专题03 三角形、轴对称图形、概率（考题猜想易错必刷40题17个考点）（解析版）-2023-2024学年7下数学期末考点大串讲（北师大版）

专题03三角形、轴对称图形、概率

（易错必刷40题17种题型专项训练）三角形的角平分线、中线和高三角形三边关系全等三角形的判定角平分线的性质等腰三角形的性质作图-轴对称变换轴对称-最短路线问题可能性的大小概率公式三角形的面积三角形内角和定理全等三角形的判定与性质线段垂直平分线的性质等边三角形的性质利用轴对称设计图案

轴对称-最短路线问题

概率的意义一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）1．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），∴S△BCE＝2（cm2），∵F为EC中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．故答案为1．二．三角形的面积（共2小题）2．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【解答】解：C点所有的情况如图所示：故选：D．3．如图，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BGD＝8，S△AGE＝3，则△ABC的面积是30．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵BD＝2DC，∴S△CGD＝S△BGD＝×8＝4；∵E是AC的中点，∴S△CGE＝S△AGE＝3，∴S△BCE＝S△BGD+S△CGD+S△CGE＝8+4+3＝15，∵BE是△ABC的中线，∴△ABC的面积是：15×2＝30．故答案为：30．三．三角形三边关系（共1小题）4．三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（）A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8≤x＜13【答案】D【解答】解：∵5+8＝13，8﹣5＝3，∴3＜x＜13，又∵x是三角形中最长的边，∴8≤x＜13．故选：D．四．三角形内角和定理（共7小题）5．如图，△ABC中，∠A＝60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：∵∠A＝60°，∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣60°＝120°，∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，∴∠AED+∠AFD＝2（∠AEF+∠AFE）＝2×120°＝240°，∴∠1+∠2＝180°×2﹣240°＝360°﹣240°＝120°．故选：C．6．如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（）A．87° B．84° C．75° D．72°【答案】A【解答】解：如图，由题意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故选：A．7．△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2⋯∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点A2022，则∠A2022为（）A．° B．° C．° D．°【答案】D【解答】解：∵BA1平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1CD＝∠ACD，∠A1BD＝∠ABC，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BD＝∠ACD∠﹣∠ABC＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝∠A，∴∠A2022＝∠A，∵∠A＝m°，∴∠A2022＝°，故选：D．8．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为17.5°；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝．故答案为：17.5°，．9．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝235度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝55°，∴△ABC中，∠B+∠C＝125°，又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣125°＝235°，故答案为：235．10．在△ABC中，（1）如图（1），∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P．若∠A＝60°，求∠BPC的度数．若∠A＝n°，则∠BPC＝90°+n°．（2）如图（2），在△ABC中的外角平分线相交于点Q，∠A＝n°，求∠BQC的度数．（3）如图（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：∠BPC与∠BQC具有怎样的数量关系？（4）如图（4），△ABC中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【答案】（1）120°，90°+n°．（2）∠BQC＝90°﹣n°．（3）∠BPC+∠BQC＝180°（4）60°，90°，120°．【解答】解：（1）∵∠A＝60°∴∠ABC+∠ACB＝120°∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝60°∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°．故答案为：90°+n°．（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠ABC+∠A，∠A＝n°∴∠DBC+∠FCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A＝180°+n°．∵△ABC的外角平分线相交于点Q．∴∠QBC＝∠DBC，∠QCB＝∠FCB．∴∠QBC+∠QCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+n°）＝90°+n°．∴∠BQC＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°．（3）由（1）知，∠BPC＝90°+n°，由（2）知：∠BQC＝90°﹣n°，∴∠BPC+∠BQC＝180°．（4）∵BQ，BE分别是△ABC的外角平分线和内角平分线，∴∠EBQ＝90°．当∠EBQ＝2∠BQC时，90°＝2×（90°﹣n°）．∴n＝90．∴∠A＝90°．当∠BQC＝2∠E时，∵∠BQC+∠E＝90°．∴∠BQC＝60°．∴90°﹣n°＝60°．∴n＝60．∴∠A＝60°．当∠EBQ＝2∠E时，2∠E＝90°，∴∠E＝45°．∴∠BQC＝90°﹣n°＝45°∴n＝90．∴∠A＝90°．当∠E＝2∠BQC时，∵∠E+∠BQC＝90°．∴∠BQC＝30°．∴90°﹣n°＝30°．∴n＝120．∴∠A＝120°．综上：∠A＝90°，60°，120°11．（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝150°，∠XBC+∠XCB＝90°．（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．【答案】（1）150°；90°．（2）不变化，∠ABX+∠ACX＝60°．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，故答案为：150°；90°．（2）不变化．∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝150°，∵∠X＝90°，∴∠XBC+∠XCB＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）＝150°﹣90°＝60°．五．全等三角形的判定（共4小题）12．