考点06 函数的概念及其表示7种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)含解析

考点06函数的概念及其表示7种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)考点06函数的概念及其表示7种常见考法归类考点一函数的概念考点二同一函数的判断考点三求函数值考点四求函数的定义域（一）求具体函数的定义域（二）求抽象函数的定义域（三）逆用函数的定义域（四）实际问题中的定义域考点五求函数的解析式（一）待定系数法（二）配凑法（三）换元法（四）利用函数的奇偶性求解析式（五）利用函数的周期性求解析式（六）构造方程组法（七）赋值法考点六求函数的值域（一）求函数的值域(1)观察法(2)配方法(3)图象法(4)分离常数法(5)反解法(6)换元法(7)判别式法(8)单调性法(9)基本不等式法(10)导数法（二）已知函数值域求参数（三）定义域和值域的综合（四）函数值域新定义问题考点七分段函数及其应用（一）求分段函数的函数值（1）已知自变量的值求函数值（2）已知函数值求自变量的值（二）分段函数与不等式（三）分段函数图象及其应用（四）求分段函数的值域或最值（五）已知分段函数的值域(最值)求参数1、判断所给的对应关系是否为函数的方法(1)先观察两个数集A，B是否非空；(2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．注：①函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．②构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数需满足定义域和对应关系均相同2、根据图形判断对应关系是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．3、判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．4、教材中的几个重要函数定义图象绝对值函数y＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))“双勾”函数y＝ax＋eq\f(b,x)(ab＞0)取整函数y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数符号函数y＝sgnx＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0))5、求函数的定义域函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集.（1）求具体函数的定义域求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化）①分式：分母不能为零；②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）③零次幂：中底数；④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立)最后把求定义域转化成解不等式。（2）求抽象函数的定义域谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围同一个下括号内的范围是一样的①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。④运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。求抽象函数的定义域常用转移法.若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域.（3）逆用函数的定义域①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问题来解决．②不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．6、求函数的解析式的常用方法（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。换元法：已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f(eq\r(x))＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．利用函数的奇偶性求解析式：一般为已知x>0时，f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)构造方程组法：若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。①互为倒数：；②互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。7、基本初等函数的值域(1)的值域是.(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．(3)的值域是.(4)且的值域是.(5)且的值域是.8、求函数的值域（1）观察法(有界函数）——“拼图”第一步，观察函数中的特殊函数；第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．（2）配方法以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题第一步，将二次函数配方成；第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。）图象法通过数形结合方式，将图象投影到y轴上，看值域时，记得由下往上看。（4）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有：等解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。第一步，观察函数类型，型如；第二步，对函数变形成形式；第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．（5）换元法第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．（6）判别式法第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域．（7）单调性法第一步，求出函数的单调性；第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．（8）基本不等式法第一步观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”（9）导数法先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.9、分段函数的应用（1）一般分段函数求值有以下四种：①已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用.求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；②已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；③分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．④分段函数图象及其应用，根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实.注意：①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．②“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．求分段函数的值域或最值已知分段函数解析式求值域或最值，也属于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然后再求并集，即得分段函数的值域），或者求出分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进行比较，即得分段函数的最值）.此外，借助于数形结合思想（即画出分段函数的图像加以分析），也是解决此类问题的常用方法.考点一函数的概念1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.2．（2023·高三课时练习）下列曲线能作为函数图像的是______．（写出所有满足要求的图像序号）3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（

）A． B．C． D．考点二同一函数的判断4．（2023·全国·高三专题练习）与函数有相同图象的一个函数是（

）A． B．C．，其中 D．，其中5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与6．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（

）A． B．C． D．7．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四组函数：（1），；（2），；（3），；（4），．其中相同的函数有________（请在横线内填序号）．8．（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）．A．，B．，C．，D．，考点三求函数值9．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数，则（

）A． B． C．2 D．410．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．11．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则____________．12．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知函数，则（

）A． B． C． D．13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________14．（2023·辽宁·校联考一模）若函数满足，则（

）A． B． C． D．115．（2023·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．3考点四求函数的定义域（一）求具体函数的定义域16．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）设全集，已知集合，，则（

）A． B． C． D．17．（2023春·北京·高三校考阶段练习）函数的定义域为__________.18．（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是_____.19．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．20．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的定义域为__________．21．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）函数的定义域为______．22．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．23．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．（二）求抽象函数的定义域24．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的定义域为（

