四川省达州市2024-2025学年高二数学上学期第一次考试

第高2025届高二（上）第一次月考数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟。留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,则的真子集个数为(

)A.3 B.4 C.7 D.2.已知,则的共轭复数(

)A. B. C. D.3.设是不同的直线，是不同的平面，且，则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面圆上各点均在该球面上），且该圆锥的侧面积为，则此球的表面积为(

)A. B. C. D.5.某五面体如图所示，下底面是边长为3的正方形，上棱，，与平面的距离为，该五面体的体积为(

)A. B.6 C.9 D.6.已知，则的最小值为(

)A.6 B.7 C.8 D.97.已知函数是定义在上的奇函数，对随意的都有，当时，，则=(

)A.-1 B.0 C.1 8.如图，直角梯形中，,为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且,则下列结论错误的是(

)A.与平面所成角的正切值为 B.

C.二面角的大小为 D.平面平面二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。9.已知点为平面外一点，则下列说法正确的是(

)A.过点只能作一个平面与平行 B.过点可以作多数条直线与平行

C.过点只能作一个平面与垂直 D.过点只能作一条直线与垂直10.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物某地8月1日到8月10日的日均值（单位：）分别为36,32,38,34,32,88,42,36,30,32,则关于这10天中日均值的说法正确的是(

)A.众数为32B.第80百分位数是38C.平均数是40D.前4天的方差比后411.函数在一个周期内图象如图，则(

)

A.该函数的解析式为

B.该函数的一条对称轴方程为

C.该函数的单调递减区间是

D.把的图象上全部点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象12.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是(

)A.直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.某正四棱台的上、下底面边长分别是3，9，侧棱长是6，则它的体积为___________.14.若向量，向量，则向量在向量上的投影向量坐标为___________.15.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为___________.16.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（10分）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点.（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的大小．

18.（12分）某校对高一年级1000名学生的身高进行了统计，发觉这1000名学生的身高介于（单位：cm），现将数据分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是其次组频率的倍，其次组频率是第一组频率的倍.（1）求第一组学生的人数，并估计这名学生身高（单位：cm）的中位数（保留位小数）；（2）若接受分层抽样的方法从前两组中抽取6位同学参与某项课外活动，在这6位同学中随机选出人作为队长，求这两人来自于同一组的概率.19.（12分）在中，内角所对的边分别为且.（1）求角A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长．20.（12分）如图，在三棱锥中，,D为线段AC的中点，

E为线段PC上一点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）当时，求三棱锥的体积．21.（12分）已知函数，且最小正周期是．

（1）求的解析式，并求的单调递增区间；（2）将图象上全部点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，最终将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求实数m的取值范围．22.（12分）如图（1），在中，E,F,H分别为边AB,AC,BC的中点，以EF为折痕把折起，使点A到达点P位置(如图(2))．(1)当时，求二面角的大小；(2)当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题：①设平面PBE与平面PFH的交线为，求证：；②在棱PF上是否存在点N，使得BN与平面PEF所成角的正弦值为?若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由．2025届高二（上）第一次月考数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1-5:CDADB6-8:DBA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.15.16.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解：(1)证明：连接AC.⸪E,F分别是AD1,CD1的中点⸫EF∥AC3分又⸫EF∥平面ABCD5分(2)⸪EF∥AC,B1C1∥BC⸫（或其补角）为异面直线EF与B1C1所成角8分易求得=45⸫异面直线EF与B1C1所成角为4510分18.解：（1）由频率分布直方图可知第四组的频率为设第一组的频率为，由题可知，解得∴第一组的人数为人3分前三组的频率之和为，估计中位数为cm6分（2）其次组频率是第一组频率的倍，所以第一组抽取2人，记为A,B，其次组抽取4人，记为C,D,E,F7分从6人中随机抽取人的样本点有以下15个：（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,C）,（B,D）,（B,E）,（B,F）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）9分其中两人来自于同一组的样本点有以下7个:（A,B）,（C,D）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）11分故所求概率为12分解：(1)⸪2分4分6分(2)8分10分所以的周长为

12分20．解：（1）证明：由PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB⋂BC（2）证明：由AB=BC,D为线段可得BD⊥AC,由PA⊥可得平面PAC⊥平面ABC,又平面PACBD⊂平面ABC,且BD⊥AC,即有BD⊥可得平面BDE⊥平面PAC;（3）解：PA∥平面BDE,PA⊂平面PAC可得PA∥DE,又D为AC的中点，可得E为由PA⊥平面ABC,可得DE⊥平面ABC,又S则三棱锥E-BCD的体积为1321.解：（1）∵==由T=2∴fx=sin∵2∴2∴fx的单调递增区间为kπ2-π12，kπ2+π6，(2)将fx图象上全部点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y=sin2x-π6-12的图象；再向左平移π∵g∴∵当x∈π6∴只需gx-2max当x∈π∴从而gx-2∴m的取值范围是0,2.22.解：(1)由于PE⊥EF,BE⊥EF,在△PBE中，已知PEcos又∠PEB∈0,π,所以∠PEB=（2）当四棱锥P-BCFE的体积最大时,PE在直角梯形BCFE中,EF∥BH,所以BE∥HF