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个，共3+0+1＝4个，故选：D．13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．【答案】见试题解答内容【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒；故答案为：3厘米/秒或厘米/秒．14．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是．【答案】见试题解答内容【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有个全等三角形．故答案为：．15．已知AB＝4cm，AC＝BD＝3cm．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）如图①，AC⊥AB，BD⊥AB，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）△ACP与△BPQ全等，PC⊥PQ；理由见解答过程；（2）x＝1cm/s，t＝1cm/s或x＝1.5cm/s，t＝2cm/s．【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ．理由如下：∵t＝1s，点Q与点P的运动速度均为以1cm/s，∴AP＝BQ＝1，∵AB＝4cm，∴PB＝3cm，∴AC＝PB＝3cm，又∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠CAP＝∠PBQ＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS），∴∠C＝∠BPQ，∵∠CAP＝90°，∴∠C+∠APC＝90°，∴∠BPQ+∠APC＝90°，∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°，∴PC⊥PQ．（2）∵点Q的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，∴BQ＝xtcm，∵点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，∴AP＝tcm，则BP＝AB﹣AP＝（4﹣t）cm，又∵∠CAB＝∠DBA＝60°，当△ACP与△BPQ全等时，有以下两种情况：①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，∵AC＝3cm，由AC＝BP，得：3＝4﹣t，解得：t＝1，由AP＝BQ，得：t＝xt，解得：x＝1，∴当x＝1cm/s，t＝1cm/s时，△ACP和△BPQ全等；②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP，由于AC＝BD＝3，因此BQ＝AC＝3，此时点Q与点D重合，如下图所示：由AP＝BP，得：t＝4﹣t，解得：t＝2，由AC＝BQ，得：xt＝3，将t＝2代入xt＝3，得x＝1.5．∴当x＝1.5cm/s，t＝2cm/s时，△ACP和△BPQ全等．综上所述：当x＝1cm/s，t＝1cm/s或x＝1.5cm/s，t＝2cm/s时，△ACP和△BPQ全等．六．全等三角形的判定与性质（共4小题）16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，∠CAD＝2∠BAE，连接DE，下列结论中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正确的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④【答案】D【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正确；∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，故②是不正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正确的，综上所述：其中正确的有①③④．故选：D．17．如图∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，∵∠E+∠B+∠EAB＝180°，∠F+∠C+∠FAC＝180°，∴∠EAB＝∠FAC，∴∠EAB﹣CAB＝∠FAC﹣∠CAB，即∠1＝∠2，∴①正确；在△EAB和△FAC中，∴△EAB≌△FAC（AAS），∴BE＝CF，AC＝AB，∴②正确；在△ACN和△ABM中，∴△ACN≌△ABM（ASA），∴③正确；∵根据已知不能推出CD＝DN，∴④错误；∴正确的结论有3个，故选：C．18．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．（1）求∠APO+∠DCO的度数；（2）求证：AC＝AO+AP．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接BO，如图1所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC，在△OBD和△OCD中，，∴△OBD≌△OCD（SAS），∴OB＝OC，又∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，又∵∠BAC＝120°，∠ABC＝∠ACB＝30°，又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°；（2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠HAO＝∠CAD＝60°，又∵OH⊥BP，∴∠OHA＝90°，∴∠HOA＝30°，∴AO＝2AH，又∵BO＝PO，OH⊥BP，∴BH＝PH，又∵HP＝AP+AH，∴BH＝AP+AH，又∵AB＝BH+AH，∴AB＝AP+2AH，又∵AB＝AC，AO＝2AH，∴AC＝AP+AO．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数；（3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDE和△CEF中，∵，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠DEC＝∠B+∠BDE，即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，∵△BDE≌△CEF，∴∠CEF＝∠BDE，∴∠DEF＝∠B，又∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝65°，∴∠DEF＝65°；（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE＝EF，由（2）知，∠DEF＝∠B，而∠B不可能为直角，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．七．角平分线的性质（共4小题）20．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（）A．四处 B．三处 C．两处 D．一处【答案】A【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三角形外角平分线的交点，共三处．故选：A．21．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（）A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2【答案】A【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD＝OE＝OF，∵AB＝4，AC＝6，BC＝8，∴S△OAB：S△OAC：S△OBC＝2：3：4．故选：A．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是15．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×10×3＝15，故答案为：15．23．