矩形的判定（教学设计）八年级数学下册系列（人教版）

人教版初中数学八年级下册

18.2.2矩形的判定教学设计

一、教学目标：

1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.

2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.

二、教学重、难点：

重点：矩形判定定理的运用.

难点：矩形判定方法的理解及应用.

三、教学过程：

复习回顾

忆一忆

1.矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.矩形的性质：

矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等.

知识精讲

想一想

工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行:

AB

CD

①

E-F

GH③U④口

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB=CD,EF=GH；

(2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是根据的数学道理是

(3)将直角尺靠窗框的一个角，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝

隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是_____,根据的数学道理是.

工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长是否分别相等，常常还要测量

它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？

思考：我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？

猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.

已知：四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.

求证：四边形ABCD是矩形.

证明：四形边ABCD是平行四边形

AB=DC,AB〃DC

又AC=BD,BC=CB

AABC^ADCB(SSS)

ZABC=ZDCB

AB〃DC

ZABC+ZDCB=180°

，ZABC=90°

...四边形ABCD是矩形

矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.

几何符号语言：

•••四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD

四边形ABCD是矩形

想一想：对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？

典例解析

例1.如图，在。ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,且0A=0D,Z0AD=50°.求N0AB的度

二OA=OC=iAC,OB=OD=iBD

22

又OA=OD

AC=BD

四边形ABCD是矩形

ZDAB=90°

又ZOAD=50°

I.Z0AB=40o

【针对练习】如图，OABCD的对角线AC、BD相交于点0,AOAB是等边三角形，且AB=4,求

OABCD的面积.

解：•；四边形ABCD是平行四边形

/.AC=2A0,BD=2B0

,/AOAB是等边三角形

，A0=B0=AB=4

二AC=BD=8

...四边形ABCD是矩形

Z.ZABC=90°

，在RtaABC中，BC=A/AC2-AB2=<82-42=4A/3

SnABco=ABXBC=4X4V3=16百

例2.已知在四边形ABCD中，作AE〃BC交BD于0点且OB=OD,交DC于点E,连接BE,ZABD

=ZEAB,ZDBE=ZEBC.求证：四边形ABED为矩形.

证明：VZABD=ZEAB,

/.OA=OB,

•.•AE〃BC,

/.ZAEB=ZEBC,

VZDBE=ZEBC,

ZAEB=ZDBE,

.\OE=OB,

.\OA=OE,

VOB=OD,

二四边形ABED是平行四边形，

VOA=OB,OA=OE,OB=OD,

/.OA=OE=OB=OD,

/.AE=BD,

•••平行四边形ABED为矩形.

【针对练习】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E、F、G、H分别是AO、BO、C0、

DO上的一点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是矩形.

证明：•••四边形ABCD是矩形，

AAC=BD,AO=BO=CO=DO,

AE=BF=CG=DH,

/.OE=OF=OG=OH,

四边形EFGH是平行四边形，

VE0+0G=F0+0H,

即EG=FH,

四边形EFGH是矩形.

知识精讲

思考：前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是

直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？

已知:如图，在四边形ABCD中,ZA=ZB=ZC=90.

求证：四边形ABCD是矩形.

AD

BC

证明：；ZA=ZB=ZC=90,

/.ZA+ZB=180,ZB+ZC=180,

，AD〃BC,AB〃CD.

...四边形ABCD是平行四边形，

二四边形ABCD是矩形.

矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.

AD

BC

几何符号语言:

,/ZA=ZB=ZC=90°

四边形ABCD是矩形

典例解析

例3.如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H,求证：四边形环'阳

是矩形.

证明：•••四边形ABCD是平行四边形

AAB//CD

I.ZABC+ZBCD=180°

•；BG平分/ABC,CG平分/BCD

/.ZGBC+ZGCB=1(ZABC+ZBCD)=90°

即NG=90°

同理NE=90°,ZAFB=90°

ZGFE=90°

四边形EFGH是矩形

【针对练习】已知：如图，P，B,C在同一条直线上，BD,BE分别是NABC与ZABP的平分线,

AE1BE,AP1BD,E,D为垂足.求证：四边形AEBD是矩形.

A

PBC

证明：.北。，BE分别是乙4BC与乙4BP的平分线，

:.ZABE=沁BP/ABD=jzABC,

•••ZABP+ZABC=180°

ZABE+ZABD=1zABP+|zABC=|(zABP4-zABC)=90°,

即NDBE=90°,

vAE1BE,AP1BD,•••zE=ZD=90°,

四边形AEBD是矩形.

例4.如图，在aABC中，AB=AC,AD±BC,垂足为D,AN是AABC外角NCAM的平分线，CE±AN,

垂足为E,求证：四边形ADCE为矩形.