）A． B． C． D．25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为_______.26．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（

）A． B．C． D．27．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为______．28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（

）A． B． C． D．29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（

）A． B． C． D．30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B．C．D．31．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的定义域是（

）A． B．C． D．（三）逆用函数的定义域32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若函数定义域为，求的取值范围；(2)若函数值域为，求的取值范围.33．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.34．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．36．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．38．（2023·高三课时练习）若函数f(x)=的定义域为R，则的取值范围为_______.39．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______．40．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为________（四）实际问题中的定义域41．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为()A． B． C． D．42．（2022·高一课时练习）周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（

）A． B． C． D．43．（2022·全国·高一专题练习）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°．（无水状态不考虑）(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．44．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，且，设，绿地面积为．(1)写出关于x的函数解析式，并求出的定义域；(2)当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．考点五求函数的解析式（一）待定系数法45．（2023·全国·高三专题练习）已知一次函数满足，则解折式为（

）A． B．C． D．46．（2023·全国·高三专题练习）一次函数满足，且，则的解析式为（

）A． B． C． D．47．（2023·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________48．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且.(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的值域．49．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.（二）配凑法50．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）．A． B． C． D．51．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.52．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．（三）换元法53．（2023·全国·高三专题练习）已知求的解析式54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______55．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若函数，则（

）A． B．C． D．56．（2023·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．57．（2023·全国·高三专题练习）若，则等于（

）A． B． C． D．58．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（

）A．3 B．1 C．0 D．（四）利用函数的奇偶性求解析式60．【多选】（2023·全国·高三专题练习）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（

）A． B．C． D．61．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数与偶函数满足，则（

）A． B． C． D．（五）利用函数的周期性求解析式62．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对任意实数都满足.当时，，则，函数的解析式为________.63．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式．64．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．（六）构造方程组法65．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，则（

）A． B． C． D．66．（2023·全国·高三专题练习）已知满足，则等于（

）A． B．C． D．67．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则___________.68．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.69．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，且，则的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．370．（2023·全国·高三专题练习）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且．则___________，___________.（七）赋值法71．（2022·全国·高三专题练习）对任意实数，，都有，求函数的解析式．72．（2022·全国·高三专题练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．73．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数对一切实数都有成立，且.（1）求的值，及的解析式；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.考点六求函数的值域（一）求函数的值域（1）观察法74．（2023秋·高三课时练习）函数，的值域为________.75．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）若集合，则（

）A． B． C． D．76．（2023·高三单元测试）若集合，，则______．77．（2023秋·山东德州·高三统考期末）函数的值域为（

）A． B． C． D．（2）配方法78．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________79．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的值域为______________80．（2023秋·河南平顶山·高三校联考期中）已知函数，则的值域为（

）A． B． C． D．81．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.82．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求函数的值域；(2)证明：；83．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_________84．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______.（3）图象法85．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____86．（2023·陕西铜川·校考一模）若，则函数的值域是__________．87．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_______________.（4）分离常数法88．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为__________89．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为______．90．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（

）A． B． C． D．91．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是_________（5）反解法92．（2023·全国·高三专题练习）93．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）函数的值域为（

）A． B．C． D．（6）换元法94．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）函数的值域为______.95．（2023·全国·高三专题练习）的值域为__________96．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域是（

）A． B． C． D．97．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的，则其值域为_____________.（7）判别式法98．（2023秋·江苏南通·高三启东中学校考开学考试）将函数的解析式变形为yx2－(y＋2)x＋y＝0，试求出函数y的最大值、最小值．99．（2023·江苏·高三专题练习）求函数y＝的值域．（8）单调性法100．（2022秋·高三单元测试）当时，则函数的值域为（

）A． B．C． D．101．（2023秋·四川内江·高三统考期末）若函数的定义域为，则该函数的值域是____________.102．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数的最大值为______.103．（2022秋·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数和函数，对任意，总存在使成立，则实数a的取值范围是________．（9）基本不等式法104．【多选】（2022秋·四川广安·高三统考期末）下列函数中，最小值为2的函数是（

）A． B．C． D．105．（2023·高三课时练习）已知函数，当时，值域为______；当时，值域为______.106．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的值域是______.107．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最值.(1)的最大值.(2)的最大值.（10）导数法108．（2022秋·陕西·高三校联考阶段练习）函数的值域是（

