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文档简介
人教版初中数学八年级下册
18.2.2矩形的判定教学设计
一、教学目标:
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程,理解并掌握矩形的判定定理.
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
二、教学重、难点:
重点:矩形判定定理的运用.
难点:矩形判定方法的理解及应用.
三、教学过程:
复习回顾
忆一忆
1.矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的性质:
矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等.
知识精讲
想一想
工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行:
AB
CD
①
E-F
GH③U④口
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①,使AB=CD,EF=GH;
(2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是根据的数学道理是
(3)将直角尺靠窗框的一个角,如图③,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝
隙时,如图④,说明窗框合格,这时窗框是_____,根据的数学道理是.
工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长是否分别相等,常常还要测量
它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗?
思考:我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗?
猜想:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:四形边ABCD是平行四边形
AB=DC,AB〃DC
又AC=BD,BC=CB
AABC^ADCB(SSS)
ZABC=ZDCB
AB〃DC
ZABC+ZDCB=180°
,ZABC=90°
...四边形ABCD是矩形
矩形的判定定理1:对角线相等的平行四边形是矩形.
几何符号语言:
•••四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD
四边形ABCD是矩形
想一想:对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗?为什么?
典例解析
例1.如图,在。ABCD中,对角线AC,BD相交于点0,且0A=0D,Z0AD=50°.求N0AB的度
二OA=OC=iAC,OB=OD=iBD
22
又OA=OD
AC=BD
四边形ABCD是矩形
ZDAB=90°
又ZOAD=50°
I.Z0AB=40o
【针对练习】如图,OABCD的对角线AC、BD相交于点0,AOAB是等边三角形,且AB=4,求
OABCD的面积.
解:•;四边形ABCD是平行四边形
/.AC=2A0,BD=2B0
,/AOAB是等边三角形
,A0=B0=AB=4
二AC=BD=8
...四边形ABCD是矩形
Z.ZABC=90°
,在RtaABC中,BC=A/AC2-AB2=<82-42=4A/3
SnABco=ABXBC=4X4V3=16百
例2.已知在四边形ABCD中,作AE〃BC交BD于0点且OB=OD,交DC于点E,连接BE,ZABD
=ZEAB,ZDBE=ZEBC.求证:四边形ABED为矩形.
证明:VZABD=ZEAB,
/.OA=OB,
•.•AE〃BC,
/.ZAEB=ZEBC,
VZDBE=ZEBC,
ZAEB=ZDBE,
.\OE=OB,
.\OA=OE,
VOB=OD,
二四边形ABED是平行四边形,
VOA=OB,OA=OE,OB=OD,
/.OA=OE=OB=OD,
/.AE=BD,
•••平行四边形ABED为矩形.
【针对练习】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E、F、G、H分别是AO、BO、C0、
DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
证明:•••四边形ABCD是矩形,
AAC=BD,AO=BO=CO=DO,
AE=BF=CG=DH,
/.OE=OF=OG=OH,
四边形EFGH是平行四边形,
VE0+0G=F0+0H,
即EG=FH,
四边形EFGH是矩形.
知识精讲
思考:前面我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角.它的逆命题成立吗?即四个角都是
直角的四边形是矩形吗?进一步,至少有几个角是直角的四边形是矩形?
已知:如图,在四边形ABCD中,ZA=ZB=ZC=90.
求证:四边形ABCD是矩形.
AD
BC
证明:;ZA=ZB=ZC=90,
/.ZA+ZB=180,ZB+ZC=180,
,AD〃BC,AB〃CD.
...四边形ABCD是平行四边形,
二四边形ABCD是矩形.
矩形的判定定理2:有三个角是直角的四边形是矩形.
AD
BC
几何符号语言:
,/ZA=ZB=ZC=90°
四边形ABCD是矩形
典例解析
例3.如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H,求证:四边形环'阳
是矩形.
证明:•••四边形ABCD是平行四边形
AAB//CD
I.ZABC+ZBCD=180°
•;BG平分/ABC,CG平分/BCD
/.ZGBC+ZGCB=1(ZABC+ZBCD)=90°
即NG=90°
同理NE=90°,ZAFB=90°
ZGFE=90°
四边形EFGH是矩形
【针对练习】已知:如图,P,B,C在同一条直线上,BD,BE分别是NABC与ZABP的平分线,
AE1BE,AP1BD,E,D为垂足.求证:四边形AEBD是矩形.
A
PBC
证明:.北。,BE分别是乙4BC与乙4BP的平分线,
:.ZABE=沁BP/ABD=jzABC,
•••ZABP+ZABC=180°
ZABE+ZABD=1zABP+|zABC=|(zABP4-zABC)=90°,
即NDBE=90°,
vAE1BE,AP1BD,•••zE=ZD=90°,
四边形AEBD是矩形.
例4.如图,在aABC中,AB=AC,AD±BC,垂足为D,AN是AABC外角NCAM的平分线,CE±AN,
垂足为E,求证:四边形ADCE为矩形.