证明:在AABC中，AB=AC,AD1BC,

，ZBAD=ZDAC,即ZDAC=|ZBAC.

又TAN是AABC外角ZCAM的平分线，

/.ZMAE=ZCAE=|ZCAM,

/.ZDAE=ZDAC+ZCAE=|(ZBAC+ZCAM)=90°.

又,.,AD_LBC,CE±AN,

AZADC=ZCEA=90°,

...四边形ADCE为矩形.

例5.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3.若点P是CD上任意一点，如图①，PE_LBD于点E,PF±AC

于点F.

⑴猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出你的理由.

⑵当点P是AD上任意一点时，如图②，猜想PE和PF之间的数量关系

⑶当点P是DC上任意一点时，如图③,猜想PE和PF之间有怎样的数量关系？写出推理过程.

(1)解：连接OP,如图,

①

设点C到BO的距离为刈.

在RtABCD中，BO=y/BC2+CD2=<32+42=5,

由SABCD/BD•h1=卯58,得

,BCCD3x412

九1二----=——=—・

1BD55

・・•四边形48C。是矩形，

・•・0C—0D,

由SACOO=SADOP+SHOP，得，

111

上0D•hi=±0D・PE+；OC,PF,

2122

化简得PE+PF=后=£.

(2)解：PE+PF=y,理由见解析,

连接OP，如下图：

②

设点。到AD的距离为h2，

由(1)得0D=0A=|,h2=2,

T^AAOD=^AOPD+S/XOPA，

.---X3X2=-X-PE+-X-PF,

22222

PE+PF=J,

(3)解：PE-PF=y,理由如下:

连接OP、BP,如图.

由SABPD=SACOD+S四边形BOCP

=SACOD+SACOP+SABOP，

lBD.PE=10D.h1+10C.PF+10B.PE,

化简得2PE=%+PE+PF,

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

达标检测

1.在数学活动课.上,老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位

同学拟定的方案，其中正确的是（）

A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角是否为直角D.测量其中三个角是否为直角

ABCD中，下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③ACJ_BD;④AC平分NBAD.其中能说明平行四边形ABCD

是矩形的是（）

A.①B.②C.③D.④

3.如图，在。ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,且OA=OB.若AD=4,ZABD=30°,则AB的

长为（）

A.4V3B.2V3C.8D.88

4.如图，在AABC中，AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D、F,BEJ_DF交DF的延长线于点

E,已知NA=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是（）

V3V3V5V5

5.如图，是四根木棒搭成的平行四边形框架，AB=8cm,AD=6cm,使AB固定，转动AD,当N

D口AB=_____时，LIABCD的面积最大，此时口ABCD是形，面积为cm2.

6.如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE1MC,PF±MB,当AB、BC

满足条件时，四边形PEMF为矩形.

M

AD

7.如图，在矩形ABCD中AD=3,CD=4,点P是AC上一个动点(点P与点A,C不重合)，过点P

分别作PEJLBC于点E,PF//BC交AB于点F,连接EF,则EF的最小值为.

8.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,点M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA

的中点.求证：四边形MNPQ是矩形.

D

B

9.如图，一张矩形纸片ABCD,点E在边AB上，将4BCE沿直线CE对折，点B落在对角线AC

上，记为点F.

(1)若AB=4,BC=3,求AE的长.

⑵连接DF,若点D,F,E在同一条直线上，且DF=2,求AE的长.

DC

10.如图，在四边形4BC0中，AD//BC,ZB=9O°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从

点A开始沿AD边向点D以\cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以Zcm/s

的速度运动，动点P，Q分别从点4C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停

止运动，设运动的时间为t秒.

(1)当t为何值时，四边形为矩形？

⑵当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

1.D

2.B

3.A

4.A

5.90°,矩，48

6.AB=；1BC

2

8.证明：设AC与BD交于点0,AC与QM交于点F,BD与PQ交于点E,

D

B

VAB=AD,CB=CD,

二点/与点。都在BD的垂直平分线上，

，AC是BD的垂直平分线，即AC1BD,

ZAOD=90°,

•.•点也N,N,P,。分别是AB,BC,CD,DA的中点,

，MQ〃BD,PQ//AC,

四边形OEQF是平行四边形，

又ZA0D=90°,

四边形OEQF是矩形，

."MQP=ZAOD=90°,

同理：zQMN=ZMNP=90°,

二四边形MNPQ是矩形.

9.(1)解：如图，矩形纸片48(力中，

*8=4,BC=3,

故由勾股定理可得/C=5.

由折叠知：FC=BC=3,/EFC=/B=90°,BE=FE.

.*.AF=AC-FC=5-3=2,

设｛E=x,则BE=4-x=FE.

在Rt/XAFE中，22+(4-x)2=x2,

解得：x