）A． B．C． D．109．（2022·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．（二）已知函数值域求参数110．（2023秋·辽宁辽阳·高三统考期末）已知函数的值域是，则_________．111．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若函数定义域为，求的取值范围；(2)若函数值域为，求的取值范围.112．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________．113．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____．114．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．（三）定义域和值域的综合115．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）下列函数中，定义域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．116．【多选】（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）下列函数中，与的定义域和值域都相同的是（

）A． B．C． D．117．（2023春·北京海淀·高三校考开学考试）设的定义域是，则函数的值域中含有整数的个数为（

）A．17 B．18 C．19 D．20118．（2022秋·辽宁铁岭·高三昌图县第一高级中学校考期中）函数的定义域为，则函数的值域为______．119．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域和值域均为，则的值为__________.（四）函数值域新定义问题120．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）若函数和的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”.已知函数，写出一个与是“同象函数”的函数的解析式：_________.121．（2023秋·广西钦州·高三统考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．122．【多选】（2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习）若函数的定义域与值域的交集为，则称为“交汇函数”，下列函数是交汇函数的是（

）A．， B．C． D．考点七分段函数及其应用（一）求分段函数的函数值（1）已知自变量的值求函数值123．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数，则______.124．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（

）A．-6 B．0 C．4 D．6125．（2023·福建漳州·统考三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则_________.（2）已知函数值求自变量的值126．（2023·河南·统考模拟预测）已知函数且，则（

）A．-16 B．16 C．26 D．27127．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数，若，则的值是（

）A． B． C． D．128．（2023·全国·高三专题练习）已知函数,若，则_____，函数的值域为____．129．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若，且，则（

）A． B．0 C．1 D．2130．（2023·青海西宁·统考二模）已知，若，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．不存在131．（2023·全国·高三专题练习）已知函数则______；若，则______.132．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考二模）设，若，则______.133．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3（二）分段函数与不等式134．（2023·全国·高三专题练习）设函数则满足的x的取值范围是______．135．（2023·陕西·统考二模）已知函数，则的解集为________．136．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．137．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是___________.138．（2023·全国·高三专题练习）设，函数．若，则实数的取值范围是_________．139．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．（三）分段函数图象及其应用140．（2023·河北·高三学业考试）函数的图象如图所示，则______.141．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______．142．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数①函数的零点个数为__________．②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．（四）求分段函数的值域或最值143．（2023·高三课时练习）若函数,则函数的值域为______．144．（2023·河北·高三统考学业考试）已知函数，则的最小值是（

）A． B．0 C．1 D．2145．（2022秋·重庆·高三校联考期末）已知函数.若，则的值域是______；若恰有2个零点，则实数的取值范围是______.（五）已知分段函数的值域（最值）求参数146．（2023春·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．147．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．148．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．149．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．150．（2023·湖北十堰·统考二模）已知函数当时，取得最小值，则m的取值范围为（

