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文档简介

人教版初中数学八年级下册

18.2.2矩形的判定教学设计

一、教学目标:

1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程,理解并掌握矩形的判定定理.

2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.

二、教学重、难点:

重点:矩形判定定理的运用.

难点:矩形判定方法的理解及应用.

三、教学过程:

复习回顾

忆一忆

1.矩形的定义:

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.矩形的性质:

矩形的四个角都是直角;

矩形的对角线相等.

知识精讲

想一想

工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行:

AB

CD

E-F

GH③U④口

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①,使AB=CD,EF=GH;

(2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是根据的数学道理是

(3)将直角尺靠窗框的一个角,如图③,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝

隙时,如图④,说明窗框合格,这时窗框是_____,根据的数学道理是.

工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长是否分别相等,常常还要测量

它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗?

思考:我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?

猜想:对角线相等的平行四边形是矩形.

已知:四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD.

求证:四边形ABCD是矩形.

证明:四形边ABCD是平行四边形

AB=DC,AB〃DC

又AC=BD,BC=CB

AABC^ADCB(SSS)

ZABC=ZDCB

AB〃DC

ZABC+ZDCB=180°

,ZABC=90°

...四边形ABCD是矩形

矩形的判定定理1:对角线相等的平行四边形是矩形.

几何符号语言:

•••四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD

四边形ABCD是矩形

想一想:对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗?为什么?

典例解析

例1.如图,在。ABCD中,对角线AC,BD相交于点0,且0A=0D,Z0AD=50°.求N0AB的度

二OA=OC=iAC,OB=OD=iBD

22

又OA=OD

AC=BD

四边形ABCD是矩形

ZDAB=90°

又ZOAD=50°

I.Z0AB=40o

【针对练习】如图,OABCD的对角线AC、BD相交于点0,AOAB是等边三角形,且AB=4,求

OABCD的面积.

解:•;四边形ABCD是平行四边形

/.AC=2A0,BD=2B0

,/AOAB是等边三角形

,A0=B0=AB=4

二AC=BD=8

...四边形ABCD是矩形

Z.ZABC=90°

,在RtaABC中,BC=A/AC2-AB2=<82-42=4A/3

SnABco=ABXBC=4X4V3=16百

例2.已知在四边形ABCD中,作AE〃BC交BD于0点且OB=OD,交DC于点E,连接BE,ZABD

=ZEAB,ZDBE=ZEBC.求证:四边形ABED为矩形.

证明:VZABD=ZEAB,

/.OA=OB,

•.•AE〃BC,

/.ZAEB=ZEBC,

VZDBE=ZEBC,

ZAEB=ZDBE,

.\OE=OB,

.\OA=OE,

VOB=OD,

二四边形ABED是平行四边形,

VOA=OB,OA=OE,OB=OD,

/.OA=OE=OB=OD,

/.AE=BD,

•••平行四边形ABED为矩形.

【针对练习】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E、F、G、H分别是AO、BO、C0、

DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.

证明:•••四边形ABCD是矩形,

AAC=BD,AO=BO=CO=DO,

AE=BF=CG=DH,

/.OE=OF=OG=OH,

四边形EFGH是平行四边形,

VE0+0G=F0+0H,

即EG=FH,

四边形EFGH是矩形.

知识精讲

思考:前面我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角.它的逆命题成立吗?即四个角都是

直角的四边形是矩形吗?进一步,至少有几个角是直角的四边形是矩形?

已知:如图,在四边形ABCD中,ZA=ZB=ZC=90.

求证:四边形ABCD是矩形.

AD

BC

证明:;ZA=ZB=ZC=90,

/.ZA+ZB=180,ZB+ZC=180,

,AD〃BC,AB〃CD.

...四边形ABCD是平行四边形,

二四边形ABCD是矩形.

矩形的判定定理2:有三个角是直角的四边形是矩形.

AD

BC

几何符号语言:

,/ZA=ZB=ZC=90°

四边形ABCD是矩形

典例解析

例3.如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H,求证:四边形环'阳

是矩形.

证明:•••四边形ABCD是平行四边形

AAB//CD

I.ZABC+ZBCD=180°

•;BG平分/ABC,CG平分/BCD

/.ZGBC+ZGCB=1(ZABC+ZBCD)=90°

即NG=90°

同理NE=90°,ZAFB=90°

ZGFE=90°

四边形EFGH是矩形

【针对练习】已知:如图,P,B,C在同一条直线上,BD,BE分别是NABC与ZABP的平分线,

AE1BE,AP1BD,E,D为垂足.求证:四边形AEBD是矩形.

A

PBC

证明:.北。,BE分别是乙4BC与乙4BP的平分线,

:.ZABE=沁BP/ABD=jzABC,

•••ZABP+ZABC=180°

ZABE+ZABD=1zABP+|zABC=|(zABP4-zABC)=90°,

即NDBE=90°,

vAE1BE,AP1BD,•••zE=ZD=90°,

四边形AEBD是矩形.

