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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的部分图象如图所示,则()A. B. C. D.2.如图,已知平面,,、是直线上的两点,、是平面内的两点,且,,,,.是平面上的一动点,且直线,与平面所成角相等,则二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.3.设,则()A. B. C. D.4.已知,,,则的大小关系为()A. B. C. D.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中的最长棱长为()A. B. C. D.6.若,则,,,的大小关系为()A. B.C. D.7.设全集,集合,,则()A. B. C. D.8.若函数的图象经过点,则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A. B. C. D.9.已知数列an满足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.1910.已知函数,则()A. B. C. D.11.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A,若|OA|=|OF|,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.+112.已知,则下列关系正确的是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.正项等比数列|满足,且成等差数列,则取得最小值时的值为_____14.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,内切球半径为,则__________.15.如图是某几何体的三视图,俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体的体积为________.16.已知双曲线的左右焦点为,过作轴的垂线与相交于两点,与轴相交于.若,则双曲线的离心率为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四边形中,,,,沿对角线将翻折成,使得.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知椭圆:(),四点,,,中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点,求的正切的最大值.19.(12分)如图,在四棱锥中,,,,底面为正方形,、分别为、的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.21.(12分)2019年12月以来,湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测,发现多起病毒性肺炎病例,均诊断为病毒性肺炎/肺部感染,后被命名为新型冠状病毒肺炎(CoronaVirusDisease2019,COVID—19),简称“新冠肺炎”.下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图.为了预测在未釆取强力措施下,后期的累计确诊人数,建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型,根据1月15日至1月24日的数据(时间变量t的值依次1,2,…,10)建立模型和.(1)根据散点图判断,与哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2根据(1)的判断结果及附表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据,根据(2)的结果回答下列问题:时间1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累计确诊人数的真实数据19752744451559747111(ⅰ)当1月25日至1月27日这3天的误差(模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值)都小于0.1则认为模型可靠,请判断(2)的回归方程是否可靠?(ⅱ)2020年1月24日在人民政府的强力领导下,全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施,若采取措施5天后,真实数据明显低于预测数据,则认为防护措施有效,请判断预防措施是否有效?附:对于一组数据(,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.参考数据:其中,.5.53901938576403152515470010015022533850722.(10分)已知椭圆()经过点,离心率为,、、为椭圆上不同的三点,且满足,为坐标原点.(1)若直线、的斜率都存在,求证:为定值;(2)求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

先利用最高点纵坐标求出A,再根据求出周期,再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),将代入得φ)=1,∴φ,结合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.2、B【解析】

为所求的二面角的平面角,由得出,求出在内的轨迹,根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值【详解】,,,,同理为直线与平面所成的角,为直线与平面所成的角,又,在平面内,以为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系则,设,整理可得:在内的轨迹为为圆心,以为半径的上半圆平面平面,,为二面角的平面角,当与圆相切时,最大,取得最小值此时故选【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依据题目选择方法求出结果.3、C【解析】试题分析:,.故C正确.考点:复合函数求值.4、A【解析】

根据指数函数与对数函数的单调性,借助特殊值即可比较大小.【详解】因为,所以.因为,所以,因为,为增函数,所以所以,故选:A.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性,利用单调性比较大小,属于中档题.5、C【解析】

根据三视图,可得该几何体是一个三棱锥,并且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,,再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示:由三视图得:该几何体是一个三棱锥,且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,则,所以,,,,该几何体中的最长棱长为.故选:C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.6、D【解析】因为,所以,因为,,所以,.综上;故选D.7、D【解析】

求解不等式,得到集合A,B,利用交集、补集运算即得解【详解】由于故集合或故集合故选:D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.8、B【解析】

由点求得的值,化简解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得的对称轴,由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令,得令,得故选:B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.9、B【解析】