）．A． B． C． D．151．（2023春·北京海淀·高三人大附中校考开学考试）已知函数①若的最大值为，则a的一个取值为_________．②记函数的最大值为，则的值域为_________．152．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．考点06函数的概念及其表示7种常见考法归类考点一函数的概念考点二同一函数的判断考点三求函数值考点四求函数的定义域（一）求具体函数的定义域（二）求抽象函数的定义域（三）逆用函数的定义域（四）实际问题中的定义域考点五求函数的解析式（一）待定系数法（二）配凑法（三）换元法（四）利用函数的奇偶性求解析式（五）利用函数的周期性求解析式（六）构造方程组法（七）赋值法考点六求函数的值域（一）求函数的值域(1)观察法(2)配方法(3)图象法(4)分离常数法(5)反解法(6)换元法(7)判别式法(8)单调性法(9)基本不等式法(10)导数法（二）已知函数值域求参数（三）定义域和值域的综合（四）函数值域新定义问题考点七分段函数及其应用（一）求分段函数的函数值（1）已知自变量的值求函数值（2）已知函数值求自变量的值（二）分段函数与不等式（三）分段函数图象及其应用（四）求分段函数的值域或最值（五）已知分段函数的值域(最值)求参数1、判断所给的对应关系是否为函数的方法(1)先观察两个数集A，B是否非空；(2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．注：①函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．②构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数需满足定义域和对应关系均相同2、根据图形判断对应关系是否为函数的步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．3、判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．4、教材中的几个重要函数定义图象绝对值函数y＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))“双勾”函数y＝ax＋eq\f(b,x)(ab＞0)取整函数y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数符号函数y＝sgnx＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0))5、求函数的定义域函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集.（1）求具体函数的定义域求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化）①分式：分母不能为零；②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）③零次幂：中底数；④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立)最后把求定义域转化成解不等式。（2）求抽象函数的定义域谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围同一个下括号内的范围是一样的①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。④运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。求抽象函数的定义域常用转移法.若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域.（3）逆用函数的定义域①已知函数的定义域，求参数范围问题，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法，常转化为恒成立问题来解决．②不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当时，；当时，；不等式的解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，．6、求函数的解析式的常用方法（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。换元法：已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。注：在求解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域．如已知f(eq\r(x))＝x＋1，求函数f(x)的解析式，通过换元的方法可得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．利用函数的奇偶性求解析式：一般为已知x>0时，f(x)的解析式，求x<0时，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根据f（x）=f(-x)或f(x)=-f(-x)求得f(x)构造方程组法：若出现与的关系式、与的关系式或一个奇函数与一个偶函数的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。①互为倒数：；②互为相反数：或(为奇函数，为偶函数)。赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。7、基本初等函数的值域(1)的值域是.(2)的值域是：当时，值域为；当时，值域为．(3)的值域是.(4)且的值域是.(5)且的值域是.8、求函数的值域（1）观察法(有界函数）——“拼图”第一步，观察函数中的特殊函数；第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．（2）配方法以二次函数的相关性质、图像为依托，利用数形结合思想求解某函数在给定区间的最值和值域问题。这种方法一般适用于形如的函数的值域和最值问题第一步，将二次函数配方成；第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．（特别注意自变量的范围）(注：配方法配的常数是一次项系数的一半的平方，对二次函数型值域问题，我们通常可以采用配方并结合图像的方法求解。）图象法通过数形结合方式，将图象投影到y轴上，看值域时，记得由下往上看。（4）分离常数法（即是求值域的方法也是化简解析式的方法）分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有：等解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数。第一步，观察函数类型，型如；第二步，对函数变形成形式；第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．（5）换元法第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为()，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．（6）判别式法第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域．（7）单调性法第一步，求出函数的单调性；第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．（8）基本不等式法第一步观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.注意根据基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”（9）导数法先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.9、分段函数的应用（1）一般分段函数求值有以下四种：①已知自变量的值求函数值，此种题型只需确定自变量在相应的定义域选择合适的解析式代值进行计算即可，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用.求形如的函数时，求解时遵循由内到外的顺序进行；②已知函数值求自变量的值，此种题型只需令相应的解析式等于函数值，求出自变量的值之后再确定是否在相应的定义域内，若在，则保留；否则就舍去；③分段函数与不等式的综合，解简单的分段函数不等式只需将对应的不等式解集与定义域取交集，最后再将得到的答案取并集即可.解含参的分段函数不等式要注意以下两个问题：（1）问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．④分段函数图象及其应用，根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象，然后应用，作图时要注意每段图象端点的虚实.注意：①因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．②“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．求分段函数的值域或最值已知分段函数解析式求值域或最值，也属于常考基本题型，解决这类问题的关键是求出分段函数中每一段对应函数值的取值范围（然后再求并集，即得分段函数的值域），或者求出分段函数中每一段对应函数值的最值（然后进行比较，即得分段函数的最值）.此外，借助于数形结合思想（即画出分段函数的图像加以分析），也是解决此类问题的常用方法.考点一函数的概念1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号)①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x；④f：x→y＝.【答案】③【分析】根据函数的定义，即可判断.【详解】①②④满足函数的定义，所以是函数，对于③，因为当x＝4时，，所以③不是函数．故答案为：③2．（2023·高三课时练习）下列曲线能作为函数图像的是______．（写出所有满足要求的图像序号）【答案】①【分析】根据函数的概念可得答案.【详解】根据函数的概念，垂直于轴的直线与函数的图象最多一个公共点，在②③中，直线与图象有两个公共点，不符合题意，而①符合题意，所以满足的只有①.故答案为：①3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】A.其值域为，故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为，故不符合题意.【详解】解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；D是函数图象，值域为，故不符合题意.故选：B考点二同一函数的判断4．（2023·全国·高三专题练习）与函数有相同图象的一个函数是（

