第二章 章末复习-教案课件-人教版高中数学必修第一册

章末复习

知识系统整合

不等式的概念

等

不

系

关

实数大小

不

与

的比较

太

等

不等式的性质-对称性、传递性、可加性、可乘性

不等式卜~U会要不等式为实数).当且仅当时取等号

一

基

元基本不等式:若，“，都是正实数.则不等式链:17L近而£粤£(«>0,/»0).

本

二而w竽，当且仅当“4时.等号成立

不

次

等

函当且仅当〃斗时取等号

式

数

'证明方法:代数法、几何法

方

程

和—最值定理一和定积最大，积定和最小.具备条件:一正、二定、三相等

不

等

式

一

一元二次不

元

二等式的解法

次

不

等

式一元二次不等式的实际应用

规律方法收藏

1.比较数(式)的大小

依据：a—b>OCa>b；a—b<O^a<h；a—b=O0a=b.

适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式.

步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论.

变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化.

2.利用基本不等式证明不等式

(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“=”必须保证同时

成立.

(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是

从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，

最后推得所证结论，其特征是“由因导果”.

(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式.

3.利用基本不等式求最值

(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相

等.

即：①x,y都是正数.

②积孙(或和龙+y)为常数(有时需通过“配凑、分拆"凑出定值).

③x与y必须能够相等(等号能够取到).

(2)构造定值条件的常用技巧

①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式.

4.解一元二次不等式的步骤

当<z>0时，解形如加+法+(?>0(，0)或加+法+。<060)的一元二次不

等式的一般步骤如下：

⑴确定对应方程ax2+bx+c=O的解；

(2)画出对应函数区+c的图象的简图；

(3)由图象写出不等式的解集.

特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为

严格不等关系及/=0时的特殊情况.

(2)当«<0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判

定(此时图象开口向下)；②两边同乘以一1,把a转变为一。再进行求解.

5.一元二次不等式的实际应用

不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围

问题、最值问题等.解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等

式模型.解题的一般步骤是：

(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题.

(2)简化假设：精选问题中的关键变量.

(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式.

(4)求解：运用数学知识解相应不等式.

(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然

后给出问题的答案.

B学科思想培优

一、常数代换法

14

［典例1］已知正数-y满足x+y=l,则：+=的最小值为()

人1-I-y

149

A.5C，2D.2

解析因为x+y=1,所以x+(l+y)=2,则2(+'j^j=[x+(l+y)](+*^|

与手+52保^149

+5=9,所以嚏+中》］，当且仅当

4x1+y%=.，

一3149

it+।>》9即〈,时，等号成立，因此：+三-的最小值为W故选c.

1X1+y2

x+y=1,1y=Q

答案c

二、消元法

［典例2］设X,y,Z为正实数，满足L2y+3z=0,则三的最小值为

…./曰x+3z..y21/^x.9z\

斛析解法一：由x—2y+3z=0,传尸2，故震=(X~+~3~Z-)2=玄6+1+可|

/(6+2

9

当且仅当尤=y=3z时取等号，即£的最小值为3.

XJz

解法二：由x—2y+3z=0,得犬=2y—3z,-=2——>0.

yy

y2y233

二=7^~~、=7.、22「［（77*、-］=3.当且仅当x-y-'iz时取等

xzQi）zQ苫层版争利2

号，即1的最小值为3.

答案3

三、配凑法

1.从和或积为定值的角度入手配凑

某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中,

配凑出这些定值，可使问题巧妙获解.常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、

加法结合律等常规运算和技巧.

［典例3］设x>0,）>0,f+，=l,求4/1十1的最大值.

解Vx>0,y>0,*与］的和为定值，

oij+y2712d11

当且仅当/=宇，即》=半，y=乎时取等号，即即子的最大值为乎•

［典例4］已知x,y,z为正数，且满足xyz(x+y+z)=l,求(x+y)(y+z)的最

小值.

2

解由条件得x+y+z=~x~yzl,则(x+y)(y+z)=_ry+xz+y+yz=y(x+y+z)+

xz=yr~+xz=^;+xz^2,当且仅当L=xz,即xz=l时取等号，故(x+y)(y+z)

xyzAZXZ

的最小值为2.

［典例5］设。1，42,(23，…，的均为正实数，求证：M+MH----华泊1

a2a3Olia\

+。2+。3+…+

证明为了约去处中的分母，可考虑配上一项以+i,于是有M+a2»2m,y

ak+i«2«3

晶-ia2

+a322a2,…，+。”22。"一i,'+。122斯，当且仅当⑶=久=­=。”时取等

ana\

号.以上不等式相加，化简，可得原不等式成立.

2.从取等号的条件入手配凑

在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值

来进行配凑.

［典例6］设a,b,c>0,a+Z?+c=1,求-3a+1+y/3b+1+J3c+1的最大

值.

anr-l----；-2+3fl+13a+3I~I；—13Z?+3r-I-；—

解\j2-y/3a-\-1~~,啦••\/3b+lW-~,y］2-yj3c+1

3c~|-3

、2.

以上三式相加，并利用a+Z?+c=1,得yfi(-\l3a+1+#38+1+,3c+1)W6,

故、3a+1+、36+1+*\/3c+1的最大值为36.

四、判别式法在“三个二次”问题中的应用

一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三

个二次”问题.根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三

个二次”问题中的重要性.

1.求变量的取值范围

［典例7］不等式(加2—2m—3)/—(〃?-3)x—1<0对任意xWR恒成立，求实数

机的取值范围.

解(/一Z"?一?)%2—^?—3)%—1<0对任意x@R恒成立.

①若加2—2加一3=0,则加=—1或用=3.

当机=一1时，不符合题意；当机=3时，符合题意.

②若源一2m一3W0,设y=(m2—2m—3)x1—(m—3)x—1<0对任意x£R恒成

立.

则评一2m—3<0,/=〃一4。。=5加2—14m—3<0,

解得一!<用<3.

故实数m的取值范围是一上机<3.

2.求最值

［典例8］已知正实数a,b满足a+2力+必=30,试求实数a,。为何值时，

ab取得最大值.

解构造关于a的二次方程，应用“判别式法”.

设ab=y,①

由已知得a+2b+y=30.②

由①②消去乩整理得/+。一30)a+2y=0,③

对于③，由-30)2-4X2y»0,即y2—68y+90020,解得yW18或y250,

又>=出?<30,故舍去y250,得yW18.把y=18代入③(注意此时/=0),得/

—12«+36=0,即a=6,从而8=3.故当a=6,/?=3时，"取得最大值18.

3.证明不等式

［典例9］