由题意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【详解】解:an即a1=an⩾6时,a1a1两式相除可得1+a则an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整数k(k⩾5)时,要使得a1则ak+1则k=17,故选:B.【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法,注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系,从而可简化与数列相关的方程,本题属于难题.10、A【解析】

根据分段函数解析式,先求得的值,再求得的值.【详解】依题意,.故选:A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.11、B【解析】

以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,可求出点,则,整理计算可得离心率.【详解】解:以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,取第一象限的解得,即,则,整理得,则(舍去),,.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,考查学生的计算能力,是中档题.12、A【解析】

首先判断和1的大小关系,再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.【详解】因为,,,所以,综上可得.故选:A【点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】

先由题意列出关于的方程,求得的通项公式,再表示出即可求解.【详解】解:设公比为,且,时,上式有最小值,故答案为:2.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算,中档题.14、【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,由此能求出,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,从而内切球半径为,由此能求出.【详解】四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,,,侧棱底面,且底面为正方形,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,内切球半径为,故.故答案为.【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题,补形法的运用,以及数学文化,考查了空间想象能力,是中档题.解决球与其他几何体的切、接问题,关键是能够确定球心位置,以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多,主要有两种:(1)补形法(构造法),通过补形为长方体(正方体),球心位置即为体对角线的中点;(2)外心垂线法,先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心,再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线,则球心一定在垂线上.15、20【解析】

由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合,利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.【详解】由三视图知,该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆柱组合而成,其体积为.故答案为:20.【点睛】本题考查三视图以及几何体体积,考查学生空间想象能力以及数学运算能力,是一道容易题.16、【解析】

由已知可得,结合双曲线的定义可知,结合,从而可求出离心率.【详解】解:,,又,则.,,,即解得,即.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系,分析出.关于圆锥曲线的问题,一般如果能结合几何性质,可大大减少计算量.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见证明;(2)【解析】

(1)取的中点,连.可证得,,于是可得平面,进而可得结论成立.(2)运用几何法或向量法求解可得所求角的正弦值.【详解】(1)证明:取的中点,连.∵,∴.又,∴.在中,,∴.又,∴平面,又平面,∴.(2)解法1:取的中点,连结,∵,∴,又,∴.又由题意得为等边三角形,∴,∵,∴平面.作,则有平面,∴就是直线与平面所成的角.设,则,在等边中,.又在中,,故.在中,由余弦定理得,∴,∴直线与平面所成角的正弦值为.解法2:由题意可得,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设,则在直角三角形中,可得,作于,则有平面几何知识可得,∴.又可得,.∴,.设平面的一个法向量为,由,得,令,则得.又,设直线与平面所成的角为,则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】利用向量法求解直线和平面所成角时,关键点是恰当建立空间直角坐标系,确定斜线的方向向量和平面的法向量.解题时通过平面的法向量和直线的方向向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线与平面所成的角.求解时注意向量的夹角与线面角间的关系.18、(1);(2)【解析】

(1)分析可得必在椭圆上,不在椭圆上,代入即得解;(2)设直线PA,PB的倾斜角分别为,斜率为,可得.则,,利用均值不等式,即得解.【详解】(1)因为关于轴对称,所以必在椭圆上,∴不在椭圆上∴,,即.(2)设椭圆上的点(),设直线PA,PB的倾斜角分别为,斜率为又∴.,,(不妨设).故当且仅当,即时等号成立【点睛】本题考查了直线和椭圆综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.19、(1)见解析;(2).【解析】

(1)利用中位线的性质得出,然后利用线面平行的判定定理可证明出平面;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)因为、分别为、的中点,所以.又因为平面,平面,所以平面;(2)以点为坐标原点,、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,,,,.设平面的法向量为,则,即,令,则,,所以.设直线与平面所成角为,所以.因此,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成的角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20、(1)见解析;(2)见解析【解析】

(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.【详解】(1)∵,分别是,的中点∴∵平面,平面∴平面.(2)∵为正三角形,且D是的中点∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平

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