）A． B．C．，其中 D．，其中【答案】D【分析】选项A图象为折线判断错误；选项B图象上无原点判断错误；选项图象为无端点射线判断错误；选项D可化为与函数有相同图象判断正确.【详解】选项A：，图象为折线.判断错误；选项B：，图象上无原点.判断错误；选项C：，图象为无端点射线.判断错误；选项D：，与函数有相同图象.判断正确.故选：D5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】CD【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.故选：CD6．（2023·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.【详解】对于，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项正确；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项错误，故选：.7．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四组函数：（1），；（2），；（3），；（4），．其中相同的函数有________（请在横线内填序号）．【答案】（3）（4）【分析】由函数定义域可判断（1）；由函数对应法则可判断（2）；由反函数的概念可判断（3）；由对数函数的运算法则可判断（4）.【详解】（1）中，的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，所以不是同一函数；（2）中，，，两个函数对应法则不相同，所以不是同一函数；（3）中，，，易知两函数是相同函数；（4）中，，易知两函数是相同函数.故答案为：（3）（4）8．（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）．A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】对四个选项从定义域和对应关系两个方面一一验证，即可得到正确答案.【详解】对于A：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故A错误；对于B：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故B错误；对于C：的定义域为，的定义域为，所以定义域相同.又对应关系也相同，所以为同一个函数.故C正确；对于D：的定义域为，的定义域为.因为定义域不同，所以和不是同一个函数.故D错误；故选：C考点三求函数值9．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】整体代换，令求得后代入已知式可求值．【详解】令，得，则故选：B．10．（2023·全国·模拟预测）已知，则______．【答案】/2.5【分析】根据函数解析式，令，得，代入函数解析式计算即可求解.【详解】由题意得，，令，由，得，∴．故答案为：.11．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数，则____________．【答案】－2【分析】通过计算的值可得答案.【详解】，．故答案为：－2.12．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算得出，进而可求得所求代数式的值.【详解】，所以，.故选：B.13．（2023·全国·高三专题练习）已知，则_________【答案】【分析】根据函数解析式求出，进而可得，由此可得结果.【详解】解：因为，所以，所以，所以故答案为：14．（2023·辽宁·校联考一模）若函数满足，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】将和分别代入，联立即可求解.【详解】代入可得①，代入可得②联立①②解得，故选：B15．（2023·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．3【答案】B【分析】令，配凑可得，再根据求解即可【详解】令（或），，，，.故选；B考点四求函数的定义域（一）求具体函数的定义域16．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）设全集，已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求.【详解】因为或，，.故选：C.17．（2023春·北京·高三校考阶段练习）函数的定义域为__________.【答案】【分析】利用被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解.【详解】由已知得，解得且，即函数的定义域为.故答案为：.18．（2023·全国·高三对口高考）函数的定义域是_____.【答案】【解析】根据函数解析式，得到，由指数函数的性质解不等式，即可得出结果.【详解】要使函数有意义，必须，即，由指数函数的单调性可得，解得.所以函数的定义域为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，考查由指数函数单调性解不等式，属于基础题型.19．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意列出不等式组，通过解不等式组即可求出答案.【详解】由，得，且，所以函数的定义域是.故选：A.20．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数的定义域为__________．【答案】【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：，解得且.故答案为：.21．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）函数的定义域为______．【答案】【分析】直接根据题意列出不等式即可.【详解】由题意得，则定义域为，故答案为：.22．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数结构，构建不等式组即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则，解得，∴函数的定义域是，故选：D23．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别讨论分子和分母的定义域，即可得到函数的定义域.【详解】由题意，在中，，解得：或，∴函数的定义域为，故选：B.（二）求抽象函数的定义域24．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得的定义域，然后将看作一个整体代入计算即可.【详解】由题可知：且所以函数定义域为且令且，所以且所以，所以的定义域为故选：C25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，则函数的定义域为_______.【答案】【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法求解作答.【详解】因的定义域为，则当时，，即的定义域为，于是中有，解得，所以函数的定义域为.故答案为：26．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由的定义域为得，进而，求得即可.【详解】∵的定义域为，∴，∴，在中，解得，所以函数的定义域为．故选：B27．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为______．【答案】【分析】求出的范围，然后由都在此范围内得定义域．【详解】∵的定义域为，∴，∴解得∴，故函数的定义域为．故答案为：．28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的定义域，结合要求的函数形式，列出满足条件的定义域关系，求解即可.【详解】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足，解得.故选：B.29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，对于函数，则有，解得或.因此，函数的定义域为.故选：A.30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B．C．D．【答案】C【分析】先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.【详解】因为函数的定义域为，故，所以的定义域为，故函数中的需满足：，故，故函数的定义域为.故选：C31．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域.【详解】对于函数，，故对于函数，有，解得且，因此，函数的定义域为，故选：C.（三）逆用函数的定义域32．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)若函数定义域为，求的取值范围；(2)若函数值域为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可；（2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可.(1)函数定义域为，对任意都成立，当时，显然不恒成立，不合题意；当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，综上，实数的取值范围为(2)函数值域为，能取遍所有正数，1：，解得，2：，符合题意实数的取值范围为33．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.【答案】【分析】由题意可得恒成立，分和两种情况分别考虑，解不等式即可得到所求范围．