湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

2023年湖北省高二9月起点考试高二数学试卷命题学校：孝昌一中命题教师：乐剑子审题学校：汉川一中考试时间：2023年09月07日下午15:0017:00 试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）A. B.i C.0 D.13.已知，，则（）A. B. C. D.4.在四面体中，，点在上，且，为中点，则（）A. B. C. D.5.从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（）A. B. C. D.6.已知向量，是平面的两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知，，则（）A. B. C.3 D.8.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.平均数为3，中位数为2 B.中位数为3，众数为2C.平均数为2，方差为 D.中位数为3，方差为二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”.从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）图1 图2A.该平台女性主播占比的估计值为B.从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为C.按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名D.从所调查的青年人主播中，随机选取一位做为幸运主播，是女性的概率为10.已知不同直线，，不同平面，，，下列说法正确的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件“关于的方程无实根”，事件“”，事件“”，事件“”则（）A.与互斥 B.与对立C.与相互独立 D.与相互独立12.如图，棱长为6的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，若平面，则的最大值为C.当时，若，则点的轨迹长度为D.过、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，若，则______.14.在三棱锥中，，，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.15.甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为______.16.在梯形中，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的外接球的表面积为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°.（1）求的长；（2）求与夹角的余弦值.18.（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，满足（1）求角的大小；（2）若，且，，求的面积.19.（本小题满分12分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.20.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧面为矩形，且，为的中点，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面的夹角的正弦值.21.（本小题满分12分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办.本届亚运会共设40个竞赛大项.其中首次增设了电子竞技项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决寨，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军.双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？双败赛制流程图这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为、、、，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时同组，同级.（1）若，在淘汰赛赛制下，、获得冠军的概率分别为多少？（2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？22.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，在菱形中，，，平面平面，，分别是线段、的中点.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.2023年湖北省高二9月起点考试高二数学试卷解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每题给出的选项中，只有一项符合题目的要求）1.C8.对于A，当掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，所以A错误。对于B，当掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，中位数为3，众数为2，所以B错误，对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差当平均数为2，方差为2.4是一定没有出现点数6，所以C正确，对于D，当掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，中位数为3，平均数为3，方差，可以出现6，所以D错误，故选C二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）12以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，对于A选项，当时，，设平面的法向量为，，则，取，可得，所以，则，因为平面，故当时，平面，A对；对于B选项，当时，为中点分别取、中点、，连接、、、、，因为、分别为、的中点，所以，又因为且，所以四边形为平行四边形，则，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得，平面，因为，、平面，所以平面平面，当点为的边上一点（异于点）时，则平面，则平面，故点的轨迹为的边（除去点），因为，同理可得，结合图形可得，B正确；当时，、分别为、的中点，如图所示：此时点、、，，当点在平面内运动时，设点，其中，，则，因为，则，解得，设点的轨迹分别交棱、于点、，则、，当点在平面内运动时，设点，其中，，，则，设点的轨迹交棱于点，则，设点的轨迹交棱于点，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，且，，因此，点的轨迹的长度即为平行四边形的周长，C对；对于D选项，设截面交棱于点，连接、，题意可知，截面与平面重合，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四边形为平行四边形，易知，其中，所以，，所以，故与不可能垂直，故平行四边形不可能为矩形，故过、、三点的截面不可能是矩形，D错.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16.16.解：过点作，垂足为，如图1.∵为等腰梯形，，，∴，，∴，由余弦定理得，即，∵，∴，易知，当平面平面时，三棱锥体积最大，如图2此时，平面，易知，，记为外接球球心，半径为，∵平面，，∴到平面的距离，又的外接圆半径，∴，∴图1 图2四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：记，，，则，∴……2分（1）……4分∴……5分（2）∵，，∴，……7分∴……9分∴.……10分18.解：（1）在中，因为，由正弦定理可得，所以，3分∵、，则，所以，因此.……6分（2）∵，且，，∴，，……7分在中，由余弦定理有，即，即，∵，解得……10分所以.……12分19.解：（1）∵每组小矩形的面积之和为1，∴，∴.……2分（2）成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为，由，得，故第75百分位数为84；……6分（3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故……9分设成绩在中10人的分数分别为；成绩在中20人的分数分别为，则由题意可得，，∴，，∴……12分20.证明：（1）连接与交于点，连接∵为三棱柱，∴为平行四边形，点为的中点又∵为的中点，则又∵平面，平面，∴平面.……4分（2）∵，，，∴平面，∵平面，∴，∴∵，，，∴，即……6分以为坐标原点，、、分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，，，，，，∴，，，……8分设平面的法向量为，则，即令，，，∴……10分设直线与平面的夹角为，∴∴直线与平面的夹角的正弦值为.……12分21.解：（1）记，拿到冠军分别为事件，，淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此，……2分对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜，中的胜者，因此.……5分（2）记两种赛制下获得冠军的概率分别为，，则.……6分而双败赛制下，获得冠军有三种可能性：①直接连赢三局；②从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；③直接掉入败者组拿到冠军.∴，……8分∴，则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于……10分而若，则，若，则综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的.……12分22.证明：（1）连接，因为为等边三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，……2分由题设知四边形为菱形，∴，∵，分别为，中点，∴，∴，又，，平面