例4.如图,在aABC中,AB=AC,AD±BC,垂足为D,AN是AABC外角NCAM的平分线,CE±AN,

垂足为E,求证:四边形ADCE为矩形.

证明:在AABC中,AB=AC,AD1BC,

,ZBAD=ZDAC,即ZDAC=|ZBAC.

又TAN是AABC外角ZCAM的平分线,

/.ZMAE=ZCAE=|ZCAM,

/.ZDAE=ZDAC+ZCAE=|(ZBAC+ZCAM)=90°.

又,.,AD_LBC,CE±AN,

AZADC=ZCEA=90°,

...四边形ADCE为矩形.

例5.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3.若点P是CD上任意一点,如图①,PE_LBD于点E,PF±AC

于点F.

⑴猜想PE和PF之间有怎样的数量关系?写出你的理由.

⑵当点P是AD上任意一点时,如图②,猜想PE和PF之间的数量关系

⑶当点P是DC上任意一点时,如图③,猜想PE和PF之间有怎样的数量关系?写出推理过程.

(1)解:连接OP,如图,

设点C到BO的距离为刈.

在RtABCD中,BO=y/BC2+CD2=<32+42=5,

由SABCD/BD•h1=卯58,得

,BCCD3x412

九1二----=——=—・

1BD55

・・•四边形48C。是矩形,

・•・0C—0D,

由SACOO=SADOP+SHOP,得,

111

上0D•hi=±0D・PE+;OC,PF,

2122

化简得PE+PF=后=£.

(2)解:PE+PF=y,理由见解析,

连接OP,如下图:

设点。到AD的距离为h2,

由(1)得0D=0A=|,h2=2,

T^AAOD=^AOPD+S/XOPA,

.---X3X2=-X-PE+-X-PF,

22222

PE+PF=J,

(3)解:PE-PF=y,理由如下:

连接OP、BP,如图.

由SABPD=SACOD+S四边形BOCP

=SACOD+SACOP+SABOP,

lBD.PE=10D.h1+10C.PF+10B.PE,

化简得2PE=%+PE+PF,

1.本节课你有哪些收获?2.还有没解决的问题吗?

【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系,并渗透数学思想方法。

达标检测

1.在数学活动课.上,老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作小组的四位

同学拟定的方案,其中正确的是()

A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角是否为直角D.测量其中三个角是否为直角

ABCD中,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③ACJ_BD;④AC平分NBAD.其中能说明平行四边形ABCD

是矩形的是()

A.①B.②C.③D.④

3.如图,在。ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,且OA=OB.若AD=4,ZABD=30°,则AB的

长为()

A.4V3B.2V3C.8D.88

4.如图,在AABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D、F,BEJ_DF交DF的延长线于点

E,已知NA=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是()

V3V3V5V5

5.如图,是四根木棒搭成的平行四边形框架,AB=8cm,AD=6cm,使AB固定,转动AD,当N

D口AB=_____时,LIABCD的面积最大,此时口ABCD是形,面积为cm2.

6.如图,在矩形ABCD中,M为AD边的中点,P为BC上一点,PE1MC,PF±MB,当AB、BC

满足条件时,四边形PEMF为矩形.

M

AD

7.如图,在矩形ABCD中AD=3,CD=4,点P是AC上一个动点(点P与点A,C不重合),过点P

分别作PEJLBC于点E,PF//BC交AB于点F,连接EF,则EF的最小值为.

8.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA

的中点.求证:四边形MNPQ是矩形.

D

B

9.如图,一张矩形纸片ABCD,点E在边AB上,将4BCE沿直线CE对折,点B落在对角线AC

上,记为点F.

(1)若AB=4,BC=3,求AE的长.

⑵连接DF,若点D,F,E在同一条直线上,且DF=2,求AE的长.

DC

10.如图,在四边形4BC0中,AD//BC,ZB=9O°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从

点A开始沿AD边向点D以\cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以Zcm/s

的速度运动,动点P,Q分别从点4C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停

止运动,设运动的时间为t秒.

(1)当t为何值时,四边形为矩形?

⑵当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?

1.D

2.B

3.A

4.A

5.90°,矩,48

6.AB=;1BC

2

8.证明:设AC与BD交于点0,AC与QM交于点F,BD与PQ交于点E,

D

B

VAB=AD,CB=CD,

二点/与点。都在BD的垂直平分线上,

,AC是BD的垂直平分线,即AC1BD,

ZAOD=90°,

•.•点也N,N,P,。分别是AB,BC,CD,DA的中点,

,MQ〃BD,PQ//AC,

四边形OEQF是平行四边形,

又ZA0D=90°,

四边形OEQF是矩形,

."MQP=ZAOD=90°,

同理:zQMN=ZMNP=90°,

二四边形MNPQ是矩形.

9.(1)解:如图,矩形纸片48(力中,

*8=4,BC=3,

故由勾股定理可得/C=5.

由折叠知:FC=BC=3,/EFC=/B=90°,BE=FE.

.*.AF=AC-FC=5-3=2,

设{E=x,则BE=4-x=FE.

在Rt/XAFE中,22+(4-x)2=x2,

解得:x

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