【详解】因为函数的定义域为R，所以的解为R，即函数的图象与x轴没有交点，（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.综上：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为，以及二次不等式恒成立问题解法，属于中档题．34．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，所以不等式在上恒成立.当时，当时，，所以不等式在上恒成立显然不成立，当时，则满足，解得，综上，实数的取值范围是.故选：B.35．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由在上恒成立，分和结合二次函数性质求解即可..【详解】由题意得：在上恒成立.即时，恒成立，符合题意，时，只需，解得：，综上：，故选：C.36．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．【答案】【分析】根据题意可知，的解集为，由即可求出．【详解】依题可知，的解集为，所以，解得．故答案为：．37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是____________．【答案】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a的取值范围．【详解】解：函数f（x）＝lg（ax）的定义域为R，∴ax＞0恒成立，∴ax恒成立，设y，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．38．（2023·高三课时练习）若函数f(x)=的定义域为R，则的取值范围为_______.【答案】【详解】恒成立，恒成立，39．（2023·河北·高三学业考试）函数的定义域为，则实数的值为______．【答案】【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案.【详解】的定义域满足：，解集为，故且，解得.故答案为：40．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为________【答案】3【解析】根据具体函数的定义域建立不等式组，由已知可得答案.【详解】由题意，函数有意义，满足，即，又由函数的定义域为，，解得．故答案为：3.【点睛】本题考查由具体函数的定义域求参数的值，属于基础题.（四）实际问题中的定义域41．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为()A． B． C． D．【答案】A【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域.【详解】由题设有，由得，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.42．（2022·高一课时练习）周长为定值a的矩形，它的面积S是这个矩形的一边长x的函数，则这个函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设矩形的一边长为x，该边的邻边长为，根据矩形的边长大于零即可求解.【详解】依题意知，矩形的一边长为x，则该边的邻边长为，由得，故这个函数的定义城是.故选：D【点睛】本题考查了函数的定义域，函数的定义域使表达式有意义或满足实际生活中的自变量的取值范围，属于基础题.43．（2022·全国·高一专题练习）如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°．（无水状态不考虑）(1)试将横断面中水的面积（）表示成水深（m）的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．【答案】(1)()(2)定义域为，值域为(3)作图见解析【分析】(1)根据给定条件利用梯形的面积公式列式化简即得.(2)由水深h的范围即可求出的值域.(3)结合二次函数图象特征即可作出函数的图象.【详解】（1）依题意，水深(m)的灌溉渠的横断面是等腰梯形，其下底为2m，上底为(2+2h)m，高hm，于是得水的面积为(m2)，所以，()．（2）由(1)知，函数的定义域是，显然在上A(h)随h增大而增大，，，所以函数的定义域为，值域为．（3）由(2)知，是二次函数，其图象对称轴，顶点为，而，于是得函数()的图象是抛物线的一部分，如图所示.44．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，且，设，绿地面积为．(1)写出关于x的函数解析式，并求出的定义域；(2)当为何值时，绿地面积最大？并求出最大值．【答案】(1)，定义域为；(2)答案见解析.【分析】（1）求得，，，，利用化简求解即可；（2）根据二次函数的性质分类讨论，结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为，，所以，，，，所以，由题意，解得，所以的定义域为；（2）因为的对称轴为，若，则在单调递增，在上单调递减，所以；若，则在单调递增，所以；综上，当时，，；当时，，.考点五求函数的解析式（一）待定系数法45．（2023·全国·高三专题练习）已知一次函数满足，则解折式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】假设出一次函数的解析式，根据题意列出方程，待定系数法求解即可.【详解】设一次函数，则，即，所以解得，所以，故选:C.46．（2023·全国·高三专题练习）一次函数满足，且，则的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，设.根据，且，利用待定系数法求解即可．【详解】由题意，设.∵，即，可得：.又∵即∴，∴的解析式为．故选：A．47．（2023·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________【答案】或.【分析】设，求出的表达式，根据已知条件列方程，由对应系数相等列方程组即可求得和的值即可求解.【详解】因为为一次函数，所以设，所以，因为，所以恒成立，所以，解得：或，所以或，故答案为：或.48．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）已知二次函数，，且.(1)求函数的解析式；(2)求函数在区间上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.【详解】（1）解：因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，即．（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．因为在递减，在递增，所以，因为，，所以，所以在上的值域为．49．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为______.【答案】【分析】由已知条件可得，再根据恒相等可得满足的方程组，求出的值后可得的解析式.【详解】根据题意可知，又恒相等，化简得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式为.故答案为：.【点睛】本题考查函数解析式的求法，一般地如果知晓函数的类型，则可以用待定系数法来解析式，本题属于基础题.（二）配凑法50．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用配凑法直接得出函数的解析式.【详解】因为，所以．故选：A51．（2023·全国·高三专题练习）已知，则__________.【答案】，【分析】由配方法可得，利用换元法可求出答案.【详解】又当且仅当，即时等号成立.设，则，所以所以故答案为：，52．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用配凑法求出的解析式，则可求出的解析式，从而可求出函数的最小值【详解】因为，所以.从而，当时，取得最小值，且最小值为.故选：D（三）换元法53．（2023·全国·高三专题练习）已知求的解析式【答案】【分析】令，运用换元法进行求解即可.【详解】令，则，代入，得，即54．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______【答案】【分析】令，则，且，将已知条件转化为关于的表达式，再将换成即可求解.【详解】令，则，且，所以，所以，故答案为：.55．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若函数，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.【详解】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；（且），故D正确．故选：AD．56．（2023·全国·高三专题练习）若函数，且，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案.【详解】因为，所以令，则，所以，所以，因为，所以，故选：B.57．（2023·全国·高三专题练习）若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角余弦公式可得，令得求，最后应用二倍角余弦公式化简目标函数式.【详解】由，令，则，所以，对于，即.故选：A58．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.【答案】【分析】根据题意求解出函数的解析式，进而求解出函数值.【详解】根据题意，对，有又是定义在R上的单调增函数R上存在常数a使得，，解得故答案为：.59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（

