概率公式新知初探·课前预习要点i=1[基础自测]1．(1)√(2)√(3)√(4)×2．解析：记事务A为“买到一个甲厂灯泡”，事务B为“买到一个合格灯泡”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，故P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.答案：A3．解析：由互斥事务概率的加法公式得P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝12+1答案：D4．解析：设“第一次抽到次品”为事务A，“其次次抽到次品”为事务B.P(AB)＝C51C41答案：1题型探究·课堂解透例1解析：设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．依据题意得：P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7所以王飞第2天去A餐厅用餐的概率为0.7.跟踪训练1解析：设A＝{取到的是优质品}，Bi＝{打开的是第i箱}(i＝1,2)，P(B1)＝P(B2)＝12，P(A|B1)＝1050＝P(A|B2)＝1830＝3P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝25例2解析：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.(1)由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.(2)“假如取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事务Ai发生的概率．P(A1|B)＝PA1BPB＝类似地，可得P(A2|B)＝27，P(A3|B)＝3跟踪训练2解析：(1)从甲箱中任取2个产品包含的样本点数为C82＝28，这2个产品都是次品包含的样本点数为C3(2)设事务A为“从乙箱中取一个正品”，事务B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事务B2为“从甲箱中取出1个正品，1个次品”，事务B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事务B1，B2，B3彼此互斥．P(B1)＝C52CP(B2)＝C51CP(B3)＝C32C所以P(A|B1)＝23，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝由全概率公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝514×2[课堂特殊钟]1．解析：记事务A为“第1球投进”，事务B为“第2球投进”，P(B|A┤)＝34，P(B|(A)

̅┤)＝由全概率公式可得PB＝PAP(B|A┤)＋PAP(B|A)＝34故选B.答案：B2．解析：设A＝{第一次取到白球}，B＝{其次次取到白球}，因为B＝AB∪AB，且AB与AB所以P(B)＝P(AB∪AB)＝P(AB)＋P(A