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝4，若△ABC的面积为25，则△ABC的周长为12.5．【答案】12.5．【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，过点O作OF⊥AC，垂足为F，连接AO，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OD＝OE＝4，∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OD＝OF＝4，∵△ABC的面积为25，∴△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积＝25，∴AB•OE+BC•OD+AC•OF＝25，∴AB•OE+BC•OD+AC•OF＝50，∴4（AB+BC+AC）＝50，∴AB+BC+AC＝12.5，∴△ABC的周长为12.5，故答案为：12.5．八．线段垂直平分线的性质（共1小题）24．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如图，连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案为：4∠BPC﹣360°．九．等腰三角形的性质（共3小题）25．等腰三角形的一个外角是130°，它的顶角的度数是（）A．50° B．80° C．50°和80° D．80°或65°【答案】C【解答】解：∵一个外角为130°，∴三角形的一个内角为50°，当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，∴等腰三角形的顶角为50°或80°．故选：C．26．如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，……以此类推，若∠B＝20°，则∠C2023A2023A＝．【答案】．【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝20°，∴∠A＝∠C1A1A＝（180°﹣∠B）＝80°＝，∴∠A1C1A2+∠C2A2A＝80°，∵A1C1＝A1A2，∴∠A1C1A2＝∠C2A2A＝40°＝×80°＝，∴∠A2C2A3+∠C3A3A＝40°，∵A2C2＝A2A3，∴∠A2C2A3＝∠C3A3A＝20°＝××80°＝，…∴∠C2023A2023A＝＝，故答案为：．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F，CG是AB边上的高．（1）当D点在BC什么位置时，DE＝DF？并证明；（2）线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当点D在BC的中点时，DE＝DF，理由如下：∵D为BC中点，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）DE+DF＝CG．证明：如图，连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB•CG＝AB•DE+AC•DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．一十．等边三角形的性质（共2小题）28．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是30a．【答案】见试题解答内容【解答】解：因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比如右下角的第二小的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，所以六边形周长是，2x+2（x+a）+2（x+2a）+（x+3a）＝7x+9a，而最大的三角形的边长等于第二小的三角形边长的2倍，即x+3a＝2x，故x＝3a．所以周长为7x+9a＝30a．故答案为：30a．29．如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；（2）如图1，E在线段AB上时，∵AB＝2，AE＝1，∴点E是AB的中点，由（1）知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如图2，E在线段AB的反向延长线上时，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，过E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠BEH＝∠BHE＝60°，∴△BEH是等边三角形，∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，∴∠BED＝∠HEC，在△BDE和△HCE中，，∴△BDE≌△HCE（SAS），∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．综上所述，CD的长为1或3．一十一．作图-轴对称变换（共1小题）30．如图，在2×2的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出5个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．【答案】答案请看解析过程．【解答】解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示，在图中最多能画出5个不同的格点三角形与△ABC成轴对称．最后一个图的三角形BNC和三角形ANC都与三角形ABC成轴对称，故答案为：5．一十二．利用轴对称设计图案（共1小题）31．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是a+8b（结果用含a，b代数式表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b故答案为：a+8b．方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形∴口朝上的有5个，口朝下的有四个，而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b，故答案为a+8b．一十三．轴对称-最短路线问题（共2小题）32．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是30°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等边三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，故答案为：30°．33．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠DCF的度数为30°．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，取AB的中点G，连接CG交AD于点F，∵等边△ABC的边长为4，AE＝2，∴点E是AC的中点，所以点G和点E关于AD对称，此时EF+FC＝CG最小，根据等边三角形的性质可知：∠GCB＝ACB＝30°．所以∠DCF的度数为30°．故答案为30°．一十四．翻折变换（折叠问题）（共2小题）34．如图，把一个边长为7的正方形经过三次对折后沿图（4）中平行于MN的虚线剪下，得图（5），它展开后得到的图形的面积为45，则AN的长为（）A．1 B．4 C．2 D．2.5【答案】D【解答】解：严格按照图中的顺序向上对折，向右对折，向右下方对折，剪去一个直角三角形，可发现剪去4个小正方形，大正方形的面积为7×7＝49，剩下图形的面积为45；那么剪去的面积之和为49﹣45＝4，每个小正方形的面积为1；那么边长为1，由折叠展开的图形易知AN＝（7﹣2）÷2＝2.5．故选：D．35．如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠图（2），则∠FGD的度数是40°，再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数是120°．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据折叠可知：∠FGD＝2∠FEG＝40°．∵AD∥