）A．3 B．1 C．0 D．【答案】A【分析】设，则，即可由得，解出，从而得到，进而求出的值．【详解】根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，则为常数，设，则，则有，解可得，则，故；故选：A.（四）利用函数的奇偶性求解析式60．【多选】（2023·全国·高三专题练习）函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可.【详解】由得：，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；由得：，；对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于CD，，C正确，D错误.故选：AC.61．（2023·全国·高三专题练习）已知奇函数与偶函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解.【详解】由可得，又分别为奇，偶函数，所以，由解得，故选：C（五）利用函数的周期性求解析式62．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对任意实数都满足.当时，，则，函数的解析式为________.【答案】【分析】根据任意实数都满足,由函数的性质可得和,即函数的周期,当则,代入,即可求得上的表达式,当则,将代入,即可求得上的表达式.【详解】即可改写为:设得:

可得:则函数的周期,即可改写为:设得:由于时，，任取则，所以.任取，则，而

(可将中变为即可得到此式)

所以函数解析式为.故答案为.【点睛】本题考查周期性,先利用周期性将自变量变换到较小的数,再根据题目函数性质,将自变量变换到已知函数表达式的定义域中进行求解.63．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式．【答案】，.【分析】首先由奇偶性求出函数在上的解析式，再根据周期性可得当时，即可得解.【详解】当，即，所以，又为偶函数，所以，所以，又是以为周期的周期函数，于是当，即时，有，所以，，，.64．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．(1)证明：；(2)求的解析式；(3)求在[4，9]上的解析式．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果；（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；（3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.【详解】（1）证明：∵f(x)是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，∴（2）当时，由题意可设，由，得，∴，∴.（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，故当时，设，则，解得.故当时，.又在上是奇函数，故当时，.综上，则时，.因为时，.所以当时，，所以；当时，，所以，综上所述，.（六）构造方程组法65．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足