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文档简介
专题七应用题第21讲函数应用题第21讲函数应用题
V的漏斗,现选择半径为R的圆形铁皮,截取如图所
示的扇形,焊制成漏斗.(1)若漏斗的底面半径为
R,求圆形铁皮的半径R;(2)这张圆形铁皮的半径R至少是多少?解析(1)漏斗高h=
=
R,则体积V=
π
h,所以R=2
.(2)设漏斗的底面半径为r(r>0),V=
πr2
,所以R=
,令f(r)=
+r2(r>0),则f'(r)=-
+2r=
,所以f(r)在
上单调减,
上单调增,所以当r=
时,R取最小值
.2.如图,某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围
墙,且要求中间用围墙EF隔开,使得图中ABEF为矩形,EFDC为正方形,设AB=x
米,已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元/米.设围墙(包括EF)的修建总费
用为y元.(1)求出y关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,围墙(包括EF)的修建总费用y最小?求出y的最小值.
解析(1)设AD=t米,则由题意得xt=600,且t>x,故t=
>x,可得0<x<10
,则y=800(3x+2t)=800
=2400
,所以y关于x的函数解析式为y=2400
(0<x<10
).(2)y=2400
≥2400×2
=96000,当且仅当x=
,即x=20时等号成立.故当x为20时,y最小,y的最小值为96000.题型一利用导数解决的函数模型(1)试用x,y表示L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么
做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其他损耗)?解析(1)水平方向每根支条长为
=(15-x)cm,竖直方向每根支条长为
=
cm,菱形的一条边长为
=
cm.所以L=2(15-x)+4
+8×
=82+4
-2(x+y)cm.(2)由题意得
xy=130,即y=
,由
得
≤x≤13.所以L=82+4
-2
.令t=x+
,其导函数t'(x)=1-
<0
,故t=x+
在
上单调递减,故t∈
,所以L=82+4
-2t,其中定义域t∈
,求导得L'(t)=2
>0,所以L=82+4
-2t在t∈
上为增函数,故当t=33,即x=13,y=20时,L有最小值16+4
.答:做这样一个窗芯至少需要(16+4
)cm的条形木料.【核心归纳】利用导数解决函数模型中的最值问题是常考题型,是在通过
审题确定目标函数和定义域后借助导数与函数的单调性、极值与最值的关
系求解最值,有时函数的定义域不能通过观察法求得,要根据条件建立不等式
组求得,定义域是函数模型中优先考虑的问题.1-1
(2017江苏太仓高级中学检测)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车
的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5000辆.本年度为适
应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加
的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加.已
知年利润W(x)=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则
投入成本增加的比例x应在什么范围内?(2)若年销售量关于x的函数为y=3240
,则当x为何值时,本年度的年利润最大?最大利润为多少?解析(1)由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x)万元/辆,出厂价为13
xx)辆,则W(xx)-10(1+x)]×x)x)×x)=-1800x2+1500x+15000,又由已知得,上一年度的年利润为(13-10)×5000=15000(万元),则由W(x)>150
00得,0<x<
,又x∈(0,1),故x∈
.(2)W(x)=(3-0.9x)×3240×
=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),则W'(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),由W'(x)=0解得x=
或x=3,当x∈
时,W'(x)>0,W(x)是增函数;当x∈
,W'(x)<0,W(x)是减函数.故当x=
时,W(x)取极大值,极大值为W
=20000,因为W(x)在(0,1)上只有一个极大值,所以W
是最大值.即当x=
时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.题型二利用不等式解决的函数模型(1)当r和θ分别为多少时,可使得广场面积最大,并求出最大面积;(2)若要求步道长105米,则可设计出的水池的最大面积是多少?解析(1)由题意,水池弧长AB为θr,扇形AOB面积S=
θr2,则有400×
θr2+1000(2r+θr)≤24×104,即θr2+5(2r+θr)≤1200,
①θr+2r≥2
,∴θr2+10
≤1200.令t=
,t>0则
+10t≤1200⇒t≤40,所以当θr=2r=40,即θ=2,r=20时,S=
θr2最大为400.答:扇形圆心角θ为2,半径20米时,广场面积最大,为400平方米.(2)θr+2r=105⇒θ=
-2<2π,θr=105-2r代入①可得(105-2r)r+5×105≤1200⇒2r2-105r+675≥0⇒r≤
或r≥45,
②又S=
θr2=
(105-2r)r=-r2+
r=-
+
,当r≤
时,θ=
-2≥
-2=12>2π与θ<2π不符,所以S=
θr2在[45,+∞)上单调减,当r=45时,S取得最大值为337.5,此时θ=
.故可设计出的水池的最大面积是337.5平方米.【核心归纳】不等式是解决函数模型中最值问题的常用工具,根据目标函
数的结构选择解不等式或用基本不等式求解,利用基本不等式求解最值问题
时要注意对基本不等式成立条件的逐一验证.2-1
(2018南京高三年级学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1000台
某产品的任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每个工人每
x人,他们加工完甲型装置所需时间
为t1小时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t2f(x)=t1+t2.(1)求f(x)的解析式,并写出其定义域;(2)当x等于多少时,f(x)取得最小值?解析(1)因为t1=
,t2=
=
,所以f(x)=t1+t2=
+
,定义域为{x|1≤x≤99,x∈N*}.(2)f(x)=1000
=10[x+(100-x)]
=10
.因为1≤x≤99,x∈N*,所以
>0,
>0,所以
+
≥2
=6,当且仅当
=
,即x=75时取等号.答:当x=75时,f(x)取得最小值.题型三分段函数模型解析(1)当x=60时,t(60)=1600,代入t(x)=-a(x+5)2+10050,解得a=2.∴M(x)=
即M(x)=
(2)当x∈[34,60),x∈N*时,W(x)=(-2x2-20x+10000)(x-34)-20000,则W'(x)=-6(x2-1
6x-1780).令W'(x)=0,解得x1=8-2
(舍去),x2=8+2
∈(50,51).当34<x<50时,W'(x)>0,W(x)单调递增;当51<x<60时,W'(x)<0,W(x)单调递减.∵x∈N*,M(50)=44000,M(51)=44226,∴M(x)在[34,60)上的最大值为44226.当60≤x≤70时,M(x)=100(-x2+110x-2584)-20000单调递减,此时M(x)的最大值为M(60)=21600.综上所述,当x=51时,M(x)取最大值,为44226.答:该打印店月利润的最大值为44226元,此时产品的销售价格为51元/件.【核心归纳】分段函数模型是函数应用题中常见的模型,由条件合理分段
是关键,一般情况下,在x的不同取值范围内函数有不同的解析式,求解分段函
数的最值问题时,可先求每一段函数的最值,再比较得最大值和最小值.3-1经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400km的水
果批发市场.据测算,J型卡车满载行驶时,每100km所消耗的燃油量u(单位:L)
与速度v(单位:km/h)的关系近似地满足u=
除燃油费外,工人工资、车损等其他费用平均每小时300元.已知燃油价格为每升(L)7.5元.(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用),将y表示成速度v的函数关
系式;(2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?解析(1)由题意,当0<v≤50时,y×
u+300×
=30
+300×
=
+690,当v>50时,y×
u+300×
=30
+300
=
+
+600,所以y=
(2)当0<v≤50时,y=
+690是单调减函数,故v=50时,
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