高考数学二轮复习专题七应用题第21讲函数应用题课件

专题七应用题第21讲函数应用题第21讲函数应用题

V的漏斗,现选择半径为R的圆形铁皮,截取如图所

示的扇形,焊制成漏斗.(1)若漏斗的底面半径为

R,求圆形铁皮的半径R;(2)这张圆形铁皮的半径R至少是多少?解析(1)漏斗高h=

=

R,则体积V=

π

h,所以R=2

.(2)设漏斗的底面半径为r(r>0),V=

πr2

,所以R=

,令f(r)=

+r2(r>0),则f'(r)=-

+2r=

,所以f(r)在

上单调减,

上单调增,所以当r=

时,R取最小值

.2.如图,某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围

墙,且要求中间用围墙EF隔开,使得图中ABEF为矩形,EFDC为正方形,设AB=x

米,已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元/米.设围墙(包括EF)的修建总费

用为y元.(1)求出y关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,围墙(包括EF)的修建总费用y最小?求出y的最小值.

解析(1)设AD=t米,则由题意得xt=600,且t>x,故t=

>x,可得0<x<10

,则y=800(3x+2t)=800

=2400

,所以y关于x的函数解析式为y=2400

(0<x<10

).(2)y=2400

≥2400×2

=96000,当且仅当x=

,即x=20时等号成立.故当x为20时,y最小,y的最小值为96000.题型一利用导数解决的函数模型(1)试用x,y表示L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么

做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其他损耗)?解析(1)水平方向每根支条长为

=(15-x)cm,竖直方向每根支条长为

=

cm,菱形的一条边长为

=

cm.所以L=2(15-x)+4

+8×

=82+4

-2(x+y)cm.(2)由题意得

xy=130,即y=

,由

得

≤x≤13.所以L=82+4

-2

.令t=x+

,其导函数t'(x)=1-

<0

,故t=x+

在

上单调递减,故t∈

,所以L=82+4

-2t,其中定义域t∈

,求导得L'(t)=2

>0,所以L=82+4

-2t在t∈

上为增函数,故当t=33,即x=13,y=20时,L有最小值16+4

.答:做这样一个窗芯至少需要(16+4

)cm的条形木料.【核心归纳】利用导数解决函数模型中的最值问题是常考题型,是在通过

审题确定目标函数和定义域后借助导数与函数的单调性、极值与最值的关

系求解最值,有时函数的定义域不能通过观察法求得,要根据条件建立不等式

组求得,定义域是函数模型中优先考虑的问题.1-1

(2017江苏太仓高级中学检测)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车

的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆,年销售量为5000辆.本年度为适

应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加

的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为0.7x,年销售量也相应增加.已

知年利润W(x)=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.(1)若年销售量增加的比例为0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则

投入成本增加的比例x应在什么范围内?(2)若年销售量关于x的函数为y=3240

,则当x为何值时,本年度的年利润最大?最大利润为多少?解析(1)由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x)万元/辆,出厂价为13

xx)辆,则W(xx)-10(1+x)]×x)x)×x)=-1800x2+1500x+15000,又由已知得,上一年度的年利润为(13-10)×5000=15000(万元),则由W(x)>150

00得,0<x<

,又x∈(0,1),故x∈

.(2)W(x)=(3-0.9x)×3240×

=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),则W'(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),由W'(x)=0解得x=

或x=3,当x∈

时,W'(x)>0,W(x)是增函数;当x∈

,W'(x)<0,W(x)是减函数.故当x=

时,W(x)取极大值,极大值为W

=20000,因为W(x)在(0,1)上只有一个极大值,所以W

是最大值.即当x=

时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.题型二利用不等式解决的函数模型(1)当r和θ分别为多少时,可使得广场面积最大,并求出最大面积;(2)若要求步道长105米,则可设计出的水池的最大面积是多少?解析(1)由题意,水池弧长AB为θr,扇形AOB面积S=

θr2,则有400×

θr2+1000(2r+θr)≤24×104,即θr2+5(2r+θr)≤1200,

①θr+2r≥2

,∴θr2+10

≤1200.令t=

,t>0则

+10t≤1200⇒t≤40,所以当θr=2r=40,即θ=2,r=20时,S=

θr2最大为400.答:扇形圆心角θ为2,半径20米时,广场面积最大,为400平方米.(2)θr+2r=105⇒θ=

-2<2π,θr=105-2r代入①可得(105-2r)r+5×105≤1200⇒2r2-105r+675≥0⇒r≤

或r≥45,

②又S=

θr2=

(105-2r)r=-r2+

r=-

+

,当r≤

时,θ=

-2≥

-2=12>2π与θ<2π不符,所以S=

θr2在[45,+∞)上单调减,当r=45时,S取得最大值为337.5,此时θ=

.故可设计出的水池的最大面积是337.5平方米.【核心归纳】不等式是解决函数模型中最值问题的常用工具,根据目标函

数的结构选择解不等式或用基本不等式求解,利用基本不等式求解最值问题

时要注意对基本不等式成立条件的逐一验证.2-1

(2018南京高三年级学情调研)某工厂有100名工人接受了生产1000台

某产品的任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每个工人每

x人,他们加工完甲型装置所需时间

为t1小时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t2f(x)=t1+t2.(1)求f(x)的解析式,并写出其定义域;(2)当x等于多少时,f(x)取得最小值?解析(1)因为t1=

,t2=

=

,所以f(x)=t1+t2=

+

,定义域为{x|1≤x≤99,x∈N*}.(2)f(x)=1000

=10[x+(100-x)]

=10

.因为1≤x≤99,x∈N*,所以

>0,

>0,所以

+

≥2

=6,当且仅当

=

,即x=75时取等号.答:当x=75时,f(x)取得最小值.题型三分段函数模型解析(1)当x=60时,t(60)=1600,代入t(x)=-a(x+5)2+10050,解得a=2.∴M(x)=

即M(x)=

(2)当x∈[34,60),x∈N*时,W(x)=(-2x2-20x+10000)(x-34)-20000,则W'(x)=-6(x2-1

6x-1780).令W'(x)=0,解得x1=8-2

(舍去),x2=8+2

∈(50,51).当34<x<50时,W'(x)>0,W(x)单调递增;当51<x<60时,W'(x)<0,W(x)单调递减.∵x∈N*,M(50)=44000,M(51)=44226,∴M(x)在[34,60)上的最大值为44226.当60≤x≤70时,M(x)=100(-x2+110x-2584)-20000单调递减,此时M(x)的最大值为M(60)=21600.综上所述,当x=51时,M(x)取最大值,为44226.答:该打印店月利润的最大值为44226元,此时产品的销售价格为51元/件.【核心归纳】分段函数模型是函数应用题中常见的模型,由条件合理分段

是关键,一般情况下,在x的不同取值范围内函数有不同的解析式,求解分段函

数的最值问题时,可先求每一段函数的最值,再比较得最大值和最小值.3-1经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400km的水

果批发市场.据测算,J型卡车满载行驶时,每100km所消耗的燃油量u(单位:L)

与速度v(单位:km/h)的关系近似地满足u=

除燃油费外,工人工资、车损等其他费用平均每小时300元.已知燃油价格为每升(L)7.5元.(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用),将y表示成速度v的函数关

系式;(2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?解析(1)由题意,当0<v≤50时,y×

u+300×

=30

+300×

=

+690,当v>50时,y×

u+300×

=30

+300

=

+

+600,所以y=

(2)当0<v≤50时,y=

+690是单调减函数,故v=50时,