证明:在AABC中,AB=AC,AD1BC,
,ZBAD=ZDAC,即ZDAC=|ZBAC.
又TAN是AABC外角ZCAM的平分线,
/.ZMAE=ZCAE=|ZCAM,
/.ZDAE=ZDAC+ZCAE=|(ZBAC+ZCAM)=90°.
又,.,AD_LBC,CE±AN,
AZADC=ZCEA=90°,
...四边形ADCE为矩形.
例5.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3.若点P是CD上任意一点,如图①,PE_LBD于点E,PF±AC
于点F.
⑴猜想PE和PF之间有怎样的数量关系?写出你的理由.
⑵当点P是AD上任意一点时,如图②,猜想PE和PF之间的数量关系
⑶当点P是DC上任意一点时,如图③,猜想PE和PF之间有怎样的数量关系?写出推理过程.
(1)解:连接OP,如图,
①
设点C到BO的距离为刈.
在RtABCD中,BO=y/BC2+CD2=<32+42=5,
由SABCD/BD•h1=卯58,得
,BCCD3x412
九1二----=——=—・
1BD55
・・•四边形48C。是矩形,
・•・0C—0D,
由SACOO=SADOP+SHOP,得,
111
上0D•hi=±0D・PE+;OC,PF,
2122
化简得PE+PF=后=£.
(2)解:PE+PF=y,理由见解析,
连接OP,如下图:
②
设点。到AD的距离为h2,
由(1)得0D=0A=|,h2=2,
T^AAOD=^AOPD+S/XOPA,
.---X3X2=-X-PE+-X-PF,
22222
PE+PF=J,
(3)解:PE-PF=y,理由如下:
连接OP、BP,如图.
由SABPD=SACOD+S四边形BOCP
=SACOD+SACOP+SABOP,
lBD.PE=10D.h1+10C.PF+10B.PE,
化简得2PE=%+PE+PF,
1.本节课你有哪些收获?2.还有没解决的问题吗?
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系,并渗透数学思想方法。
达标检测
1.在数学活动课.上,老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作小组的四位
同学拟定的方案,其中正确的是()
A.测量对角线是否互相平分B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否为直角D.测量其中三个角是否为直角
ABCD中,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③ACJ_BD;④AC平分NBAD.其中能说明平行四边形ABCD
是矩形的是()
A.①B.②C.③D.④
3.如图,在。ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,且OA=OB.若AD=4,ZABD=30°,则AB的
长为()
A.4V3B.2V3C.8D.88
4.如图,在AABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D、F,BEJ_DF交DF的延长线于点
E,已知NA=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是()
V3V3V5V5
5.如图,是四根木棒搭成的平行四边形框架,AB=8cm,AD=6cm,使AB固定,转动AD,当N
D口AB=_____时,LIABCD的面积最大,此时口ABCD是形,面积为cm2.
6.如图,在矩形ABCD中,M为AD边的中点,P为BC上一点,PE1MC,PF±MB,当AB、BC
满足条件时,四边形PEMF为矩形.
M
AD
7.如图,在矩形ABCD中AD=3,CD=4,点P是AC上一个动点(点P与点A,C不重合),过点P
分别作PEJLBC于点E,PF//BC交AB于点F,连接EF,则EF的最小值为.
8.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA
的中点.求证:四边形MNPQ是矩形.
D
B
9.如图,一张矩形纸片ABCD,点E在边AB上,将4BCE沿直线CE对折,点B落在对角线AC
上,记为点F.
(1)若AB=4,BC=3,求AE的长.
⑵连接DF,若点D,F,E在同一条直线上,且DF=2,求AE的长.
DC
10.如图,在四边形4BC0中,AD//BC,ZB=9O°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从
点A开始沿AD边向点D以\cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CB边向点B以Zcm/s
的速度运动,动点P,Q分别从点4C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停
止运动,设运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,四边形为矩形?
⑵当t为何值时,四边形PQCD为平行四边形?
1.D
2.B
3.A
4.A
5.90°,矩,48
6.AB=;1BC
2
8.证明:设AC与BD交于点0,AC与QM交于点F,BD与PQ交于点E,
D
B
VAB=AD,CB=CD,
二点/与点。都在BD的垂直平分线上,
,AC是BD的垂直平分线,即AC1BD,
ZAOD=90°,
•.•点也N,N,P,。分别是AB,BC,CD,DA的中点,
,MQ〃BD,PQ//AC,
四边形OEQF是平行四边形,
又ZA0D=90°,
四边形OEQF是矩形,
."MQP=ZAOD=90°,
同理:zQMN=ZMNP=90°,
二四边形MNPQ是矩形.
9.(1)解:如图,矩形纸片48(力中,
*8=4,BC=3,
故由勾股定理可得/C=5.
由折叠知:FC=BC=3,/EFC=/B=90°,BE=FE.
.*.AF=AC-FC=5-3=2,
设{E=x,则BE=4-x=FE.
在Rt/XAFE中,22+(4-x)2=x2,
解得:x
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