圆的内接四边形公开课获奖课件

圆内接四边形性质与鉴定定理CODBA第1页圆周角定理：圆上一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角二分之一．圆心角定理：圆心角度数等于它所对弧度数．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等；反之，相等圆周角所对旳弧也相等．推论２：半圆（或直径）所对旳圆周角是直角；反之，９０°圆周角所对旳弦是直径．第2页例2．如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：度数与度数和二分之一等于∠APD度数．DABPCE分析：由于∠APD既不是圆心角，也不是圆周角，为此我们需要构造一种与∠APD相等圆心角或圆周角，以便运用定理．证明：如图，过点C作CE//AB交圆于E，则有∠APD＝∠C.第3页OACDEBABCOOCABDABCFED·O１．定义：假如多边形所有顶点都在一种圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形外接圆.一定理探究第4页

思索:

探究：观测下图，这组图中四边形都内接于圆．你能发现这些四边形共同特性吗？特殊到一般措施!（1）任意三角形均有外接圆吗？那么任意四边形有外接圆吗?（3）任意矩形与否有外接圆?（2）一般地,任意四边形均有外接圆吗?第5页CODBA1.如图：圆内接四边形ABCD中，∵弧BCD和弧BAD所对旳圆心角和是周角.∴∠A＋∠C＝180°

同理∠B＋∠D＝180°2圆内接四边形性质定理圆内接四边形性质定理１：圆内接四边形对角互补．第6页2.圆内接四边形性质定理CO.DBAE圆内接四边形性质定理2：圆内接四边形外角等于它内角对角．第7页圆内接四边形性质定理１：圆内接四边形对角互补．圆内接四边形性质定理2：圆内接四边形外角等于它内角对角．3四边形存在外接圆鉴定定理OCABDE第8页已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°,求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）.OCABD分析：不在同一直线上三点确定一种圆．通过A、B、C三点作⊙O，假如可以由条件得到⊙O过点D，那么就证明了命题．显然，⊙O与点D有且只有三种位置关系:(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上．只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题．OCABDOCABD分类讨论思想反证法3四边形存在外接圆鉴定定理第9页OCABDEOCABDE(1)假如点D在⊙O外部．设E是AD与圆周交点，连接EC，则有∠AEC+∠B=180°.由题设∠B+∠D=180°,可得∠D=∠AEC．这与“三角形外角不小于任一不相邻内角”矛盾，故点D不也许在⊙O外部．（2）假如点D在⊙O内部．显然AD延长线必然与圆相交，设交点为E，连接EC，则有∠E+∠B=180°.由题设∠B+∠ADC=180°,可得∠E=∠ADC．这与“三角形外角不小于任一不相邻内角”矛盾，故点D不也许在⊙O内部．证明：(分类讨论思想及反证法)综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆．第10页圆内接四边形鉴定定理：假如一种四边形对角互补，那么这个四边形四个顶点共圆．阐明：在此鉴定定理证明中，用到了分类讨论思想和反证法．又当问题结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别讨论，最终获得结论措施，称为穷举法．于是圆内接四边形鉴定定理推论：假如四边形一种外角等于它内角对角，那么这个四边形四个顶点共圆．ABCDOEOCABD应用格式：在四边形ABCD中，∵A+C=180°,∴四点A,B,C,D共圆．应用格式：在四边形ABCD中，∵∠A=∠DCE,∴四点A,B,C,D共圆．3四边形存在外接圆鉴定定理第11页1、如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD=100°,则∠BAD=

,∠BCD=

.练习：ABCDO2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=∠B=∠C=∠D=50º130º60º90º120º90º3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=75º，则∠BOD=150ºABCDOE设A=2x,则C=4x.∵A+C=180º,∴x=30º.二定理应用第12页例1：如图⊙O1与⊙O2都通过A、B两点.通过点A直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.通过点B直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.求证：CE∥DF.O１O2FABECD分析：只要证明同旁内角互补即可！并运用圆内接四边形性质定理．证明：连接AB．∵四边形ABEC是⊙O1内接四边形，∴∠BAD＝∠E．又∵四边形ABFD是⊙O2内接四边形，∴∠BAD+∠F=180º．∴∠E+∠F=180º．∴CE//DF．第13页变式1：如图，⊙O1和⊙O2都通过A、B两点．过A点直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B点直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE//DF.EDCFABO1O2变式2:如图,⊙O1和⊙O2有两个公共点A﹑B．过A﹑B两点直线分别交⊙O1于C、E,交⊙O2于D、F，且CD∥EF．求证：CE=DF．CEABDFO1O2由例1可知:CE//DF,又∵CD//EF,∴DCEF为平行四边形．∴CE=DF.第14页例２.如图,CF是△ABCAB边上高,FP⊥BC,FQ⊥AC.求证:A、B、P、Q四点共圆．∵FP⊥BC,FQ⊥AC，∴∠FQA＝∠FPC．证明：连接PQ．在四边形QFPC中，∴Q、F、P、C四点共圆．∴∠QFC＝∠QPC．又∵CF⊥AB，∴∠QFC＋∠QFA＝90°．而∠A＋∠QFA＝90°．∴∠QFC＝∠A．∴∠QPC＝∠A．∴A、B、P、Q四点共圆．CQPBFA第15页1、(1)圆内接平行四边形一定是

形.(2)圆内接梯形一定是

形.(3)圆内接菱形一定是

形.矩等腰梯正方练习2：2.假如四边形一边上两个顶点视角相等，那么四边形四个顶点共圆．DCBA已知：如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB.求证:A、B、C、D四点共圆．分析:要用圆内接四边形鉴定定理或推论,无法找到足够条件,即直接措施不易证明,于是仿照鉴定定理证明用反证法.第16页DCBADCBAEDCBAE已知：如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB.求证:A、B、C、D四点共圆.证明：由三点A、B、D可以确定一种圆，设该圆为⊙O．(1)假如点C在⊙O外部.连接BC,与圆交于点E．则∠ADB=∠AEB.∵∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠AEB与∠AEB>∠ACB相矛盾．故点不也许在圆外．(２)假如点C在⊙O内部.延长BC与圆交于点E．连接AE.则∠ADB=∠AEB.∵∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠AEB与∠ACB>∠AEB相矛盾．故点不也许在圆内．综合(1),(2)